导数的计算(第二课时).ppt

1、1.2.2 导数的计算（2）导数的四则运算法则及复合函数的导数,知识回顾：基本初等函数的导数公式,一函数和（或差）的求导法则,设f(x)，g(x)是可导的，则 (f(x)g(x) = f (x)g (x). 即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差).,即,新课讲解：,这个法则可以推广到任意有限个函数，,证明：令y=f(x)+g(x)，则,即,同理可证,这个法则可以推广到任意有限个函数，,即,小结：对于简单函数的求导,关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式.,例2求多项式函数 f(x)= 的导数。,解：f (x)=,二函数积的求导法则,设f(x)，g(x

2、)是可导的函数，则,两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，,即,推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数, 即:,证:,因为v(x)在点x处可导, 所以它在点x处连续, 于是当x0时, v(x+x) v(x).从而:,例3求y=sin2x的导数。,解：y =(2sinxcosx) =2(cosxcosxsinxsinx) =2cos2x.,解：,法二：,法一：,三函数的商的求导法则,设f(x)，g(x)是可导的函数，g(x)0，两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，,即,推论:,例

3、5求y= 的导数.,解：,例6求y=tanx的导数。,解：y =,例8求y= cosx的导数.,解法一：y =( cosx) =( ) cosx+ (cosx) ,解法二：y =( cosx) =( ) ,练习,法二y(x1)(x2)(x3) (x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3) (x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2) (x2x1)(x3)(x1)(x2) (2x3)(x3)x23x2 3x212x11.,新 课,1、复合函数现象,像这样的函数就是复合函数.,2、复合函数的定义,对于两(多)个函数y=f(u)和u=g(x),如果 通过变量u,y可以表示成x的函数,

4、那么称这个 函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，,练习：指出下列函数中的复合函数,练习：将复合函数分解成最简单函数,定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导，,则复合函数 y = f ( (x) 也可导.,且,或,或,复合函数的求导法则,即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法则 ),推论设 y = f (u) ， u = (v)， v = (x) 均可导，则复合函数 y = f ( (x) 也可导，,且,复合函数的求导法则一般称为 链式法则,例11、求下列函数的导数,练习 1.设 y = sin2 x，求 y .,

5、2.设 y = etan x，求 y .,求 y .,3.,4.,求 y .,5. 设 y = sin(xln x)，求 y .,6.,求 y .,7.,求 y .,练习题,1函数y=sin2x的导数为（ ） （A）y=cos2x （B）y=2cos2x （C）y=2(sin2xcos2x) （D）y=sin2x,B,2下列曲线在点x=0处没有切线的是（ ） （A）y=x3sinx （B）y=x2cosx （C）y=x +1 （D）y=,D,3若f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，且f(x)，g(x)满足f (x)=g (x)，则f(x)与g(x)满足（ ） （A）f(x)g(x)

6、（B）f(x)g(x)为常数函数 （C）f(x)=g(x)=0 （D）f(x)+g(x)为常数函数,B,4曲线y=x3x2l在点P(1，1)处的切线方程为 .,y=x2,5函数 y=sinx(cosx1)的导数为 .,y=cos2x+cosx,6已知抛物线y=x2bxc在点(1，2)处与直线y=x1相切，求b，c的值,7若直线ykx与曲线yx33x22x相切，试求k的值,解： y=x33x22x， y=3x26x+2，y|x=0=2， 又直线与曲线均过原点， 当直线y=kx与曲线y=x33x22x相切于原点时，k=2,若直线与曲线切于点(x0，y0)（x00）.,则k=,又点(x0，y0)也在

7、曲线y=x33x22x上, y0=x033x02+2x0,又 y=3x26x2， k=3x026x02，, x023x02=3x026x02, x00, x0=,k=3x026x02= ，, 2x023x0=0,综上所述，k=2或k=,例9.,假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5， 物价p(单位:元)与时间t(单位:年)有如下函数关系：,假定某种商品的 ，那么在第10个年头，这 种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)？,例9.,日常生活中的饮用水通常是通过净化的。随 着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加。 已知将1吨水净化到纯净度为 时所需费用 (单位:元)为：,求净化到下

8、列纯净度时 , 所需净化费用的瞬时 变化率： (1)90% (2)98%,解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前一般应先将函数化简，然后求导，以减少运算量,应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面： (1)中间变量的选取应是基本函数结构 (2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导 (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导 (4)善于把一部分表达式作为一个整体 (5)最后要把中间变量换成自变量的函数熟练后，就不必再写中间步骤,【例13】 求过点(1，1)与曲

9、线f(x)x32x相切的直线方程,例10,【题后反思】 点(1，1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解,【变式3】 若将本例改为求曲线yx32x在点A(1，1)处的切线方程，结果会怎样？ 解点A(1，1)在曲线上，点A是切点，在A处的切线方程为xy20.,方法技巧数形结合思想在导数中的应用 数形结合的原则：(1)等价性原则：在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明(2)双向性原则：在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探