第9节 曲线与方程(理).ppt

1、了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.,1曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点 与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是 (2)以这个方程的解为坐标的点都是 那 么这个方程叫做 ，这条曲线叫做 ,这个方程的解,曲线上的点,曲线的方程,方程的曲线,思考探究 如果只满足第(2)个条件，会出现什么情况？,提示：若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，则这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程，如分段函数的解析式,2求曲线方程的一般步骤,1方程x2xyx的曲线是 () A一个点B一条直线 C两条直线 D一个点和一条直线,

2、解析：方程变为x(xy1)0， x0或xy10，表示两条直线,答案：C,2到两定点A(0,0)，B(3,4)距离之和为5的点的轨迹是 () A椭圆 BAB所在的直线 C线段AB D无轨迹,解析：|AB|5，动点的轨迹为线段AB.,答案：C,3已知点P是直线2xy30上的一个动点，定点M (1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM| |MQ|，则Q点的轨迹方程是 () A2xy10 B2xy50 C2xy10 D2xy50,解析：设Q(x，y)，则P为(2x,4y)，代入2xy30得2xy50.,答案：D,4已知实数m，n满足x2y21，则P(mn，mn)的轨迹 方程是_,解析：令 得 ，

3、 又m2n21，得x2y22.,答案：x2y22,5设P为双曲线 y21上一动点，O为坐标原点，M 为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是_,解析：设M(x，y)，则P(2x,2y)，代入双曲线方程得x24y21，即为所求,答案：x24y21,1.如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关 系，或这些几何条件简单明了且易于表达，那么只需把 这种关系转化成含有数值的表达式，通过化简整理便可 得到曲线的方程，这种求曲线方程的方法是直接法 2运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)， 可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出 发建立关系式，从而求出轨迹方程这种求曲线方程的 方法是

4、定义法,3应用直接法求曲线方程可套用求轨迹方程的五个基本 步骤，但有时可省略证明这一步用定义法求轨迹方 程的关键是紧扣解析几何中有关曲线的定义，灵活应 用定义,设点F(2,0)，动点P到y轴的距离为d，求满足条件|PF|d2的点P的轨迹方程,思路点拨,课堂笔记法一：设P点坐标为(x，y)由|PF|2d， 得 2|x|， 即(x2)2y2(2|x|)2. y24|x|4x. 当x0时，y28x； 当x0时，y20，即y0. 故所求轨迹方程为y28x(x0)和y0(x0),法二：由题意|PF|2d， 当P在y轴右侧时，可转化为|PF|x2， 即点P到定点F的距离等于到定直线l：x2的距离， 点P在

5、抛物线y28x上 当P在y轴左侧时，|PF|2x， 即点P到F(2,0)的距离等于P到直线x2的距离， 从而有y0(x0)， 综上可知所求轨迹方程为y28x(x0)和y0(x0),一动圆与圆x2y26x50外切，同时过点(3,0)，求动圆圆心M的轨迹方程,解：x2y26x50配方得：(x3)2y24. 设圆心为A.则A点坐标为(3,0)(3,0)为点B，动圆半径为R，则由此得： |MB|R，|MA|R2.,因此：|MA|MB|2|AB|6. 故M点轨迹为双曲线的右支，且2a2,2c6. 即a1，c3，b2 ，因此其方程为： x2 1(x1).,1.动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动

6、点 P(x，y)却随另一动点Q(x，y)的运动而有规律的运 动，且动点Q的轨迹方程为给定或容易求得，则可先将 x、y表示为x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后 整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法,2用代入法求轨迹方程的关键是寻求关系式：xf(x， y)，yg(x，y)，然后代入已知曲线而求对称曲线 (轴对称、中心对称等)方程实质上也是用代入法(相关点 法)解题,设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且 ，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程,思路点拨,课堂笔记设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，点N为轨迹上任意一点 (x0，y0)， (1，y0)， (x0，y0)(1

7、，y0)0， x0 0. 由 2 得(xx0，y)2(x0，y0)，, ，即 x 0， 即y24x. 故所求的点N的轨迹方程是y24x.,在一些很难找到形成曲线的动点P(x，y)的坐标x，y所满足的关系式的情况下，往往借助第三个变量t，建立t和x，t和y的关系式x(t)，y (t)，再通过一些条件消掉t就间接找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程,已知抛物线y24px(p0)，O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OAOB，如果OMAB于M点，求点M的轨迹方程,思路点拨,课堂笔记设M(x，y)，直线AB方程为ykxb. 由OMAB得k . 由y24px及y

8、kxb消去y，得 k2x2x(2kb4p)b20. 所以x1x2 . 消去x，得ky24py4pb0.,所以y1y2 . 由OAOB，得y1y2x1x2， 所以 ，b4kp. 故ykxbk(x4p) 把k 代入，得x2y24px0(x0) 即M1的轨迹方程为x2y24px0(x0),轨迹方程的有关问题是高考的热点内容，几乎每年都会考查，通常是第一问求轨迹方程，第二问考查直线与圆锥曲线的位置关系.09年广东高考题以直线和抛物线位置关系为载体，考查了曲线轨迹方程的求法及两曲线的位置关系,考题印证 (2009广东高考)(14分)已知曲线C：yx2与直线l：xy20交于两点A(xA，yA)和B(xB，

9、yB)，且xAxB.记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域(含边界)为D.设点P(s，t)是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合 (1)若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程； (2)若曲线G：x22axy24ya2 0与D有公共点，试求a的最小值,【解】(1)由 解得A(1,1)，B(2,4) 设点Q、M的坐标分别为Q(x1，y1)，M(x，y)， 依题意得x1 ，y1 . 于是x ，y ， s ，t . (4分),1s2，1 2，即 x . 又点P(s，t)在曲线C上，ts2. (6分) 将代入得 ( )2. 即y2x2x ( x )(7分) (2)

10、曲线G的方程可化为(xa)2(y2)2 ， 这是一个圆心为N(a,2)，半径为 的圆 设圆G与直线l：xy20相切于点T(xT，yT)，,则有 ，即a .(9分) 过点N(a,2)与直线l垂直的直线l的方程是 y21(xa)，即xy2a0. 由 解得xT ，yT 2. 当a 时，1xT 2.(12分) 1,2分别是D上的点的最小和最大横坐标， 切点TD，故amin .(14分),自主体验 已知定点A(0,1)、B(0，1)、C(1,0)，动点P满足 2 . (1)求动点P的轨迹D的方程； (2)从轨迹D外一点M向轨迹D引一条切线，切点为N，且有|MN|MA|，求|MN|的最小值,解：(1)设动

11、点P(x，y)，A(0,1)、B(0，1)、C(1,0)，且动点P满足 (x，y1)(x，y1)x2y21， 2 2| |22(1x)22(y)2. 化简整理得动点P点的轨迹方程为：x2y24x30.,(2)由(1)知P点的轨迹方程是圆：(x2)2y21， 由于切线MNDN，|MN|2|MD|21. |MN|MA|，|MA|2|MD|21. 设M(x，y)，则x2(y1)2(x2)2y21， 化简得：y2x1，即点M在直线y2x1上， |MN|的最小值即为|MA|的最小值， 最小值d ,1方程x2y21(xy0)的曲线形状是 (),解析：xy0，y0.,答案：C,2(2010潍坊模拟)已知点A

12、(2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满 足 x2，则点P的轨迹是 () A圆B椭圆 C双曲线 D抛物线,解析： (2x，y)， (3x，y)， (x2)(x3)y2x2， y2x6，表示抛物线,答案：D,3已知两定点A(2,0)、B(1,0)，如果动点P满足|PA| 2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于 () A B4 C8 D9,解析：设P(x，y)，则|PA|2(x2)2y2，|PB|2(x1)2y2，又|PA|2|PB|， (x2)2y24(x1)24y2， (x2)2y24，表示圆，Sr24.,答案：B,4已知两定点F1(1,0)、F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2| 的等差中项，则动点P的轨迹方程是_,解析：由|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项知： |PF1|PF2|4|F1F2|， 故动点P的轨迹是以定点F1(1,0)、F2(1,0)为焦点，长轴 长为4的椭圆，故其方程为 1.,答案： 1,5长为3的线段AB的端点A、B分别在x、y轴上移动，动点 C(x，y)满足 2 ，则动点C的轨迹方程是 _,解析：设A(x0 ，