传热学-第4章-热传导问题的数值解珐.ppt

1、传热学,第 4 章 热传导问题的数值解法,数值解法： 有限差分法，有限元法及边界元法。,分析解法： （1）对导热微分方程式在规定的边界条件和 初始条件下积分求解。 （2）求解结果能清楚显示各种因素对温度分布 的影响，但仅适用于简单的导热问题，同时解 的形式复杂。,导热问题的求解方法：,实验方法： 相似原理指导下的实验方法。,4.1 导热问题数值求解的基本思想,理论基础：离散数学。,基本思想：把原来在时间，空间坐标系中连续的 物理量的场（如导热物体的温度场）用有限个 离散点上的数值的集合来代替，通过求解按一定 方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得 离散点上被求物理量的值，这些离散点上被求物

2、 理量值的集合称为该物理量的数值解。,4.1.2 导热问题数值求解基本思路,分析；二维矩形区域内的稳态，无内热源， 常物性的导热问题。,数值求解的步骤；,1. 建立控制方程及定解条件,控制方程：描述该导热问题的导热微分方程。 定解条件：边界条件。,导热微分方程：,2. 区域离散化 (discretization),沿x方向和y方向分别以x，y为间隔把 求解区域划分成很多个小的子区域。,步长：相邻两节点间的距离x, y。,节点：网格线(边界线)的交点。,节点表示：,控制容积 (control volum)： 以节点为中心, 边长等于x, y的小区域。,节点温度代表以它为中心的控制容积的平均温度。

3、,3. 建立节点物理量的代数方程,离散方程：节点上物理量的代数方程。,4. 设立迭代初场,迭代初场：采用迭代法求解时，需要对被求解 的温度场预先假定一个解，称为初场。,5. 求解代数方程组,6. 解的分析,可进一步计算热流量，热应力及热变形等。,4.2 内节点离散方程的建立方法,数值计算过程的核心内容 .,4.2.1 泰勒级数展开法,根据泰勒级数，导出节点（m,n）处二阶偏导数 的差分表达式：,上两式相加得：,整理得：,其中 称为截断误差。,整理成二阶导数的近似代数关系式：,二阶导数的中心差分表达式,(a),同理可得：,(b),将(a), (b)代入导热微分方程式中得离散方程：,设步长x=y，

4、有：, 二维稳态导热均匀步长时内部节点 温度差分方程,4.2.2 热平衡法,对控制容积写出能量守恒的表达式：,根据傅立叶定律:,设步长x=y，有：,垂直纸面单位宽度,说明,稳态时流向任何节点的热量总和必等于零。,4.3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解,4.3.1 边界节点离散方程的建立,1. 位于平直边界上的节点,若步长x=y，有：,2. 外部角点,控制容积的热平衡为：,若步长x=y，有：,3. 内部角点,控制容积的热平衡为：,若步长x=y，有：,4. 边界热流密度的三种情况,（1）绝热边界：,（2） 值不为零：代入给定的 值。,（3）对流边界：,平直边界节点：,外部角点,内部角点,式中： 网格毕渥数。,4.3.3 求解代数方程的迭代法,常用方法：,消元法 矩阵求逆法 迭代法,. . . . . .,其中： 均为常数，且 。,1. 高斯-赛德尔迭代法,设节点温度差分方程的形式为：,（1）将该方程组改为 t1 ，t2， tn 显函数形式,（2）求解原则：首先假设一组变量初始值，在