《数学代数系统》PPT课件.ppt

1、1,第三篇 代数系统,2,第三篇 代数系统,代数系统：由集合上定义若干个运算而组成的系统,3,代数系统：由集合上定义若干个运算而组成的系统 在一个集合 A 上的运算概念 例： 将实数集合 R 上的每一数 a0 映射成它的倒数1/a，就可以将该映射称为在集合R 上的一元运算； 在集合R上，对任意两个数所进行的普通加法和乘法，都是在集合R上的二元运算。 对于集合R上的任意三个数的运算，就是集合R上的三元运算。,代数系统,4,忠告：,不要被代数系统中众多的符号和术语所迷惑。 代数系统，无论其外表多么复杂多么让人难以捉摸，说到底无非是研究对象之间的运算，以及运算的规律。,代数系统,5,第三篇 代数系统

2、,代数系统的基本概念 代数系统的性质 同构和同态 半群 群 环 格和布尔代数 几种特殊的格,6,例： 在集合A=1，2，3，4，5，1/2，1/3，1/4，1/5，做任意元素的倒数运算； 在集合A=1，2，3，4，5，做任意元素的倒数运算； 若集合S中的元素经某一运算后它的结果仍在S中，则称此运算在集合S上是封闭的。,5.1 代数系统的基本概念,7,不封闭的例子：一架自动售货机，能接受五角硬币和一元硬币，而所对应的商品是桔子水、可乐和冰淇凌。当投入上述硬币的任何两枚时，自动售货机将按照表中供应相应的产品： 表格左上角的记号 * 可以理解为一个二元运算的运算符。这个例子中的二元运算 * 不是集合

3、五角硬币 ，一元硬币上的封闭运算。,代数系统的基本概念,8,在集合A=1，2，3，4，5，1/2，1/3，1/4，1/5，做任意元素的倒数运算；可以看作是：将集合A上的每一数a映射成他的倒数1/a； 在实数集合R上，对任意两个数进行的普通加法和减法；可以看作是：将集合R上的任意两个数映射成R中的一个数； 定义：对于集合A，有一个从An到B的映射，如果BA，则称该n元运算是封闭的。,代数系统的基本概念,9,一个代数系统需要满足以下三个条件： 有一个非空集合U； 有一些建立在集合U上的运算； 这些运算在U上是封闭的。,由此将由集合U及建立在U上的封闭运算f1，f2，fk所组成的系统就称为一个代数系

4、统，记作。,代数系统的基本概念,10,例：,在整数集合 I 上定义 如下： 对任何 其中的+， 分别是通常数的加法和乘法。 那么 是一个从 I2 到 I 的函数， 只要 在集合 I 上是封闭的， 就是一个代数系统。,代数系统的基本概念,11,1、结合律 设有代数系统，对a，b，cU，如果有 (a*b)*c= a*(b*c), 则称此代数系统的运算满足结合律。 例如：设A是一个非空集合， 是A上的二元运算，对于任意a，bA，有ab=b，证明：是满足结合律的。 证： 对于任意的a，b ，c A， （a b）c= b c= c 而a（bc）=a c= c， （ab）c= a（bc） 是满足结合律的,

5、5.2 代数系统的性质,12,2、交换律 设有代数系统，如果对于a，b U，有 a*b = b*a，则称此代数系统的运算“ * ”满足交换律。 例如：在整合集合 I 上定义运算 ： 对任何 其中的 +， 分别是通常数的加法和乘法。 那么 可以满足交换律？,代数系统的性质,13,3、分配律（左分配，右分配） 设有代数系统，对a,b,cU，如果有 a(b*c)=(ab)*(ac)， 则称此代数系统上“”运算对“*”运算满足左分配律。 同理，若“*”对“”满足a*(bc)=(a*b)(a*c)， 则称运算“*”对运算“”满足左分配律 若有(a* b)c=(a* c)(b* c)， 则称“”运算对“*

6、”运算满足右分配律。 同理，若(ab)*c=(a* c)(b* c)， 则称“*”运算对“”运算满足右分配律 例如：代数系统。其中+，分别代表通常数的加法和乘法。,代数系统的性质,14,4、等幂律 设 * 是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意 的xA，都有x * x = x，则称 * 运算是等幂的。 EX: S=1,2,4，在集合 p(S) 定义两个二元运算，分别表示集合的“并”运算和集合的“交”运算，是等幂的？ 解： 对于任意的A p(S) ，有AA=A；AA=A 因此运算，都满足等幂律。,代数系统的性质,15,5、幺元 一个代数系统， 若存在一个元素eU，使得对 xU，有：e x

7、=x e = x，则称 e 为对于运算“ ”的幺元 或者 称 e 是幺元 。 注意： 这里考虑的是只有一个运算的代数系统。如果有两个或者更多的运算，就不能简单地说代数系统的幺元了，因为幺元事实上是针对具体运算而言的。因而，如果有更多的运算就必须对每个运算都进行讨论，一个运算若有幺元，则一定指明是该运算的幺元。,代数系统的性质,16,左单位元或右单位元（左幺元或右幺元） 一个代数系统， 若存在一个元素elU，使得对 xU，有：elx =x，则称 el 为对于运算“ ”的左幺元 。 若存在一个元素erU，使得对 xU，有：x er=x，则称 er为对于运算“ ”的右幺元 。,代数系统的性质,17,

8、EX： 设代数系统，* 的定义为： 对 那么，有没有幺元？左幺元？右幺元？ 解： 对任何 ，因此 1 是右幺元。 但 1 不是左幺元，因为 所以没有左幺元， 当然也就没有幺元。,代数系统的性质,18,定理：一个代数系统的单位元若存在，则唯一。 证：设 e 为运算“ ”的幺元，另有一单位元 e， e是幺元， 对xU，有ex =x，取x= e ，则e e = e 又 e是幺元， 对xU，有x e =x，取x=e，则e e =e 由 式可得： e =e，即幺元唯一。,代数系统的性质,19,6、零元 一个代数系统，如果存在一个元素U，使得 对xU有：x =x=，则称为对于运算“ ” 的 零元。 若只满

9、足x =，则称为左零元。 若只满足 x=，则称为右零元。 例如：代数系统的零元是什么？ （0） 在所有n阶方阵集合M上的代数系统，零元是什么？ （所有元素为 0 的n阶方阵） 在I+上定义一个二元运算取极小“Min”，的零元是什么？ （1）,代数系统的性质,20,定理：一个代数系统，其零元若存在，则唯一。（同学自证） 定理：一个代数系统，若集合 A 中元素的个数大于1，且该代数系统存在幺元 e 和零元，则e。 证明： 用反证法，设=e，则对于任意的xA，必有 x = ex = x = e， 即对于A中所有元素都是相同的，这与A中含有多个元素相矛盾。,代数系统的性质,21,7、逆元 一个存在幺元

10、 e 的代数系统，如果对 U 中的 元素 x 存在 x-1，使得 x-1 x = x x-1 = e， 则称x-1为x的逆元。 若 x x-1 = e，则称 x-1 为 x 的右逆元。 若 x-1 x = e，则称 x-1 为 x 的左逆元。 既是左逆元，又是右逆元，则称 x-1 为 x 的一个逆元。,代数系统的性质,22,例如： 对代数系统，* 为二元运算，定义为通常数的乘法。R为实数集合。 只要，aR，a 0，则 1/a 即为 a 的逆元。 这是因为 1 是幺元， a 0时， a * 1/a = 1/a * a = 1。 对代数系统， * 为二元运算，定义为通常数的乘法。I 为整数集合。

11、只有 1 和 1有逆元，1-1 = 1 ，(1)-1 = -1 因为对aI，只要 a 1，则 1/a 要么不存在， 要么1/a I。 ， * 为二元运算，定义为通常数的乘法。 R1为除了 1 之外的实数集合。 任何元素都没有逆元，因为根本没有幺元，就不谈逆元了。,代数系统的性质,23,因此，关于逆元，下述结论是正确的： 只要当幺元存在时，才考虑逆元。 逆元是“局部”的，也就是说，逆元是针对具体元素而定的，有些元素可能有逆元，有些元素则可能没有逆元。如果 a 和 b 都有逆元且 a b，则 a-1 和 b-1 也不相同。 一个元素的逆元必须是代数系统内的元素。 设 e 幺元，只有当 a b =

12、e 和 b a = e 同时成立时，b才能是 a 的逆元，如果只有一个成立，b 也不是 a 的逆元。,代数系统的性质,24,例如：设集合S=， ，定义在S上的一个二元运算如下表所示，试指出代数系统（S，）中各个元素的左、右逆元情况。 解：是幺元， 是 的左逆元 ， 是 的右逆元 ； 是 、 的左逆元， 、是 右逆元 ； 是 的左逆元 ， 是 的右逆元； 是 的左逆元， 是 的右逆元。,代数系统的性质,25,定理：设代数系统（U，），运算“ ”满足结合律，且 存在幺元 e，那么对任意固定的 xU，若 x 有逆元，则 逆元是唯一的。 证明： 设 x 有两个逆元 x1-1和x2-1 ，则 x1-1

13、x x2-1 = x1-1 （x x2-1 ）=x1-1 e=x1-1 同理 x1-1 x x2-1= （x1-1 x） x2-1 =e x2-1 = x2-1 所以：x1-1 = x2-1,代数系统的性质,26,5.3 半群,1广群:设是一个代数系统，其中“ ”是U上的二元运算。若“ ”满足封闭性，则称为是广群. 2半群：设是一个广群，其中“ ”是U上的二元运算。若“ ”满足结合律，则称为是半群。 EX：有代数系统其中S=a,b,p,q运算由下表定义,试问该代数系统是一个半群吗?,27,EX：有代数系统，其中 I 为整数集。max为一个二元运算，表示对 I 中的元素取最大，是一个半群吗？ 是

14、一个半群吗？ EX： 代数系统中N为自然数集，运算“+”为普通的加法运算，是个半群吗？ EX： 代数系统中N为自然数集，运算“”为普通的减法运算，是个半群吗？,半群,28,3、子半群 是一个半群,U U ,且运算在U是封闭的, 那么 也是半群，并称为半群的子半群。 例如: 是半群,那么是它的子半群吗? 是半群,那么是它的子半群吗? 呢? 定理5-3.2 设是一个半群，若S是一个有限集,则必有aS,使得 a*a=a. (证明过程详细讲,属考试范围),半群,29,4、独异点（单元半群或含幺半群） 定义：一个半群，若拥有幺元，则称其为含幺半群或单元半群。 EX：，是独异点吗？ 和 呢? 定理5-3.

15、3：独异点关于运算“ ”的运算表中的任意两行（列）都不相同。 EX：考察与是否是独异点? 定理5-3.4：设是独异点,对于任意a,b S,且a,b均 有逆元,则 (1) (a-1)-1=a (2) a*b有逆元,且(a*b)-1=b-1*a-1 课堂练习:P190(5),半群,30,5.4 群与子群,一、群的定义 1设是一个代数系统，其中G非空,*是G上的二元运算, 若: (1) *关于G封闭 (广群) (2) *是可结合的 (半群) (3) 系统中含有幺元 (独异点) (4) 对于任意的x G,则有x-1 G (群) 2如果是群，且G是有限集，则称是有限群，否则称为无限群。 若为有限群，G的

16、基数通常称为该有限群的阶数，记为|G|。 若为无限群，则其阶是无穷大。,31,群,32,EX：由一个元素构成的代数系统是群吗？ EX： 是一个群吗？ Q是有理数集，*是普通的乘法运算。 ， I是整数集， *是普通的乘法运算。 呢?其中,A=a,b,c,群,33,群的几个重要定理： 定理1：一个阶大于 1 的群没有零元。 反证：设群的阶大于1，且其零元是,则对群中任意元素xG，有：x * = * x=， 设幺元为 e，由代数系统的性质知，阶大于 1 的代数系统，若存在幺元和零元，则必有：e 。 x * = * x=e，即不存在逆元， 这与是群矛盾。 一个群，如果它有零元，则它的阶一定等于1， 或

17、一个群，若阶大于1，则必无零元。,群,34,定理2：设是一个群，对a，b G，可有 存在唯一元素x G，使得a *x =b 证明: a *（a-1 * b） = e *b = b 而a-1 * b G， 存在一个x G，x = a-1 * b 使得a * x =b； 设另一元素x，使得a * x =b，则 a-1* （a* x）=a-1 * b， x = a-1 * b，即x =x。,群,35,定理3：如果是一个群，则对于a，b，cG都有： a b =a c b =c b a =c a b =c 消去律 证明： a b =a c 且a的逆元为a-1， a-1 （a b）= a-1 （a c）

18、（a-1 a） b=（a-1 a） c，即 e b =e c b =c 同理：由b a =c a b = c。即群满足消去律。,群,36,定义:设S是一个非空集合,从集合S到S的一个双射称为S的一个置换。 定理4：是一个群，则该代数系统的运算表中的每一行或每一列都是G的元素的一个置换 。 证略(P193),群,37,定理5：除了幺元外，群没有其它的等幂元素。 证：假设a是群的等幂元素，（e是幺元）， 且ae，则a =a a ， 而e = a-1 a =a-1 (a a) =(a-1 a) a =e a =a， 与ae矛盾 。,群,38,二、子群的定义： 1、设是一个群，S是G的一非空子集，如果

19、也构成了群，则称是的子群。 例如：是一个群，则是它的子群吗？ 注意：若是一个群，称和是 的平凡子群。 关于子群的几个重要定理： 定理5-4.6：设是一个群， 是的子群，那么中的幺元e也必定是中的幺元 。 证明：设中的幺元 为e1，对于任一x S G必有 e1 *x=x=e*x，故e1 =e 。,群,39,定理5-4.7：设是一个群， B是G的非空子集,如果B是一个有限集,那么,只要运算*在B上封闭,必定是的子群。 (非常重要,常作为证明子群的依据来用,要求熟练掌握) 证明：P195,详讲。 定理5-4.8：设是一个群， S是G的非空子集,如果对于S中的任意元素a和b都有a*b-1 S,则必定是

20、的子群。 (重要程度同定理5-4.7),群,40,5.5 阿贝尔群和循环群 如果一个群中的运算*是可交换的，则称该群为阿贝尔群,或称交换群。 EX:和均阿贝尔群。 如果一个群，G中的每一个元素都是 G 内某一固定元素 a 的某一次幂，则此群为由 a 所生成的循环群，而元素 a 称为此群的生成元。 EX:P191的例1中的代数系统是循环群。 定理5-5.2:任何一个循环必定是阿贝尔群。 定理5-5.3:设是一个由元素a G生成的有限循环群。如果群的阶数是n,则an=e,且G=a,a1,a2, ,an=e,其中e是G中的幺元,n是使an=e的最小正整数。,半群,41,5.7 陪集与拉格朗日定理 定

21、义5-7.1:设是一个群,A，B P(G),且A，B非空，记 AB=a*b|a A, b B 和 A-1=a-1|a A 分别称为A，B的积和A的逆。 定义5-7.2: 设是群 的一个子群a G，则集合aH称为由a确定的H在G中的左陪集，简称为H关于a的左陪集，记为aH。元素a称为陪集aH的代表元素。 定理5-7.1(拉格朗日定理):设是群 的一个子群，那么 （a） R= | a G，b G且a-1 *bH 是G中的一个等价关系。对于 a G， 若记aR=x | x G 且 R 则aR = aH 。 (b) 如果G是有限群, |G|=n , |H|=m , 则 m|n 。 (非常重要,用来判断

22、子群是否正确,重点掌握),半群,42,根据拉格朗日定理,可以直接得到以下两个重要的推论: 推论1: 任何质数阶的群不可能有非平凡子群。 推论2: 设是n阶有限群, 那么对于任意的a G，a的阶必是n的因子且必有an=e, 这里e是群中的幺元 。如果n为质数,则必是循环群。,半群,43,5.8 同态与同构 1、同态定义：设与是两个代数系统，如果存在一个映射f：A B，使得对x1，x2A，都有 f（x1 x2）= f（x1）*f（x2），就称f是一个从到 的同态映射，或说 与同态。 把称为的一个同态象. 其中f(A)=x| x=f(a), a A B 若f是满射，则称与满同态； 若f是单射，则称与

23、单同态； 若f是双射，则称与同构；,群,44,EX1：设集合A=a，b，c，在A上定义运算。如下表，那么， V1=， V1=，其中 I 是正整数集合，+ 运算是普通的加法。V1 和V1是否同态？,解：作映射 f ：IA，,同构与同态,45,2、同构 两个代数系统同构必须具备以下三个条件： 这两个代数系统是同类型的。 该两个代数系统的两个集合里的元素是一一对应的。 定义在这两个集合上的运算法则完全相同。,46,EX1：设A=a，b，c，d，在 A 上定义一个二元运算“”，又设B=，在 A 上定义一个二元运算 “*”，如下表： 证明：和是同构 证明：考察映射 f (a)=, f (b)=, f (

24、c)=, f (d)=显然，f 是一个从A到B的双射，由表容易验证 f 是由（ 和的同构。 考察映射 g，使得 g (a)= , g(b)= , g (c)=, g (d)= ，g也是由和的同构。 两个代数系统是同构，他们之间的同构映射可以是不唯一的。,同构与同态,47,EX2：设代数系统及。其中U=1，2，3，V=4，5，6，而其运算可分别由下表： 试问：它们是同构吗？,同构与同态,48,解： 作映射 f：I2I，f(x) =2x， 则 f 是双射。 对任何a，bI， f(a+b)=2(a+b)=2a+ab=2a+2b=f(a)+f(b) 因此，V1 和 V2 同构,EX3: 设代数系统V1

25、=，V2=，其中I是整数集合，+ 运算是一般的加运算，V1 和 V2 是否同构？,同构与同态,49,EX4: 设代数系统V1=，V2=，其中A1=1，2，3，4， A2=a，b，c，d，* 和 的运算分别如下表，V1 和 V2 是否同构？,解： 作双射 f：A1A2，f(1)=b, f(2)=d, f(3)=c, f(4)=a,同构与同态,50,2群同态的性质： 定理1；设是群（G1，）到（G2，*）的同态映射，e1和e2分别为（G1， ）和（G2，*）的单位元，则 （e1）=e2 （a-1）=（a）-1，对 aG1 证： （e1 e1）= （e1）*（e1）=（e1）= （e1）* e2 由

26、 G2 的消去律，（e1）=e2 任取a G1，由 （a-1）*（a）=（a-1a）=（e1）=e2 （a）*（a-1） =（a a-1）=（e1）=e2 可知：（a-1）是（a）的逆元， （a-1）=（a）-1,群,51,定理5-8.2：设f是从代数系统到代数系统的同态映射。 若是半群,那么在f的作用下,同态象也是半群。 若是独异点,那么在f的作用下,同态象也是独异点。 若是群,那么在f的作用下,同态象也是群。 证明: (详细讲解),群,52,5.9环与域,1、定义 对具有两个二元运算的代数系统，如果 （1）是交换群(阿贝尔群)； （2）是半群; （3）“ ”对“ + ”满足分配律，即对a,

27、b,cU, a (b +c)=(a b)+(a c) (b +c) a =b a+ c a 成立 则称是环。 如果是含幺半群， 则称是含幺的环 如果U，是可换半群，则称U,+ , 是可换环。,53,EX：在数系中，整数、有理数、实数对普通的加法及乘法运算构成的代数系统是环吗？正整数对普通的加法及乘法运算构成的代数系统是环吗？ I，+，、Q；+， 、 R；+， 都是环， I+，+， 不是环。 约定：在环U，+， 中运算符“+”及“ ”通常称为“加”与“乘”，U，+中的幺元称作加法幺元，并记为，或者称为乘法零元，而用 a 表示 a 的加法逆元。 零元，对aU，有：+a =a，对aU，存在 -aU，

28、使得a+（-a）=。 如果U，是含幺半群，则把运算“ ”的幺元称为乘法幺元，并记为e，如果U中的元素存在乘法逆元，就用a-1表示。,环,54,由环的定义中可知：加法的幺元必是对乘法的零元。 证明：对环U，+，a，b ，cU，有： a（b +c）=a b +a c （b +c） a= b a+ c a U，+是群，故必存在幺元，U，使得 a （b+）=a b= a b += a b + a 由于群满足消去律，故 =a （b+） a = b a =b a+= b a+ a = a a = a= 故加法幺元“”是乘法的零元， U， 中有零元。,环,55,2、定理：设U，+，是一个环，则对任意的a,b

29、,cU，有： （1）a = a= （2）a （-b）=(-a) b = - (a b) （3）(-a) (-b)=a b （4）a (b-c)=a b - a c （5）(b-c) a =b a - c a 其中是加法幺元、-a 是 a 的加法逆元，并记 a+（-b）= a-b,环,56,证明： 是加法幺元 是乘法零元，故a = a= a b+ a （-b）=a (b+(-b)= a = a （-b）=-(a b) 同理可证：（-a） b= -（a b） （-a） （-b）= -a (-b) = - - (a b)=a b a （b-c）=a （b+(-c)）=a b +a (-c)=a b-

30、a c (b-c) a =b+(-c) a = b a+(-c) a= b a - c a,环,57,3定义：设U，+，是一个环，a，bU，若a，b，但 a b=，则称U，+， 有零因子。 4、定理：若U，+，没有零因子，则两个消去律都成立，即对U中的元素a，b ，c有： a，a b = a c b = c， a，b a = c a b = c， 反之，环U，+， 有消去律成立，则此环没有零因子。,环,证： 由 a b = a c a b +（- a c）= a c +（- a c）= 即a b - a c =， a （b-c）=。 a，且无零因子， a （b-c）=b-c=b =c （若b-

31、c，则因a，且a （b-c）=，则该环有零因子）。 同理：a，b a = c a b = c，即两个消去律都成立。 假设环中有零因子，设a，bU， 且a，b，但a b=， 当a时，a b= a ， 由消去律：b=，这与b矛盾。 同理：当b时，有：a =，这与a矛盾。 环（U，+， ）有消去律成立，则环中无零因子,环,59,第六章 格与布尔代数,60,6.1格的概念,本章将介绍其他的代数系统格和布尔代数，格论是数学的一个分支，不仅在近代解析几何有重要的作用，而且在计算机领域也有一定的用途；布尔代数形成比较早，在19世纪，就已经有了相当的发展，布尔代数是研究和逻辑、集合等运算有关的知识。,61,6

32、.1格的概念及性质,EX：偏序集(2,3,5,7,14,15,21,/)，“/”为整除关系。 其hasze图如下：2,7的最小上界、最大下界各为什么？2,3呢？5,14呢？ 2,7的最小上界为14。最大下界无。 2,3的最小上界无，最大下界无。 5,14的最小上界无，最大下界无。,62,6.1格的概念,然而也存在这样一类偏序集，它的每一对元素都有最小上界和最大下界，如：偏序集(1,2,3,4,6,8,12,24,/)：其Hasze图如下：,63,一、格,1定义：设是一个偏序集，若对A中的任两个元素a、b，都有最小上界和最大下界，则称为格。 其中上确界 lub a,b，记为ab,称为a和b的并。

33、 下确界 glb a,b，记为ab,称为a和b的交。 将、，看作集合上的两个二元运算，故格也记作。,64,一、格,下述偏序集能构成格的是（ ？）,(a),(b),(c),(d),b,b,c,d,e,f,a,c,d,f,a,b,c,d,e,f,g,h,a,b,c,d,e,f,a,c,65,二、格的性质,定理1：若是一个格，则对任意a、b 、cA，有 （1）aab， bab （2）aba ，abb （3）若ac且bc，则abc （4）若ca且cb，则cab,66,二、格的性质,（1）aab， bab 证明：因ab= luba，b，它显然是 a 的一个上界， aab ，同理：bab。 （2） aba

34、 ，abb 证明：因ab= glba，b，它显然是 a 的一个下界， aba ，同理：abb。,67,二、格的性质,（3）若ac且bc，则abc 证明：ac且bc，由上界的定义知， c是a，b的一个上界， 而ab是a，b的最小上界， abc。 （4） 若ca且cb，则cab 证明：ca且cb，由下界的定义知， c是a，b的一个下界， 而ab是a，b的最大下界， cab。,68,二、格的性质,推论：在中，对于任意a，b ，cA，如果bc，则 abac，abac。 定理2：若是一个格，则对于任意a，bA，以下三个公式等价； （1）ab （2）ab =b （3）ab =a,69,二、格的性质,（1）

35、ab （2）ab =b （3）ab =a 证明：（1）（2） ab 且偏序关系是自反的。 bb ， abb 又 bab成立 ab =b（偏序关系是反对称的） 设ab=b aab成立，将ab =b代入aab得：ab 类似可证（1）（3）,70,二、格的性质,定理3：是一个格，则对于任意a，b，cA，满足以下四个定律： （1）交换律： ab =ba ab =ba （2）吸收律： a（ab）=a a （ab ）=a （3）结合律：a（bc）=（ab ）c， a（bc）=（ab ）c （4）等幂律：aa = a aa = a,71,二、格的性质,定理4：设有格，对于任意a，b，c，dA，如果 ab和cd，则 （1） acbd， （2）acbd 证： bbd，dbd ， 而ab，cd， 由传递性可得：abd ，cbd， 这就表明bd是a和c的一个上界，而ac是a和c的最小上界， 必有acbd。 类似地可以证明：acbd,72,二、格的性质,定理5：在一个格中，对于任意a，b，c A，有下列分配不等式成立： （1）a（bc）（ab）（ac） （2）a（bc）（ab）（ac） 证：由定理1，（1）（2）知： aab和aac，可得： a =aa（ab）（ac）， 又 bc bab和 bccac bc=（bc）（bc）（ab）（ac） 对于和，有：a（bc）（ab）（ac） 利用对