现代控制理论ch1

1、1 控制系统的状态空间表达式,在现代控制理论中，通常采用状态空间表达式作为系统的数学模型，用时域分析法分析和研究系统的动态特性。状态空间表达式是一阶矩阵向量微分方程组，它描述了系统的输入、输出与内部状态之间的关系，揭示了系统内部状态的运动规律，反映了控制系统动态特性的全部信息。同时采用矩阵表示方法可使系统的数学表达式简洁明了，易于计算机求解，也为多输入多输出及时变系统的分析研究提供了有力的工具。,控制系统的状态是指能完全描述系统时域行为的一个最小变量组。所谓完全描述，指的是当给定了这个最小变量组在初始时刻 的值和 时刻系统的输入函数，那么系统在 任何时刻的行为就可以完全确定。 系统在 时刻的状

2、态是由 时刻的系统状态（初始状态）和 时的输入唯一确定的，而与 时刻以前的状态和输入无关。,1.1 状态变量及状态空间表达式,1.1.1 状态变量,状态变量 足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量为状态变量。一个用n阶微分方程描述的系统，就有n个独立变量，当这n个独立变量的时间响应都求得时，系统的运动状态也就被揭示无遗了。因此，可以说该系统的状态变量就是n阶系统的n个独立变量。,1.1.1 状态变量,同一个系统，究竞选取哪些变量作为独立变量，这不是唯一的，重要的是这些变量应该是相互独立的，且其个数应等于微分方程的阶数；又由于微分方程的阶数唯一地取决于系统中独立储能元件的个数，因此状态变量

3、的个数就应等于系统独立储能元件的个数。,1.1.1 状态变量,系统状态变量并非一定是系统的输出变量，也不一定是在物理上可测量的或可观测的。但在实际应用时，状态变量通常还是选择容易测量的量。,如果n个状态变量用 表示，并把这些状态变量看作是矢量 的分量，则 就称为状态向量。记作：,1.1.2 状态向量,或,1.1.3 状态空间,以状态变量 为坐标轴所构成的n维空间，称为状态空间。在特定时刻t，状态向量 在状态空间中是一点。已知初始时刻 状态 ，就得到状态空间中的一个初始点。随着时间的推移， 将在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨线。状态向量的状态空间表示将向量的代数表示和几何概念联系起来了。,

4、1.1.4 状态方程,由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系统的状态方程。,1.1.4 状态方程,图1-1是R-L-C网络，说明如何用状态变量描述这一系统。,1.1.4 状态方程,该系统有两个独立的储能元件L和C，所以应该有两个状态变量。我们可以取电容C两端电压 和流过电感L的电流i作为系统的两个状态变量。 根据基尔霍夫电压定律和R、L、C元件的电压电流关系，可得到下列方程：,令 ，整理得图1.1系统的状态方程为：,1.1.4 状态方程,写成矢量矩阵形式，则状态方程为：,或,1.1.4 状态方程,式中,1.1.5 输出方程,在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关系式，称为系统的

5、输出方程。,1.1.5 输出方程,在图1.1系统中，指定 作为输出，输出一般用 表示，则系统的输出方程为：,输出方程的矩阵表示形式为：,或,或,式中,1.1.6 状态空间表达式,状态方程和输出方程总合起来，构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。,写成矩阵形式,1.1.6 状态空间表达式,在经典控制理论中，用指定某个输出量的高阶微分方程来描述系统的动态过程。 在图1.1的系统中，在以 作为输出时，消去中间变量 ，得到二阶微分方程为,1.1.6 状态空间表达式,相应的传递函数为,1.1.6 状态空间表达式,如果要从高阶微分方程或传递函数变换为状态方程，那么此时的状态方程可以有无穷

6、多种形式，这是由于状态变量的选取可以有无穷多种的缘由。 在 中，改选 和 作为两个状态变量，即令 ，则得一阶微分方程组为,此示，同一系统中，状态变量选取的不同，状态方程也不同。,1.1.6 状态空间表达式,即,1.1.6 状态空间表达式,以状态为表示形式的描述系统动力学行为的方法和经典控制理论中的传递函数不同，它把输入到输出之间的信息传递分为两段来描述。第一段是输入引起系统内部状态发生变化，第二段是系统内部的状态变化引起系统输出的变化。前者用状态方程描述，后者用输出方程描述。由于这种描述可以深入到系统的内部，故称之为内部描述，而传递函数只能从外部描述系统输入到输出之间的传递关系，并不能反映内部

7、状态变化，故称之为外部描述。,1.1.6 状态空间表达式,传递函数描述法 状态空间描述法,1.1.6 状态空间表达式,设单输入单输出定常系统，其状态变量为 ，则状态方程的一般形式为：,输出方程有如下形式,1.1.6 状态空间表达式,状态矩阵表达式的矢量矩阵形式为,式中 为n维状态矢量； 为输 入矩阵或控制矩阵；,1.1.6 状态空间表达式,为输出矩阵。,为系统矩阵；,1.1.6 状态空间表达式,具有r个输入，m个输出的复杂系统，状态方程为：,1.1.6 状态空间表达式,输出方程不仅式状态变量的组合，而且还可能有输入矢量的直接传递，因而有如下一般形式,1.1.6 状态空间表达式,多输入多输系统状

8、态空间表达式的矢量矩阵形式为：,式中,为n维状态矢量；,1.1.6 状态空间表达式,为 维输出矢量；,为 维输入(或控制)矢量；,1.1.6 状态空间表达式,为 维系统矩阵，表示系统内部各状态变量之间的关联情况。,为 维输入(或控制)矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况。,1.1.6 状态空间表达式,为 维输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系。,为 维直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。一般令D=0,1.1.7 状态空间表达式的系统框图,可以用框图表示信号传递的关系。用单线箭头表示标量信号，用双线箭头表示矢量信号。,1.1.7 状态空间表达式的系统框图,1.2 状态变量及状态

9、空间表达式的模拟结构图,在状态空间分析 中，采用模拟结构图来反映系统各个状态变量之间的信息传递关系，对建立系统的状态空间表达式很有帮助。 状态空间表达式的框图绘制步骤：积分器的数目等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据所给的状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。,1.2 状态变量及状态空间表达式的模拟结构图,一阶标量微分方程 的模拟结构图如下：,1.2 状态变量及状态空间表达式的模拟结构图,三阶微分方程 的模拟结构图如下：,1.2 状态空间表达式的模拟结构图,由状态空间表达式也可画出相应的模拟结构图。系统,1

10、.2 状态空间表达式的模拟结构图,1.2 状态空间表达式的模拟结构图,二输入二输出的二阶系统，其模拟结构图已相当复杂。,1.2 状态空间表达式的模拟结构图,1.3 状态变量及状态空间表达式的建立（一）,建立系统的状态空间表达式，一般有如下三种方法： 1 由系统框图建立； 2 从系统的物理或化学机理出发进行推导； 3 由描述系统运动过程的高阶微分方程或传递函数予以演化而得。,1.3.1 从系统框图出发建立状态空间表达式,要将系统框图模型转化为状态空间表达式，一般可以由下列三个步骤组成： 第一步：在系统框图的基础上，将各环节通过等效变换分解，使得整个系统只有标准积分器（1/s）、比例器（k）及其综

11、合器（加法器）组成，这三种基本器件通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统,得到模拟结构图。,1.3.1 从系统框图出发建立状态空间表达式,第二步：将上述模拟结构图中的每个标准积分器（1/s）的输出作为一个独立的状态变量 ，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数 。 第三步：根据模拟结构图中各信号的关系，可以写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。根据需要指定输出变量，即可以从模拟结构图写出系统的输出方程。,1.3.1 从系统框图出发建立状态空间表达式,由方框图绘模拟结构图 例：,1.3.1 从系统框图出发建立状态空间表达式,【例1-1】 ：系统框图如图1-7a所示，输入为u

12、输出为y。试求其状态空间表达式。,图1-7a,1.3.1 从系统框图出发建立状态空间表达式,解：该系统主要有两个一阶惯性环节和一个积分器组成。对于一阶惯性环节，我们可以通过等效变换，转化为一个前向通道为一标准积分器的反馈系统。,图1-7a所示方块图经等效变换后如图1-7b所示。我们取每个积分器的输出端信号为状态变量 ，积分器的输入端即 。从图可得系统状态方程：,1.3.1 从系统框图出发建立状态空间表达式,图1-7b,1.3.1 从系统框图出发建立状态空间表达式,状态方程,输出方程,1.3.1 从系统框图出发建立状态空间表达式,写成矢量矩阵形式，系统的状态空间表达式为:,1.3.1 从系统框图

13、出发建立状态空间表达式,【练习】某控制系统的方块图如下图所示，试求其状态空间表达式。,1.3.1 从系统框图出发建立状态空间表达式,方块图经等效变换后如下图,1.3.1 从系统框图出发建立状态空间表达式,状态空间表达式为:,1.3.1 从系统框图出发建立状态空间表达式,【例1-2】 求如图1-8（a）所示系统的状态空间表达式。,图 1-8（a）系统方块图,1.3.1 从系统框图出发建立状态空间表达式,解：对于含有零点的环节，如图1-8(a)中第一个 环节 ，可将其展开成部分分式，分 解为 ，从而得到等效框图1-8(b)，模拟结 构图如图1-8(c)所示。,1.3.1 从系统框图出发建立状态空间

14、表达式,1.3.1 从系统框图出发建立状态空间表达式,依次取各个积分器的输出端信号为系统状态变量 ，由1-8(c)可得系统状态空间表达式为：,1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式,一般常见的 控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、机电、气动液压、热力系统等。根据其物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律等，即可建立系统的状态方程。当指定系统的输出时，很容易写出系统的输出方程。,1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式,控制系统中一些常见的贮能元件及其相应的能量方程,1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式,【例1-3】 电网络如图1-9所示,输入量为电流源,并

15、指定以电容 上的电压作为输出,求此电网络的状态空间表达式。,1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式,1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式,解: 此网络没有纯电容回路,也没有纯电感割集,因有两个电容两个电感,共四个独立储能元件,故有四个独立变量。 以电容 上的电压 及电感 中的电流 为状态变量。 即令,1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式,从节点a、b、c，按基儿霍夫电流定律列出电流方程：,1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式,从三个回路 ，按基尔霍夫电压定律列出电压方程 ：,1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式,从以上6个式子削去非独立变量 和

16、，得：,从上述四式解出 ，最后得到状态空间表达式,1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式,1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式,【例1-4】 写出图1-11所示机械旋转运动模型的状态空间表达式。图中J为转动惯量；K为扭转轴的刚性系数；B为粘性阻尼系数；T为施加于扭转轴上的力矩。,1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式,解：选择扭转轴的转动角度 及其角速度 为状态变量，并令 于是有 根据牛顿定律可得,1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式,从而有 指定 为输出,1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式,从而状态表达式为,1.3.2 从系统的机理出发建立状态

17、空间表达式,【例1-5】 多输入多输出系统（MIMO） 如图2-5所示机械系统,质量 ，各受到 的作用，其相对静平衡位置的位移分别为 。,取 为系统四个状态变量， 为系统两个控制输入，即令,1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式,根据牛顿定律，分别对 进行受力分析，我们有：,1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式,则有状态方程：,1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式,如果取 为系统的两个输出，即：,写成矢量形式，得系统的状态空间表达式为：,1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式,1.4 状态变量及状态空间表达式的建立（二）,由系统的传递函数或描述系统输入输出动

18、态关系的运动方程建立系统的状态空间表达式的问题称为系统的实现问题。 因为传递函数只是表达了系统输出与输入的关系，却没有表明系统内部的结构，而状态空间表达式却可以完整的表明系统内部的结构，有了系统的状态空间表达式，就可以唯一地模拟实现该系统。系统的实现是非唯一的，比较复杂。,1.4 状态变量及状态空间表达式的建立（二）,从经典控制理论中知道，任何一个线性系统都可以用下列线性微分方程表示： 其传递函数就是输出信号 的Laplace变换 与输入信号 的Laplace变换 之比，其形式为如下 的有理分式：,1.4 状态变量及状态空间表达式的建立（二）,所谓实现问题就是根据上述两式求如下的状态空间表达式

19、：,1.4 状态变量及状态空间表达式的建立（二）,系统实现存在的条件为 。 当 时 ,当 时 。 尽管实现是非唯一的，但只要原系统传递函数中分子和分母没有公因子，即不出现零极对消，则n阶系统必有n个独立状态变量，必有n个一阶微分方程与之等效。,1.4 状态变量及状态空间表达式的建立（二）,当 时,这意味着输出含有与输入直接关联的项。,1.4.1 传递函数中没有零点时的实现,没有零极对消的传递函的实现称为最小实现。 系统的微分方程为 相应的传递函数为,1.4.1 传递函数中没有零点时的实现,上式的实现有多种结构，常用的简便形式可由相应的模拟结构图(图1-13)给出。,1.4.1 传递函数中没有零

20、点时的实现,将图中每个积分器的输出作为状态变量，称为相变量，它是输出 (或 )的各阶导数。 由上图列出系统的状态方程:,1.4.1 传递函数中没有零点时的实现,输出方程: 表成矩阵形式为:,1.4.1 传递函数中没有零点时的实现,下面形式的矩阵A 称为友矩阵。,1.4.1 传递函数中没有零点时的实现,【例1-6】：系统的输入输出微分方程为 写出其状态空间表达式。 解：,1.4.1 传递函数中没有零点时的实现,写成矩阵方程,系统的输入输出微分方程为:,代入上方程得,1.4.1 传递函数中没有零点时的实现,输出方程为,1.4.2 传递函数中没有零点时的实现,该状态空间表达式的模拟结构图,1.4.2

21、 传递函数中有零点时的实现,此时,系统的微分方程为：,系统传递函数为:,1.4.2 传递函数中有零点时的实现,不失一般性，我们假设 。,系统传递函数为:,1.4.2 传递函数中有零点时的实现,不失一般性，我们假设 。,将上式写为：,其中,1.4.2 传递函数中有零点时的实现,令,其实现可如下进行： 引入新变量 ，并且令,则代入上式得,1.4.2 传递函数中有零点时的实现,将上述二式分别作拉氏反变换，得：,则,1.4.2 传递函数中有零点时的实现,选择状态变量如下：,即,1.4.2 传递函数中有零点时的实现,由(2)式得:,所以得系统状态方程为：,1.4.2 传递函数中有零点时的实现,至于系统的

22、输出 ，由,作拉氏反变换，并将(1)代入，可得：,1.4.2 传递函数中有零点时的实现,将(3),(4)式写成矢量形式，得系统的状态空间表达式:,1.4.2 传递函数中有零点时的实现,1.4.2 传递函数中有零点时的实现,注意：当 中 时， ， 这时系统的状态空间表达式可以直接从传递函数的分子、分母多项式的系数写出。,1.4.2 传递函数中有零点时的实现,1.4.2 传递函数中有零点时的实现,1.4.2 传递函数中有零点时的实现,【例1-9】给定系统的输入输出描述为： 相应的一个状态空间表达式为：,1.4.2 传递函数中有零点时的实现,实现是非唯一的，下面用另外的方法实现 (1)状态变量 选择

23、状态变量，使导出的一阶微分方程组右边不出现 的导数项。 令:,1.4.2 传递函数中有零点时的实现,式中系数 待定. 用 分别乘以（1）式中相应方程两端，并移项，得：,1.4.2 传递函数中有零点时的实现,不难看出，上式各方程左端相加等于线性微分方程的左端，右端等于线性微分方程的右端，则有：,1.4.2 传递函数中有零点时的实现,等式两边 的系数应相等，由此得：,1.4.2 传递函数中有零点时的实现,（2）导出状态变量的一阶微分方程组和输出关系式. 考虑到: 对(1)式求导:,1.4.2 传递函数中有零点时的实现,1.4.2 传递函数中有零点时的实现,（3）化为向量形式 状态方程: 输出方程,

24、1.4.2 传递函数中有零点时的实现,(3)式表示为矢量形式,即,1.4.2 传递函数中有零点时的实现,【例1-10】系统输出-输入微分方程为: 写出状态空间表达式 解:系数:,1.4.2 传递函数中有零点时的实现,由 得,1.4.2 传递函数中有零点时的实现,状态方程 输出方程,1.4.3 多输入多输出系统微分方程的实现,设系统的微分方程为 同单输入单输出系统一样,此系统的实现也是非唯一的。,1.4.3 多输入多输出系统微分方程的实现,对每一个方程积分 故得模拟结构图如图1-17所示,1.4.3 多输入多输出系统微分方程的实现,1.4.3 多输入多输出系统微分方程的实现,取每个积分器的输出为

25、一个状态变量，则得系统的一种实现为,1.4.3 多输入多输出系统微分方程的实现,矢量形式为,1.5 状态矢量的线性变换,对于一个给定的定常系统可以选取许多种状态变量，相应地有许多种状态空间表达式描述同一系统也就是说系统可以有多种结构形式。所选取的状态向量之间，实际上是一种向量的线性变换(或称坐标变换)。,设给定系统为： 我们总可以找到任意一个非奇异矩阵 ，将原状态向量 作线性变换，得到另一状态向量 , 设变换关系为： 或,1.5.1 系统状态空间表达式的非唯一性,代入状态方程和输出方程，得到新的状态空间表达式： 即 两边左乘 得,1.5.1 系统状态空间表达式的非唯一性,其中 由于 为任意非奇

26、异矩阵，所以系统的状态空间表达式是不唯一的。称 为变换矩阵.,1.5.1 系统状态空间表达式的非唯一性,或,【例1-10】某系统状态空间表达式为 1）若取变换矩阵 则变换后的状态向量为：,1.5.1 系统状态空间表达式的非唯一性,1.5.1 系统状态空间表达式的非唯一性,新的状态向量 是原状态向量 的线性组合.,1.5.1 系统状态空间表达式的非唯一性,变换后,1.5.1 系统状态空间表达式的非唯一性,即变换后的状态空间表达式为,1.5.1 系统状态空间表达式的非唯一性,2）若取变换矩阵 则变换后的状态向量为：,1.5.1 系统状态空间表达式的非唯一性,变换后的状态空间表达式为：,1.5.2

27、系统特征值的不变性及系统的不变量,1.系统特征值 系统 的特征值就是系统矩阵 的特征值,即特征方程 的根.,1.5.2 系统特征值的不变性及系统的不变量,2.系统的不变量与特征值的不变性 同一系统 经非奇异变换后，得 其特征方程 与 形式虽然不同,但但实际是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。,1.5.2 系统特征值的不变性及系统的不变量,将特征方程写成特征多项式,1.5.2 系统特征值的不变性及系统的不变量,由于特征值全由特征多项式的系数 唯一地确定，而特征值经非奇异变换是不变的，那么这些系数 也是不变的量。所以称特征多项式的系数为系统的不变量。,1.5.2 系统特征值的不变性及系

28、统的不变量,3. 特征矢量 一个n维向量 经过以 作为变换阵的变换，得到一个新的向量 ，即 。如果此向量 经 线性变换后，方向不变，仅长度变化 倍( 为标量，它是变换阵 的特征值)则称 为 的对应于 的特征向量，此时有,1.5.2 系统特征值的不变性及系统的不变量,【例1-9】求 的特征向量。 解：先求特征值，由特征方程,1.5.2 系统特征值的不变性及系统的不变量,1）对应于 的特征向量 ,设 按照特征向量的定义，有 则 乘开后得到：,1.5.2 系统特征值的不变性及系统的不变量,解之得： 令 用同样得方法可以分别算出对应于 及 的特征向量分别为:,1.5.3 状态空间表达式变换为Jorda

29、n标准型,将 变换为 根据系统矩阵A,求特征值,可以直接写出系统的Jordan标准型矩阵J.,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,无重根 有重根( 个重根 ),1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,要得到变换的控制矩阵 和输出矩阵 ,必须求出变换矩阵 . 根据 阵形式及有无重根的情况，分别介绍几种求T的方法。 1 阵为任意形式 (1)设 是 的 个互异特征根,求出 的特征矢量 ,则变换矩阵,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,证明：由于特征值 互异，故特征向量 线性无关，从而它们构成的矩阵 必为非奇异，即 存在，从而可将 两边乘 ,有,1.5.3

30、状态空间表达式变换为Jordan标准型,证明：由于特征值 互异，故特征向量 线性无关，从而它们构成的矩阵 必为非奇异，即 存在，从而可将 两边乘 ,有,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,矩阵 两边乘 根据特征矢量定义 有,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,【例1-10】试将下列状态方程变换为对角线标准型,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,解 : A的特征值及对应了各特征值的特征向量已在前例中求出,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,则可构成交换矩阵 并计算得,1.5.3 状

31、态空间表达式变换为Jordan标准型,则变换后各有关矩阵分别为,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,于是变换后的状态空间表达式为,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,(2) 特征值有重根时 设 的特征根有 个 的重根，其余 个为互异根，则通过变换，可以将 阵化为Jordan标准型,现不加证明地引出变换矩阵 的计算公式如下:,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,其中， 是对应于 个单根的特征矢量，求法同前，对应于 个重根的各矢量 的求得，应根据下式计算:,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,这里 是 对应的特征向量，其余 称为广义特

32、征矢量。,【例1-11】试将下列状态空间表达式变换为Jordan准型,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,解 : 先求出A的特征值,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,对应于 的特征矢量可求得,解得,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,再求对应于 的另一广义特征矢量,解得,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,最后求对应于 的特征矢量,可得,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,于是变换矩阵,求得,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,这样可计算出变换后各阵分别为,1.5.3 状态空间表达式变换为Jord

33、an标准型,2. A阵为标准型,即,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,(1) 的特征值无重根时,其变换矩阵是一个范德蒙德(Vandermonde)矩阵,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,【例1-12】线性定常系统 ，其中 将状态方程化为标准型.,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,解：1）确定系统特征值.,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,2）组成变换阵,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,3）求,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,系统状态方程对角线标准型为：,1.5.3 状态空间表达式变换

34、为Jordan标准型,(2) A的特征值有重根时 设特征值 是m重根， 是两两相异的，则将系统状态方程化为Jordan规范形的非奇异矩阵T的形式为,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,的特征值有重根时,以有 的三重根为例,【例1-13】线性定常系统 ,其中,将状态方程化为Jordan标准型.,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,解:1)确定系统特征值.,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,2)

35、确定T阵,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,3）求系数矩阵 与,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,Jordan标准型为：,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,(3) 有共扼复根时，以四阶系统其中有一对共扼复根为例，即,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,此时,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,系统的并联实现 系统的传递函数 化为状态空间描述.方法采用部分分式法.,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,(1) 系统传递函数的具有互异根 此时,式中

36、 为系统的特征根.,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,将其展成部分分式的形式为: 为待定系数，可按下式计算,由 得 a)选择状态变量 令 为状态变量的拉氏变换式,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,则：,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,b)化为状态变量的一阶方程组 及,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,对上式进行拉氏反变换, 得：,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,c)向量形式,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,即,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,系统的模拟结构图如图

37、1-18a或1-18b所示，这种结构采用的是积分器并联的结构形式,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,模拟结构图1-18b所示的系统状态空间表达式为 (*)式和(*)式是互为对偶的。图1-18a和1-18b也有其对偶关系,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,【例1-14】 设 ,试求其状态空间表达式. 解: 其极点为 ,而待定常数为,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,相应的状态空间表达式为,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,(2)具有重根的情况 a)特征值 为一个 重根，此时 为待定常数,按下式计算：,1.5.3 状态空间表达

38、式变换为Jordan标准型,选择状态变量 化为状态变量的一阶方程组：,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,即,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,对上式进行拉氏反变换：,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,向量形式：,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,【例1-15】 设 ,三重极点为 . 待定常数,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,状态空间表达式为,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,b)特征值为k重根 设 为 重根, 为 重根, , 为 重根,且 状态空间表达式为:,1.5.3 状态空间表达式

39、变换为Jordan标准型,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,令,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,则,称为Jordan(约旦)标准型,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,c) 同时具有单根和重根 令 为单根, 为 重根, , 为 重根, 且 状态方程：,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,输出方程：,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,特别: 设 为 重根, 是互异根. 系统的实现具有图1-19所示的结构,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,1

40、.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,由图1-19可写出其相应的状态空间方程,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,输出方程,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,特别:n=3 设 为 重根, 是单根. 系统的并联实现,1.5.3 状态空间表达式变换为Jordan标准型,1.6 从状态空间表达式求传递函数阵,从传递函数求状态空间表达式，称为系统的实现问题。 本节介绍从状态空间表达式求传递函数（阵）的问题。,1.6.1 传递函数(阵),1.单输入单输出系统 设系统的状态空间表达式为 对上式进行零初始条件下的拉氏变换，则有,U-X间的传递函数为 它是一个列阵

41、函数. U-Y间的传递函数为 它是一个标量函数.,1.6.1 传递函数(阵),2. 多输入-多输出系统 设系统的状态空间表达式为 在初始条件为零时作拉氏变换得,1.6.1 传递函数(阵),U-X间的传递函数为 U-Y间的传递函数为,1.6.1 传递函数(阵),矩阵的元素 表示第j个输入对第i个输出的传递关系。 当 时，不同标号的输入与输出有相互关联，称为耦合，这正是多输入多输出系统的特点。,1.6.1 传递函数(阵),【例1-16】已知系统如下，求传递函数。 解：,1.6.1 传递函数(阵),【例1-17】已知系统如下，求传递函数阵。 解：,1.6.1 传递函数(阵),1.6.1 传递函数(阵

42、),传递函数阵为,同一系统，尽管系统的状态空间表达式是非唯一的，但是它的传递函数是唯一的。 对系统： 作变换： 变换后传递函数：,1.6.1 传递函数(阵),实际控制系统由多个子系统,通过并联、串联或反馈联结而成。 设子系统1为： 记为 子系统2为： 记为,1.6.2 子系统在各种连接时的传递函数阵,1.并联联结 两个子系统： 并联联结指：两系统输入相同，输出为各子系统之和。其结构图如下：,1.6.2 子系统在各种连接时的传递函数阵,1.6.2 子系统在各种连接时的传递函数阵,组合系统的状态空间表达式： 而系统的传递函数为：,1.6.2 子系统在各种连接时的传递函数阵,2.串联联结 前一子系统的输出作为后一子系统的输入.,串联后传递函数阵,1.6.2 子系统在各种连接时的传递函数阵,串联组合后系统的状态空间表达式：,1.6.2 子系统在各种连接时的传递函数阵,3.反馈联结 组合系统状态空间表达式：,1.6.2 子系统在各种连接时的传递函数阵,写成矩阵形式： 系统传递函数： （1）,1.7 子系统在各种连接时的传递函数