流体力学讲义82.ppt

1、,一、圆管内粘性不可压缩流体的定常层流流动(Hagen-Poiseuille流动),（1）物理问题：,工程问题： 水平设置，质量力不计，管道很长，流动均匀，欲知输送距离 为L的管道上所需的压强差。设：流量恒定，因此流动定常。 流体力学可求解：在无限长等截面水平圆管内的粘性不可压流体的定常层流 流动中。已知：圆管直径D、长度L、流量和流体的物性 （如：密度和粘度），计算两截面1和2间的压强差,圆管Poiseulli流动示意图,（2）简化与求解,流动的几何边界是圆柱面，取固结于圆管的柱坐标系( )如图所示。Z 轴放在管中心，,定常平行流动的简化方程在此坐标系中可写为：,常数,边界条件为:,（2）简

2、化过程与求解,分析实际问题，提出简化流动模型，是用流体力学理论解决问题的重要步骤，某种意义上说，它比求解方法更为关键。为此，现从不可压缩牛顿流体的运动方程出发，详细讨论简化过程，N-S在柱坐标系中的表达式为,边界条件为:,（2）简化过程与求解,流动特征：流体在无限长直圆管中由流向压降驱动，流动是单向的定常的平行流动；且由于圆管无限长，单向流动沿流动方向是均匀的、在周向是轴对称的。所以此流场可简化为：,上式代入基本方程和边界条件，可得以下结果：,(c) 将 和 ，代入 方向的运动方程，自动满足；,(b) 将 ，代入径向动量方程，得 ；,(a)将 和 代入连续方程，原方程得到满足；,（2）简化与求

3、解,(d) 由(b)和(c)可知压强只是流向坐标的函数，P = P(z),将 和 ，代入z方向的运动方程可得到：,常数,上式中 只是z的函数，而 只是r的函数，要使等式成立，两项都必须是常量。,(e) 将 ，代入边界条件表达式，得到：,（2）简化与求解,简化的基本方程和边界条件构成定解问题，只要解出该边值问题，它就是此问题的解。由简化后表达式可看出，非线性的惯性项消失了，只需积分两次，就可得到它的一般解。,积分一次得：,再积分一次得：,根据该问题的物理特性，在管道中的流动速度应处处有界，所以必有： 。,由管壁边界条件， ，得： 。 ，,速度场的解为:,（3）解的分析与应用,体积流量公式：,(c

4、) 平均速度（圆管截面上的平均速度）：,式中R是圆管半径。上式是圆管中层流运动的流量和压降间关系式。,讨论：,(a) 圆管截面上的速度是抛物线分布；,(b) 最大速度在 处，,可见圆管中平均速度是最大速度之半。,（3）解的应用与分析,(d) 粘度计公式：,圆管层流运动的流量公式由Hagen-Poiseuille最先导出， 故又称Hagen-Poiseuille公式。,由流量公式可得到流体的粘性系数的计算公式如下：,油平均速度可得沿程阻力系数公式为： 式中,（3）解的应用与分析,（ii）若是有限长圆管，本节公式在管道进出口处不适用。离进出 口截面一定距离的流动才符合上述结果。,（i）以上结果对应

5、无限长圆管中不可压缩牛顿型流体的层流运动， 又称“完全发展的圆管层流流动”，与实验结果符合良好。,(e) 沿程阻力系数,定义：无量纲数 为圆管流动的沿程阻力系数。,注意：,二、两平行平板间流动的速度场,（1）物理问题及简化,水平放置的两块无限大平行平板间充满了不可压缩牛顿流体，不计质量力,平板间的距离为2h，如图，已知上板以等速度U 沿 x 轴正方向运动，下板固定 。截面1和2上恒定压强分别为 P1 和 P2 ，求平板间速度分布及应力分布,平面Couette流动示意图,（1）物理问题及简化,流动的几何边界是平行平面，流动方向平行于X轴，用直角坐标描述该流场最合适。如图取固结于下平板的坐标系(x

6、,y,z)，此时,流体的运动方程简化为：,边界条件是：,（2）求解速度场,动量方程积分两次得：,应用边界条件得： ， ，,于是所求问题的解为：,流场性质：,(a) 它由两部分线性迭加组成，一部分是压降驱动的流动，速度是抛物线分布；另一部分由上平板拖动，速度呈线性分布。,（2）速度场,(b) 剪应力分布 牛顿切应力公式可得 ：,表明一部分切应力由压降引起，呈线性分布；另一部分由上板移动所引起，切应力为常数。 (c) 流量公式：两平板间单位宽度的体积流量为：,(d) 截面平均速度,（2）速度场,(e) 平面Poiseuille流动,两固定的平行平板间由压强差驱动的流动称平面Poiseuille流动

7、，以上结果中令U=0，得平面Poiseuille流动的速度分布及流动特性如下：,即，平面Poiseuille流动的速度剖面也是抛物线， 最大速度在y=0处：,流量：,平均速度：,切应力分布：,最大剪应力在平板上(y=h)：,沿程阻力系数： 式中： 。,（2）速度场,三、Couette流动 （1）物理问题及简化,无限长同心圆柱和圆筒间充满不可压缩牛顿流体，内柱以等角速度绕轴旋转， 这时在环形空间内的流动称为Couette流动。,求圆柱环内的流体速度分布和作用在柱面上的剪应力？,图 Taylor-Couette 流动示意图,（1）物理问题及简化,根据该流场的几何特征，用柱坐标，将柱坐标的轴线和同心圆柱的轴线重合，已知： ， 分别为内圆柱的外径和和外圆筒的内径，内圆柱以等角速度转动。由边界条件的轴对称性和驱动条件的恒定性，推测流场是定常轴对称的，即：,， ，,柱坐标系中:,连续方程自动满足；,轴向动量方程: ，压强只是r的函数；,周向动量方程:,径向动量方程:,边界条件：,（2）速度场,设 代入方程，可得： ，,解得n=1，即：,利用边界条件，求出积分常数：,最后得：,（3）应力与力矩,上式也可用作测量流体粘度的公式，只要测定内圆柱上流体作用力矩和转速以及内外圆柱的半径，就可由该式计算流体动力粘度系数。 压强分布： 可将速度分布公式代入径向动量方程积分求出， 说 明： 压强的定