江西省高中数学第一章立体几何初步1.6.2垂直关系的性质课件北师大版.pptx

1、6.2垂直关系的性质,1.理解并掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理. 2.会用两个性质定理解决相关问题. 3.理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系.,1.直线与平面垂直的性质定理,名师点拨1.利用线面垂直的性质来证明线线平行时,其关键是找出一个平面,使所证直线都与该平面垂直. 2.线面垂直的性质定理、线面平行的性质定理、平行于同一直线的两条直线平行都是证明线线平行的依据.证明线面平行、面面平行,归结到最后还是证明线线平行. 3.垂直于同一直线的两个平面互相平行.,2.平面与平面垂直的性质定理,名师点拨1.应用面面垂直的性质定理时必须注意到两个条件:(1)线在平面内;(2)线垂直

2、于两平面的交线,因此找准两平面的交线是关键. 2.已知面面垂直的条件,其性质定理就给出了作辅助线的一种方法,设法找出(作出)一个平面内的一条直线垂直于它们的交线,就可得到线面垂直的结论.,【做一做】 如图所示,已知平面平面,=b,直线a,且a.求证:a. 证明:如图所示,在平面内作直线c,使cb. 因为,=b,所以c. 又a,因此,ac. 又a,c,所以a.,题型一,题型二,题型三,题型四,【例1】 已知直线m,n,平面,下列说法正确的是 () A.m,n,mn,则 B.,m,n,则mn C.,m,n,则mn D.,=m,mn,则n,题型一,题型二,题型三,题型四,解析:如图所示,在正方体AB

3、CD- A1B1C1D1中,直线C1C平面ABCD,直线D1C1平面A1B1C1D1,直线C1C直线D1C1,但是平面ABCD与平面A1B1C1D1平行,排除A选项;平面ABCD平面D1DCC1,直线C1C平面ABCD,B1B平面D1DCC1,但是B1BC1C,排除B选项;平面ABCD平面A1ABB1,平面ABCD平面A1ABB1=AB,ABBC1,但是BC1不垂直于平面A1ABB1,排除D选项. 答案:C 反思本题是符号语言表述的位置关系的判断题,以选择题的形式出现,通常借助几何模型,利用排除法,排除错误的选项.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 已知平面平面,m是内一条直线,

4、n是内一条直线,且mn,那么:m;n;m或n;m且n.这四个结论中,不正确的三个是() A.B. C.D. 解析:本题主要考查面面垂直的性质和线面垂直的判定,解决问题的关键是正确理解定理的条件及结论.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,令平面ABCD和平面CDD1C1分别为和,若m为AB,n为CC1,则mn,但m,故错误;同理错误.故选B. 答案:B,题型一,题型二,题型三,题型四,【例2】 如图所示,在正方体ABCD- A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且EFA1D,EFAC. 求证:EFBD1. 分析:题目条件中给出了线线垂直,通过转化可证得线面垂直,要证EFBD1,只需

5、证明EF与BD1同垂直于某一平面即可,由条件可知这里选择平面AB1C.,题型一,题型二,题型三,题型四,证明:连接AB1,B1C,BD,B1D1,如图所示. DD1平面ABCD,AC平面ABCD,DD1AC. 又ACBD,AC平面BDD1B1. BD1平面BDD1B1,ACBD1. 同理BD1B1C,又ACB1C=C, BD1平面AB1C. EFA1D,且A1DB1C,EFB1C. 又EFAC,且AC B1C=C,EF平面AB1C. EFBD1. 反思当题中垂直条件很多,但又需证明两条直线平行时,就要考虑用直线与平面垂直的性质定理,从而完成由垂直向平行的转化.,题型一,题型二,题型三,题型四,

6、【变式训练2】 (1)本例中的“正方体ABCD-A1B1C1D1”换为“长方体ABCD-A1B1C1D1”,结论“EFBD1”还成立吗? (2)本例中去掉点E,点F,线段A1D,若AC与BD的交点为O,DD1的中点为G,证明:GO平面ACB1.,题型一,题型二,题型三,题型四,(1)解:不一定成立.如例题解析在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BD与AC不一定垂直,故BD1与平面AB1C不一定垂直,所以EFBD1不一定成立. (2)证明:如图所示,连接BC1,B1D1,则B1CBC1. 又D1C1B1C,D1C1BC1=C1,B1C平面BC1D1. BD1平面BC1D1,B1CBD1. 由例

7、题知AC平面BB1D1D,且BD1平面BB1D1D, ACBD1. 又ACB1C=C,BD1平面ACB1. 由点G,O分别为DD1,DB的中点,知GOBD1, GO平面ACB1.,题型一,题型二,题型三,题型四,【例3】 如图所示,P是四边形ABCD所在平面外一点,四边形ABCD是DAB=60的菱形,G为AD边的中点,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD. 求证:(1)BG平面PAD; (2)ADPB. 分析:由题干可获取以下主要信息:四边形ABCD是DAB=60的菱形;平面PAD平面ABCD.解答本题可先由面垂直于面得线垂直于面,再进一步得出线垂直于线.,题型一,题型二,题型三

8、,题型四,证明:(1)如图所示,连接PG,BD. PAD为正三角形,G是AD的中点,PGAD. 又平面PAD平面ABCD,且平面PAD平面ABCD=AD, PG平面ABCD. BG平面ABCD,PGBG. 又四边形ABCD是菱形,且DAB=60, ABD是正三角形,BGAD. 又AD平面PAD,PG平面PAD,且ADPG=G, BG平面PAD. (2)由(1)可知BGAD,PGAD. 又BG平面PBG,PG平面PBG,且BGPG=G, AD平面PBG.PB平面PBG,ADPB.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,另一种方法是利用面面垂直的性质定

9、理,本题已知面面垂直,故考虑利用面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,证明:如图所示,取CD的中点E,连接PE,EM,EA. PCD为正三角形,PECD,PE= 又平面PCD平面ABCD,PE平面ABCD. 又AM平面ABCD,PEAM. 四边形ABCD为矩形, ADE,ECM,ABM均为直角三角形, EM2+AM2=AE2,即AMEM. 又PEEM=E,AM平面PME.AMPM.,题型一,题型二,题型三

10、,题型四,易错点:应用定理时因忽视条件而致误 【例4】 如图所示,已知S为ABC所在平面外一点,SA平面ABC,平面SAB平面SBC. 求证:BCAB. 错解:SA平面ABC,且平面SAB平面SBC, BCSB,BC平面SAB. 又AB平面SAB,BCAB. 错因分析:错因是没有理解面面垂直的定理,误认为若两个平面垂直,则一个平面内的所有直线都垂直于另一个平面,显然不正确.知道面面垂直,要证线线垂直,可将证线线垂直转化为线面垂直,由已知面面垂直,则可在一个面内作两个平面的交线的垂线,由面面垂直的性质定理可知该直线垂直于另一个平面.,题型一,题型二,题型三,题型四,正解:如图所示,过点A作AES

11、B,垂足为E, 平面SAB平面SBC,且平面SAB平面SBC=SB,AE平面SBC. BCAE,由已知SA平面ABC,得SABC, BC平面SAB,BCAB.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练4】 如图所示,在三棱锥P-ABC中,平面PAB平面ABC,PBBC.求证:BCPA.,题型一,题型二,题型三,题型四,证明: 如图所示,作POAB,垂足为O.因为平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,所以PO平面ABC,所以POBC. 因为PBBC,POPB=P,所以BC平面PAB. 因为PA平面PAB,所以BCPA.,1 2 3 4 5,1.已知直线a,b,平面,且a,下列条件中

12、,能推出ab的是() A.bB.b C.bD.b与相交 解析:由线面垂直的性质定理可知,当b,a时,ab. 答案:C,1 2 3 4 5,2.给出下列命题: 平行于同一平面的两直线平行; 垂直于同一平面的两直线平行; 平行于同一直线的两平面平行; 垂直于同一直线的两平面平行. 其中正确的有() A.B. C.D.,1 2 3 4 5,解析:如图所示,A1B1平面ABCD,A1D1平面ABCD,而A1B1与A1D1相交,故错误;C1C平面A1ABB1,C1C平面A1ADD1,而平面A1ABB1平面A1ADD1=A1A,故错误;正确.故选A. 答案:A,1 2 3 4 5,3.已知m,n是直线,是

13、平面,给出下列命题: 若,=m,nm,则n或n; 若,=m,=n,则mn; 若m不垂直于,则m不可能垂直于内的无数条直线; 若=m,mn,且n,n,则n且n. 其中正确命题的序号是.,1 2 3 4 5,解析:如图所示,命题显然错误. ,与无公共点. 交线m与交线n也无公共点. 又m,n,mn.命题正确. 虽然直线m不垂直于,但m有可能垂直于平面内的一条直线,于是内所有平行于这条直线的无数平行直线都垂直于m.命题错误. 由直线与平面平行的判定定理可知: =m,m,m. 又mn,n,n, 必有n,n.命题正确.故应填. 答案:,1 2 3 4 5,4.已知平面平面,=l,点Pl,给出下面四个结论,正确的有(只填序号). 过点P与l垂直的直线在内;过点P与垂直的直线在内;过点P与l垂直的直线必与垂直;过点P与垂直的平面必与l垂直. 解析:画出示意图,如图所示,显然,MPl,但MP不在平面内,故不