数字电路与数字逻辑 第4章_组合逻辑电路.ppt

1、第四章 组合逻辑电路的分析与设计,授课教师：孙 虹,逻辑代数（又称布尔代数）,本章学习重点, 熟记逻辑代数的基本公式和常用公式 逻辑代数的三个基本规则：代入规则、反演规则、对偶规则 逻辑函数的公式法化简,逻辑函数的卡诺图化简法,组合逻辑电路的设计方法,本章学习重点,组合逻辑电路的分析方法,组合逻辑电路中产生竞争冒险现象的原因及消除方法,第四章 组合逻辑电路的分析与设计,一 逻辑代数,二 逻辑函数的卡诺图化简法,三 组合逻辑电路的分析,四组合逻辑电路的设计,五组合逻辑电路的竞争冒险,返回,一逻辑代数,基本公式,返回,若干常用公式,（1）,证明：,（2）,证明：,由公式1A=1,由公式,由公式（1

2、7）：,（3）,证明：,由公式,（4）,证明：,由公式（7）：,由公式,由公式1A=1,（5）,证明：,由公式 添项得,由公式1A=1,同理：,由公式 添项得,由公式1A=1,视BD为一个变量,该公式说明：如果两个乘积项中分别包含 和 两个因子，而这两个乘积项的其余因子组成第3个乘积项时，则第3个乘积项是多余的，可以消去。,（6）,证明：,利用摩根定理,由公式,同理：,利用摩根定理,由公式,三个基本规则（或称基本定理）,（1）代入规则,在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。,解：以（B+C）代入前边等式中B的位置，有,以BC代入前边等式中B的

3、位置，有,原式L,（2）反演规则, ,10,01,逻辑变量取反,运算顺序不变,两变量及以上的非号不动,反函数,（ ）,（ ）,例1：已知,，求,解：,适当加括号以保证原有运算优先关系,例2：已知,，求,解：,两变量以上的非号不动,由例可见，用反演定理可以较快地得到逻辑函数的反函数。,（3）对偶规则,原式L, ,10,01,逻辑变量不变,运算顺序不变,两变量及以上的非号不动,对偶式,适当加括号以保证原有运算优先关系,（ ）,如：,两变量以上的非号不动,两变量以上的非号不动,对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如：,

4、逻辑函数的表达式,一个逻辑函数的表达式常用的有以下5种表示形式:,一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。,逻辑函数表达式的表示形式,点击此处 可以观看 （1）至（2） 推导过程,逻辑函数的最简表达式,1最简与或表达式,特点：表达式中乘积项最少、并且每个乘积项中的变量 也最少。,最简与或表达式,如：,特点：表达式中非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少。,2最简与非-与非表达式,如：,最简与非与非表达式,特点：表达式中括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少。,求出反函数的最简与或表达式,利用反演规则写出函数的最简或与表达式

5、,3最简或与表达式,如：,最简或与表达式,特点：表达式中非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少。,4最简或非-或非表达式,如：,两次取反,再两次取反,最简或非或非表达式,最简与或非表达式,特点：表达式中非号下面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中相乘的变量也最少。,求最简或非-或非表达式,用摩根定律去掉大非号下面的非号,以后我们着重讨论的都是与或表达式的化简，因为与或表达式容易从真值表直接写出，且只需运用一次摩根定理就可以从最简与或表达式变换为与非与非表达式，从而可以用与非门电路来实现。,如：,逻辑函数的公式化简法,逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定理和规则来化简逻辑函数。,

6、运用分配律,运用分配律,1并项法,例1：,1. 并项法【续】,运用摩根定律,若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量和反变量，而其他因子都相同时，则这两项可以合并成一项，并消去互为反变量的因子。,例2：,2. 吸收法,运用摩根定律,（）利用公式，消去多余的项。,例1：,例2：,如果乘积项是另外一个乘积项的因子，则这另外一个乘积项是多余的。,2. 吸收法【续】,如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子，则这个因子是多余的。,例：,3. 消去冗余项法,例1：,例2：,4. 配项法,添项,例：,4. 配项法【续】,（）利用公式，为某项配上其所能合并的项。,例：,例：化简函数,解：先求出Y的对偶函数Y，

7、并对其进行化简。,求Y的对偶函数，便得的最简或与表达式。,二逻辑函数的卡诺图化简法,关于“最小项”,返回,（1）最小项定义,如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。,3个变量A、B、C可组成8个最小项：,（2）最小项的表示方法,通常用符号mi来表示最小项。下标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。,3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：,（3）最小项的性质

8、,性质1：任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1,而在变量取其他各组值时这个最小项的值都是0。,（3）最小项的性质,性质2：不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。,（3）最小项的性质,性质3：任意两个不同的最小项的乘积必为0。,（3）最小项的性质,性质4：全部最小项的和必为1。,变量ABC取值为001情况下，各最小项之和为1。 【因为其中只有一个最小项为1，其余全为0。】,任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式。,（4）逻辑函数的最小项表达式,例如：,【表示法1】,【表示法2】,【表示法3】,【表示法4】,【表示法5】,最小项的

9、若干表示方法,例：将下列函数化为最小项之和的形式,添项,如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。,已知真值表，写出函数的最小项之和的形式,将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。,则由真值表可得如下逻辑表达式：,注意：,在n个变量的逻辑系统中，如果Y为i个最小项之和，则必为余下的（ni）个最小项之和。,（5）最小项的相邻性,任何两个最小项如果他们只有一个因子不同，其余因子都相同，则称这两个最小项为相邻最小项。,显然，m0与m1具有相邻性，而 与 不相邻，因为他们有两个因子不相同。m3与m4也不相邻，而m3与m2相邻。,相邻

10、的两个最小项之和可以合并成一项，并消去一个变量。如：,每个2变量的最小项有2个最小项与它相邻,卡诺图化简法,（1）卡诺图的构成,将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列，这样构成的图形就是卡诺图。,每个3变量的最小项有3个最小项与它相邻,每个4变量的最小项有4个最小项与它相邻,最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的,最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的,（2）卡诺图的特点,任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。,任何一行或一列两端的最小项在逻辑上也相邻，即： 最左列的最小项和最右列的相应最小项是相邻的；

11、最上面一行的最小项和最下面一行的相应最小项也是相邻的； 卡诺图四角上的最小项也是互为相邻的最小项【注意：但四角上位于对角线上的两个最小项不是相邻的！】。,特别强调,（3）已知逻辑函数画卡诺图,当逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出时：,m1,m3,m4,m6,m7,m11,m14,m15,在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。,例如：,当逻辑函数以一般的逻辑表达式给出时：,先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。,

12、例：,解：,变换为与或表达式,由上面变换的结果,填写卡诺图如下：,（4）卡诺图化简的依据,利用基本公式 ，可以使相邻最小项合并，并消去一对不同因子。,相邻最小项的数目必须为2n个才能合并为一项，并消去n个变量，合并后的结果只包含公共因子。,（5）化简时的合并规则,（6）化简的步骤, 将给定的逻辑函数式化成最小项之和的形式或化成与或形式。, 画卡诺图：凡式中包含的最小项，其对应方格填1，其余方格填0。, 合并最小项：将满足2n个最小项相邻的1方格圈在一起，形成一个包围圈，对应该圈可以写成一个新的乘积项。, 写出最简与或表达式：将所有包围圈对应的乘积项相加。,画包围圈时应遵循的原则：, 圈内方格数

13、必须是2n个，n=0,1,2, 相邻方格包括上下底相邻、左右边相邻和四角相邻。, 同一方格可以被重用，但重用时新圈中一定要有新成员加入，否则新圈就是多余的。, 每个圈内的方格数尽可能多，圈的总个数尽可能少。,注意:,包围圈的圈法可能不惟一，因此化简结果也可能不惟一。,逻辑表达式或真值表,卡诺图,1,1,例：用卡诺图将下式化简为最简与或式形式。,圈越大越好，但每个圈中标的方格数目必须为个。,冗余项,2,2,不能漏掉任何一个标的方格。,合并最小项,两点说明：, 在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。,不是最简,最简,

14、在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。,（7）无关项在化简中的应用,无关项的定义：函数可以随意取值（可以为0，也可以为1）或不会出现的变量取值所对应的最小项称为无关项，也叫做约束项或随意项。,合理利用无关项：在逻辑函数的化简中，充分利用随意项可以得到更加简单的逻辑表达式，因而其相应的逻辑电路也更简单。在化简过程中，随意项的取值可视具体情况取0或取1。具体地讲，如果随意项对化简有利，则取1；如果随意项对化简不利，则取0。,例如：判断一位十进制数是否为偶数。,输入变量A，B，C，D取值为00001001时，逻辑函数Y有确定的值，根据题意，偶数时为

15、1，奇数时为0。,A，B，C，D取值为1010 1111的情况不会出现或不允许出现，对应的最小项属于无关项。用符号“”、“”或“d”表示。,无关项之和构成的逻辑表达式叫做 任意条件或约束条件，用一个值恒为 0 的条件等式表示。,含有约束条件的逻辑函数可以表示成如下形式：,不利用随意项的化简结果为：,将上式化简如下：,含有约束条件的逻辑函数可以表示成如下形式：,不利用随意项的化简结果为：,利用随意项的化简结果为：,将上式化简如下：,阶段性小结,逻辑函数的化简有公式法和卡诺图化简法等。,公式法是利用逻辑代数的公式和规则（定理）来对逻辑函数化简，这种方法适用于各种复杂的逻辑函数，但需要熟练地运用公式

16、和规则（定理），且具有一定的运用技巧。,卡诺图化简法简单直观，容易掌握，但变量太多时卡诺图太复杂，一般说来变量个数大于等于5时该法已不适用。,在对逻辑函数化简时，充分利用无关项可以得到更为简单的结果。,逻辑函数表示方法之间的转换,（1）逻辑函数的表示方法,常用的5种表示方法：, 真值表, 逻辑表达式, 卡诺图, 逻辑图, 波形图,逻辑图,逻辑图：是由表示逻辑运算的逻辑符号所构成的图形。,例如：,=AB+BC,波形图,波形图：是由输入变量的所有可能取值组合的高、低电 平及其对应的输出函数值的高、低电平所构成 的图形。,例如：,逻辑函数表示方法之间的转换,（1）由真值表到逻辑图的转换,真值表,逻辑

17、表达式或卡诺图,1,1,最简与或表达式,化简,2,或,2,画逻辑图,3,最简与或表达式,B,A,A,C,AC,Y,B,A,A,C,Y,若用与非门实现，将最简与或表达式变换乘最简与非与非表达式,3,（2）由逻辑图到真值表的转换,逻辑图,逻辑表达式,1,1,最简与或表达式,化简,2,2,从输入到输出逐级写出,最简与或表达式,3,真值表,3,阶段性小结,逻辑函数可用真值表、逻辑表达式、卡诺图、逻辑图和波形图5种方式表示，它们各具特点，但本质相通，可以互相转换。 对于一个具体的逻辑函数，究竟采用哪种表示方式应视实际需要而定。 在使用时应充分利用每一种表示方式的优点。由于由真值表到逻辑图和由逻辑图到真值

18、表的转换，直接涉及到数字电路的分析和设计问题，因此显得更为重要。,三组合逻辑电路的分析,返回,组合逻辑电路概述,定义,输出信号只是该时刻输入信号的函数，与过去状态无关，这样的数字电路就称为组合逻辑电路。,特点,（1）电路没有记忆功能； （2）电路没有反馈支路。,这就决定了组合逻辑电路由各种门电路构成。,组合逻辑电路表达式,原理框图,组合逻辑电路的分析过程,组合电路分析的目的,通过对给定组合电路的分析，弄清其逻辑功能。,分析过程【步骤】,（1）由逻辑电路图写出各输出端的逻辑表达式；,（2）化简和变换各逻辑表达式；,（3）列出真值表；,（4）根据真值表和逻辑表达式对逻辑电路进行分析，最 后确定其功

19、能。,逻辑图,逻辑表达式,例：,最简与或表达式,真值表,用与非门实现,电路的输出Y只与输入A、B有关，而与输入C无关。Y和A、B的逻辑关系为：A、B中只要一个为0，Y=1；A、B全为1时，Y=0。所以Y和A、B的逻辑关系为与非运算的关系。,电路的逻辑功能,四组合逻辑电路的设计,何谓“电路设计”,返回,所谓“电路设计”，就是根据实际要求设计出电路来完成实际要求所提出的任务。,设计方法【步骤】,（1）根据对电路逻辑功能的要求，列出真值表；,（2）由真值表写出逻辑表达式；,（3）简化和变换逻辑表达式，从而画出逻辑图。,组合逻辑电路的设计，通常以电路简单，所用器件最少为目标。,电路功能描述,路灯，使之

20、在上楼前，用楼下开关打开电灯，上楼后，用楼上开关关灭电灯；或者在下楼前，用楼上开关打开电灯，下楼后，用楼下开关关灭电灯。,设楼上开关为A，楼下开关为B，灯泡为Y。 并设A、B闭合时为1，断开时为0； 灯亮时Y为1，灯灭时Y为0。,1,穷举法,例：设计一个楼上、楼下开关的控制逻辑电路来控制楼梯上的,解：,逻辑要求：在上楼前，用楼下开关(B)打开电灯(1)，上楼后，用楼上开关(A)关灭电灯(0)；或者在下楼前，用楼上开关(A)打开电灯(1)，下楼后，用楼下开关(B)关灭电灯(0)。,真值表,根据逻辑要求列出真值表:,1,1,真值表,根据逻辑要求列出真值表:,1,1,2,逻辑表达式或卡诺图,化简,3

21、,3,已为最简与或表达式,用与非门实现,最简与或表达式,4,逻辑变换,4,5,逻辑电路图,用异或门实现,用与非门实现,电路功能描述,例：用与非门设计一个举重裁判表决电路。设举重比赛有3个,设主裁判为变量A，副裁判分别为B和C； 表示成功与否的灯为Y。 裁判同意成功设为1，不同意为0； 灯亮为成功，用1表示，否则用0表示。,1,穷举法,裁判，一个主裁判和两个副裁判。杠铃完全举上的裁决由每一个裁判按一下自己面前的按钮来确定。只有当两个或两个以上裁判判明成功，并且其中有一个为主裁判时，表明成功的灯才亮。,解:,真值表,根据逻辑要求列出真值表：,1,1,逻辑要求：只有当两个或两个以上裁判判明成功（1），并且其中有一个为主裁判（A）时，表明成功的灯才亮（1）。,2,2,逻辑表达式,根据逻辑要求列出真值表：,1,真值表,1,3,卡诺图,最简与或表达式,化简,4,3,化简,4