现代控制理论状态空间模型的性质.pptx

1、现代控制理论 Modern Control Theory (4),俞 立,浙江工业大学 信息工程学院,建立了状态空间模型和传递函数之间的关系。 由传递函数确定状态空间模型。,特点：可以有很多个状态空间模型，各有特点。 对角型、能控标准型、能观标准型 由状态空间模型确定传递函数。,特点：传递函数是唯一的。,MATLAB提供了一种方便的工具。,状态空间模型的性质,x& = Ax + Bu,传递函数G(s),y = Cx + Du,x 0 2 x, ,x 0,1x 0,&,3,&, ,0 x ,x&,1 0,1,1 =,1 +,1 =,1 +,u, , ,u,1 =,1 +, , , , ,u, ,

2、 ,1 3 x,1 ,x&, 2 3 x,1,x&,x & ,2 x,1, , , , , ,2,2,2,2,2,2,x y = 3 1,x ,x 1,1,y = 0 1,1,y = 2 1 , , ,x,x,x 2, , ,2,2,能控标准型,能观标准型,对角型,特点：状态空间模型不惟一。,问题：针对特殊需要，是否可以找到一些特定结构的 状态空间模型，使得分析、设计更加简单？,状态空间模型的性质,(A, B, C, D)是G(s)的一个实现,思考： =,1 +,G(s) C(sI A) B D,若 (A, B, C, D) 也是G(s)的实现，,C I A 1 B + D = G (s),(

3、s,),问题：如何找到特定结构的 (A, B, C, D) 满足上式？,x& = Ax + Bu,对状态空间模型：, ,A =TAT1,y = Cx + Du,考虑状态向量的一个线性变换：x = Tx,x = T 1 x,B = TB,1 &,1,T x = AT x + Bu,x& = Ax + Bu y = Cx + Du,&,1,x = TAT x +TBu,1,y = CT x + Du,C = CT1,D = D,1,1,A = TAT , B = TB, C = CT , D = D,1,G(s) = C (sI A) B + D,1,1 1,= CT (sI TAT ) TB +

4、 D,1,1,1,= CT (sI TAT )T B + D,1,= C(sI A) B + D = G(s),也是G(s)的一个实现。,(A, B, C, D),x = Tx,x = Ax + Bu,&,x& = Ax + Bu y = Cx + Du,y Cx Du,= +,1,x = T x,x = Tx 有无穷多个线性变换。,可以通过选取适当的变换矩阵T，得到需要的等价状,态空间模型。,A=TAT1,：对角型、能控标准型、能观标准型,结论：等价的状态空间模型有无穷多个； 一个传递函数有无穷多个状态空间实现。 定理1 等价的状态空间模型具有相同的传递函数。,G = C I A 1 B +

5、 D,(s) (s,),Cadj(sI A)B det(sI A),=,+ D,系统极点是分母多项式 det(sI A)的根； 是状态矩阵A的特征值。,问题：同一个系统可以用等价的状态空间模型来描述， 那么是否可能会有不同的极点呢？,定理2 等价的状态空间模型具有相同的极点。,1,det(sI A) = det(sI TAT ),证明：,1,= detT(sI A)T ,1,= det(T) det(sI A) det(T ) = det(sI A),结论：系统极点、传递函数都是线性变换下的不变量。,变换矩阵的选取：,MATLAB给出了相关函数 sys1=ss(A,B,C,D),sys2=ss

6、2ss(sys1,T) 或 AA,BB,CC,DD=ss2ss(A,B,C,D,T),第2章 系统的运动分析,模型是干什么的呢？ 已知系统模型,x&(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t),=,系统的初始状态 x(0) x,0,系统的输入u(t)，,如何确定系统在任意时间 t 时的状态x(t)、输出y(t)？ 模型的作用之一：分析（预测） 相当于求解方程！,求解方程,x&(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t),方法：从简单到复杂、从特殊到一般！ 并不完全是一个数学方程的求解；,要从控制工程的角度来理解、揭示一些特

7、性。,从齐次方程入手（特殊）,x&(t) = Ax(t),考虑标量方程（为了简单）,x&(t) ax(t),=,x(t) e x(0) = at,指数函数的展开式,绝对收敛！,n,a,at =,t,n,e,n!,n=0,形式上的推广,是否可以推广呢？,1,1,定义,At = + +,2 2 + L +,n n + L A t,e I At A t,2!,n!,nn个标量级数，都是绝对收敛的。,按矩阵元逐项求和,1,1,矩阵指数函数 = + +,+ +,+,At,2 2,n n,e I At A t L A t L,2! n!,d,d dt ,1,1,eAt,=,+ + I At A t L A

8、 t L,2 2 + +,n n,+, ,dt,2!,n!,1,1,= + +,0 A A (2)t,2,+L +,A (n)t,n,n1 +L,2!,n!,1,=,= + +L+,A I At,A t,n1 n1 +L AeAt, ,(n 1)!,0,当 t = 0 时，eA = I,x(t) e x(0) = At,=,x&(t) Ax(t),是方程,的解析解。,At,关键问题：求矩阵指数函数 e,拉氏变换的方法,x&(t) = Ax(t),对系统作拉氏变换 sX (s) X (0) = AX (s) (sI A)X (s) = X (0),1 , 1,x(t) L (sI A) x(0),=,1,X (s) = (sI A) X (0),两个关键问题,