漫话概率与Nobel经济学奖.ppt

1、现代数学概览,数学与计算机科学学院 林火南,漫话概率论及其应用,如今，人们对“概率”一词已不在陌生概率论的研究正方兴未艾,概率论的应用遍及自然科学和人文社会科学的各个领域,不仅是科学家、工程师,而且也是经济学家、社会学家乃至管理经营人员不可或缺的重要有力工具。那么,概率论是一门什么样的学科? 它何以产生如此巨大的作用?,从若干个例子谈起:,例1 某个单位须拆迁本单位的一个居住小区用以建设大型体育设施。为使该小区职工尽快搬离拟拆迁楼房,采取以下“激励”措施:按照搬离并退房的顺序发放号码,届时将按照该号码依次抽签,再根据所抽签得到的号码依次挑选安置房。结果该小区住户争先恐后搬离,争取得到前面的号码

2、, “以免吃亏” 。 你如何看待这件事?,、,例2 美国的“玛利亚幸运抢答”电台一日公布了这样一道题：在三扇门背后（比如说1号、2号及3号 ）藏了两只羊与一辆小汽车，如果你猜对了藏汽车的门，则汽车就是你的。现在先让你选择,比方说你选择了1号门。然后主持人打开了另外两扇门中的一扇门,让你看清楚这扇门背后是只羊,接着问你是否想要重新选择?如果再给你一次机会重新选择,你该采取什么策略更科学?,在三扇门背后（比如说1号、2号及3号)藏了两只羊与一辆小汽车，如果你猜对了藏汽车的门，则汽车就是你的。现在先让你选择，比方说你选择了1号门。然后主持人打开了一扇门，比方说主持人打开3号门 ,让你看清楚这扇门背后

3、是只羊，接着问你是否想要重新选择?如果再给你一次机会重新选择,你该采取什么策略更科学?,1,2,3,在三扇门背后（比如说1号、2号及3号)藏了两只羊与一辆小汽车，如果你猜对了藏有汽车的门，则汽车就是你的。现在先让你选择，比方说你选择了1号门。然后主持人打开了其中的一扇门，比方说主持人打开3号门 ,让你看清楚这扇门背后是只羊，接着问你是否想要重新选择?如果再给你一次机会重新选择,你该采取什么策略更科学?,1,3,2,1 只羊,例3 设有三张形状完全相同但所涂颜色不同 的卡片。第一张两是红色, 第二张两面都是 黑色, 而第三张是一面红色一面黑色。将这 3 张卡片放在帽子里充分混合后, 随机地取 一

4、张放在地面上。若取出的卡片朝上一面呈 红色的,那么另一面是黑色的概率是多少?,(凭直观往往认为这个概率为0.5, 其实这是一种错觉!）,例4 1) 某一天乙见到甲, 乙问甲有几个小孩? 甲回答说有两个。乙再问是否有女孩? 甲回 答说有。现在问甲的两个小孩均为女孩的概 率是多少?(假设每胎生男生女机会相等) 2)某一天乙见到甲牵着一个小女孩, 乙问 甲有几个小孩? 甲回答说有两个。 乙再问这 是你的小孩吗?甲回答说是。现在问甲的另一 个小孩也是女孩的概率是多少?,你认为这两个概率值相同吗? 从语言角度看这两段话意思完全一样吗?,例5 (血液化验问题) 某城市正在开展某种 疾病大普查。假定这个城市

5、总人口N个,对每 人收集一份血样。现在有两种方案可以选择: 1)每一份血样化验一次,总共须化验N次。 2)把要化验的血样分组, 每k份血样构成一 组; 若某一组血样混合后化验呈阳性, 则对该 组的每份血样再化验一次,这时该 k 份血 样化验k +1次;若某一组血样混合后化验呈阴 性,则该组只须化验一次。 问采用哪个方案更好? k =?为什么?,例6 具有不对称信息的市场的分析问题: 具有不对称信息的市场在国内的当前阶段是司空见惯的: 假冒伪劣商品、以次充好和操纵价格;价格发生畸变 人才招聘弄虚作假; 保险市场上, “高风险”客户隐藏真相。,2001年诺贝尔经济学奖授予G . Akerlof,

6、A. M.Spence 和 J.E.Stiglitz,2001年诺贝尔经济学奖授予George. A. Kerlof(麻省理工博士,伯克莱分校教授), A. Michael.Spence（哈佛大学博士,斯坦福大学教授） 和 Joseph,E. Stiglitz (麻省理工博士,哥伦比亚大学教授),以奖励他们对具有不对称信息市场的分析。,G . A.Kerlof于1970年提出A.Kerlof逆向选择原理(俗称二手车市场论)： 假设某商品(例如，二手车)有劣质品和优质品两种档次，所占比例分别为p 和 1 - p,每个买方对两种档次商品都有共同的估价，分别为a和 b; 每个卖方对两种档次商品都有共

7、同的估价,分别为c 和 d; 当然 ac, bd, 而劣质品价格定在 a 和 c 之间,优质品价格定在 b和c之间,买卖就成交.,不规范的市场: 价格混乱，两种商品价格混为一谈，买方对该类商品的的合理定价为两种档次商品的估价平均值, 即 m = pa+(1-p)b, 这时，cm, 劣质品持有者容易以次充好把劣质品卖高价，而优质品持有者容易遇到只想以m价格购买者, 甚至把优质品低价卖出. 这样就导致优质品的买卖者纷纷退出该市场, 结果是市场上逐渐只留下卖高价的劣质品，即出现“逆向选择”现象,A. M.Spence 1973年提出Spence信号示意原理： J.E. Stiglitz 1974年提

8、出Stiglitz 信号甄别原理：,例赌资分配问题,两个赌博水平相当的赌徒在某次赌博中约定先胜S局者赢得赌资，假设现在其中一个人胜了 a (aS)局，另一个人胜了b (bS)局，赌博被迫中止，那么赌本如何分配才公平呢?,甲乙两人乒乓球水平相当，约定5局3胜制，胜者得全部奖金8000元现因故在甲胜一局后比赛终止，那么现在该如何分配奖金？,授予哈佛大学Robert Merton教授和斯坦福大学Myron Scholes教授 ,以表彰他们与已故的Fischer Black教授在期权定价理论方面所作出的杰出贡献 。 Black和Scholes在1973年发表在Journal of Political

9、Economy”上的第一个期权定价模型 。在随后推广和完善该期权定价的过程中，Merton教授作出了突出贡献。,1997年度诺贝尔经济学奖,期权是什么？,期权(又叫金融选择权)是一种合约，它承认购买者有权利(而不是义务)买或卖某一确定日期的特定数量的某种基本资产，它是一种颇富灵活性和技巧性的金融风险管理与投资工具，期权交易者常利用期权来减少价格风险或利用价格差异进行套利。,期权合约构成的要素,权利金：期货期权的价格 执行价格 ：又称履约价格、敲定价格 合约到期日：允许执行期权的最后日期,期权交易的基本形式,1 按期权的权利划分：看涨期权和看跌期权,2 按交割时间划分：欧式期权和美式期权,看涨期

10、权，又称买入期权.,看跌期权，又称卖出期权.,欧式期权，是指在规定合 约到期日方可执行期权.,美式期权，是指规定的有效期 限内的任何时候都可执行期权.,期权定价思想的广泛应用,例如定期存款隐含着可以提前支取的期权；公司制企业在破产清算时股东只承担有限债务责任隐含着股东有放弃企业并将部分亏损转移给债权人的期权；各种具有可转换特性的金融工具都隐含着期权；保险费的定价；无形资产评估等等。在所有这些方面，期权定价理论都提供了重要的理论基础。,例期权定价问题,无风险证券(如债券),，即,有风险证券(如股票),，即,所谓欧式买入期权是指一种到一种期限T以固定执行价格K买入股票的权力(但不是义务).设C(t

11、，St)是在时刻t的期权价格.当t=T时， C(t，ST)=( ST-K)+=max ST-K ,0,代入It公式立即可得,Black-Schole公式,C(t,x)期权价格 X标的基础资产价格 K期权的执行价格 T期权的有效期限（以年为单位） r无风险利率,拥有基础资产年收益率的标准差 N() 累计的标准正态概率分布 ln以e为底的自然对数，e2.71828,例最佳投资组合选择问题,Nobel经济学奖与概率统计,1968年瑞典央行决定从1969年起以Alfred Nobel的名义颁 发Nobel经济科学奖。除奖金来源之外，其它程序过程与其它Nobel科学奖完全一致。 从1969年至今的历史印

12、证一个结论： Nobel经济科学奖是颁发给经济学界的数学家。（2002年奥斯卡最佳影片奖美丽心灵中John Nash,1994年,因Game Theory的先驱性研究获Nobel经济学奖，给公众的印象更深刻） Nobel经济科学奖与新兴学科： 1969年Frisch等计量经济学； （1989年Haavelmo 计量经济学的概率论革命） 1970年P.Samuelson 线性规划与经 济分析； 1971年Arrow等一般经济均衡理 论；,1990年 Markowitz等数理金融学 （最佳投资组合选择）引起华尔街第一次革命； 1997年Black ii) 可能的结局(结果)不止一个,并且事 前已明

13、确所有的可能结局; iii)事前不能肯定最终结局是哪个,且 一旦完成试验有且仅有一个可能 的结局出现。,可能的结局(结果) 不止一个,并且事前 已明确所有的可能结局 ,所有的可能结局,所关心的某些可能结局,随机事件A,B, ,频率的稳定性:事件A在n次重复试验中出现nA次, 则比值称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A)， 即 fn(A) .,n,nA,nA,n,频率的性质 (1) 0 fn(A) 1； (2) fn()1； fn( )=0 (3) 可加性：若AB ，则 fn(AB) fn(A) fn(B).,抛一枚硬币,币值面向上的概率为多少? 掷一颗骰子,出现6点的概率为多少？

14、 出现单数点的概率为多少？,问题：为什么抛一枚硬币,出现币值面向上的频率与出现币值面向上的频率很接近？ 为什么掷一颗骰子,出现点六的频率与出现单数点的的频率相差很大，并且往往前者大于后者？,事件的概率 P(A)定义:若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数 P(A)满足条件：(1) P(A) 0； (2) P()1； (3) 可列可加性：设A1，A2，, 是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 则称P(A)为事件A的概率。,概率论的发展历史与几种早期概率 定义及其局限

15、古典概型 若某试验E满足 1.有限性:样本空间 1, , n ; 2.等可能性: (?) P( 1)=P( 2)=P( n). 则称E为古典概型也叫等可能概型,各个基本事件发生的机会是平等的，对称的，处于同样有利的地位。,广东省04年高考第13题: 某班委会由4名男生与3名女生组成.现从中选出2人担任正副组长, 其中至少有1名女生当选的概率是-(用分数作答). 此题的标准答案认为, 由于基本事件组有n=(7 times 6)/2=21 个等可能的基本事件.其中事件A至少有1名女生是由 m=(3 times 4)+(2 times 3)/2=15个基本事件组成.于是根据概率的古典定义, 答案为:

16、 P(A)=m/n=5/7.,有人认为:也可以将“有1名男生当选”, “有2名男生当选”, 没有男生当选看成 由3个等可能的基本事件组.这样“至少有1名女生当选”就由2个基本事件组成.因此答案应该是2/3.或者:若将“有女生当选”, “没有女生当选”看成由2个等可能的基本事件组.这样“至少有1名女生当选”就由1个基本事件组成.则答案应为1/2. 三种解法的答案不等.到底谁对？问题出在哪里？三种解法似乎都是规定的基本事件组.问题出在对等可能性的理解上.,例1 某个单位须拆迁本单位的一个居住小区用以建设大型体育设施。为使该小区职工尽快搬离拟拆迁楼房,采取以下“激励”措施:按照搬离并退房的顺序发放号

17、码,届时将按照该号码依次抽签,再根据所抽签得到的号码依次挑选安置房。结果该小区住户争先恐后搬离,争取得到前面的号码, “以免吃亏” 。,1 k n,设i表示 第k个交旧房的住户抽到第 i号, i=1, ,n. 则 =1 ,2, n 。 这是古典概型。 P(i )=1/n, i=1, ,n.,几何概型：,A,A的面积 P(A) = 的面积,概率的统计定义: A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A),即 fn(A) 则当n很大时fn(A)会在一个数(记为P(A) 附近摆动,这时称P(A)时为事件A概率。,nA,n,Bertrand奇论,在半径为1的圆内随机地取一条弦，则其长超过该圆内接等边三角

18、形的边长 的概率是多少？,贝特朗(Bertrand)问题的解法,概率 的公理化定义:若对随机试验E所对应 的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件： (1) P(A) 0； (2) P()1； (3) 可列可加性：设A1，A2，, 是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 则称P(A)为事件A的概率。,例2004年某市质检的一道数学题,“玛丽莲问题”中最著名的是“Behind Monty Halls Doors“，简称“The Monty Hall Problem” ： 台上

19、有三个门，一个后边有汽车，其余后边是山羊。主持人让你任意选择其一。然后 他打开其余两个门中的一个，你看到是山羊。这时，他给你机会让你可以重选，也就是你 可以换选另一个剩下的门。那么，你换不换？ 玛丽莲的答案是应该换，但是很多 读者不同意。,玛丽莲在下一期专栏给出一个事件列 表说明她的道理，但反对声更多更大了。在几千封读者来信中，反对者达九成。其中有全 国健康机构的统计学家，国防情报中心的副主任，甚至著名的美籍匈牙利数学家保罗埃 尔笛希（Paul Erdos）也是反对者之一。 1991年2月17日，玛丽莲为此题目作了第三期专栏。她最后是这样说服大家的：假 如当主持人打开那个有山羊的门后，有外星人忽然来到台上选。他在能选的两个门中任选 一个，有车的概率确实都是50%