汪秉彝——略谈基础教育中的数学教学

1、略谈基础教育中的数学教学简说数学“情境-问题”教学贵卅师范大学 汪秉彝,前言 几点认识与感受以课题带动教研，以教研促进教学；遵义县、黄草坝镇、余姚实捡学校、贵阳实验小学是典型！,做研究必须要认真实在，实事求是，不断反思；切不可随意浮操，华而不实！自古大师求真知，从来腐儒急功利；求真务实成大器，投机取巧雕小虫。,评课要切题入围，多说建议，避免空话、套话、假话！,“道，可道，非常道！”,认识上不能把一个问题的 两个方面绝对地对立起耒：非此即彼 非黑则白！例如：教与学 教师与学生 讲授与自学 自主与合作 智力与情感 认知与行为 实际情境与理性抽象 基础知识与创新能力提出问题与解决问题 ,思想上不能以

2、新与旧、传统与现代作为区别教学方法好、坏的标准！顾此失彼既是内客上的缺陷；也是认识上的片面。“非此非彼又即此即彼！”吸收融合 寻找中间地带！,“当一个理论转换成教学上的规定时，唯我独尊就会成为成功的最大敌人， 理论上的唯我独尊和对教学的简单思维，肯定会把哪怕是最好的教学理念搞糟。”(斯法德),充分利用己有的教学资源，继续发挥优秀教学案例的教育价值；打造精品，再创新作。,一 、为什么要教/学数学？ 学习数学有什么用处？数学是研究现实世界与逻辑可能的数量关系和空间形式的科学。数学是总括和贯穿自然科学、社会科学和思维科学的科学。,数学具有巨大的精神与物质作用！社会处处需要数学 人人离不开数学数学是打

3、开科学宝库、求生发展大门的钥匙。,数学具有不可估量的理论与应用价值：1、 数学是科学技术的基础；2 、数学是普遍适用的技术；3、 数学是现代人的基本素质。,数学开发智慧； 数学拓展思维。数学给人机遇 数学促人发展数学让你体验创造； 数学教你学会推理！数学是古今中外基础教育中唯一的内容基本相同的公共必修课！,二 、教/学什么样的数学？ 教/学数学的什么？ 教/学数学的基础知识技能；数学的基本思想方法； 数学地思谁；数学化枝术；数学的感受体验；数学的发现过程；数学家的创新实践。,从数学中学习如何思考？如何推理？如何表达？如何探究？如何创造？数学教学必须突现“数学化”；“去数学化”倾向是错误的！正确

4、对待“数学生活化”；防止扩大、造作、形式做法！,“问题并不在于教学的最好方式是什么？而在于数学到底是什么？如果不正视数学的本质问题，便解决了数学教学上存在的争议。” (霍兹),案例：1、估算(小四)2、分数化小数(小四) 3、一次函数、方程、不等式的应用(初二) 4、多边形内角和(初二),案例1估算(小四)北京教育科学院吴正宪,学生提问：谁发明估算？估算有什么用？估算有些什么方法？什么是估算？什么情况用估算？为什么要发明估算？,曹冲称象六组三位数：347 368 349 374 329 369同学板演自己的估算方法： 大估 小估 大小估 四下五上估 凑调估精确算,例：1) 350人乘坐 每辆载

5、56人的客车，7辆车够吗？ 2) 载重汽车自重968公斤， 装载每箱重268公斤的6箱货物，能过承重3吨的路桥吗？,案例2 “分数化小数”（小四朱萍） 教师根据教学目标设置数学情境1： “红旗化肥厂第一天生产化肥12.50吨，第二天生产化肥 吨，两天共生产化肥多少吨？第二天比第一天多生产化肥多少吨？”,然后让学生自学课本上的例3，了解分数化小数的方法，并进行课堂练习： “把下列分数化成小数（除不尽的保留三位小数）： “1/4，2/25，9/10， 1/6，2/15，9/14。”,教师为了把分数化小数问题引向深入，把学生课堂练习的结果板书，作为数学情境2： 1/4 = 0.25 1/160.16

6、7 2/25=0.08 2/150.133 9/10=0.9 9/140.643,学生由展示的数学情境2 相继又提出如下数学问题： （1）为什么有的分数能化成有限小数？ 有的分数不能化成有限小数？ （2）什么样的分数能化成有限小数？ 什么样的分数不能化成有限小数？ （3）分数能否化成有限小数， 是否有规律？规律是什么？ （4）无限小数又怎样化成分数？,通过观察分析、质疑讨论,“一个最简分数，如果分母除了2和5以外不含有其它质因数，这个分数就能化为有限小数；如果分母含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化为有限小数。”,得出结论：,最后教师让学生独立解决本课数学情境1提出的数学问题，学生一般都能

7、得到正确的解答。,案例3 一次函数、方程、 不等式的应用 贵州师大附中 袁 涛,数学情境 ： 为了迎接5.17电信日的到来，某电信公司推出三种手机卡，供用户选择，收费标准如下： 经济卡 月租 30元, 2角/分钟； 亲情卡 月租 12元, 4角/分钟； 如意通 无月租 , 6角/分钟。,提出数学问题：,1) 每月通话100分钟时，使用哪种卡合算？ 2) 什么情况下，使用经济卡合算？什么情况下，使用亲情卡合算？什么情况下，使用如意通合算？ 3) 每月付费200元时，使用哪种卡使自己能多打几分钟电话？ 4) 如果一天打10分钟，一个月以三十天计，那么使用哪种卡合算？ 5) 什么情况下，三种卡收费相

8、同？ 6) 一个人在某月中没有通话，应选哪种卡？ 7) 当每月通话时间大于250分钟时，使用哪种卡合算？ 8) 每月话费150元，使用哪种卡合算？ ,老师引导学生利用一元一次函数、方程、不等式的知识给出三种消费卡的数学模型: 经济卡： y=0.2x+30； 亲情卡： y=0.4x+12； 如意通： y=0.6x。 启发学生解决自已提出的问题。,引导学生作出函数图像， 解答数学问题. 利用图像直观性很快就可以看出在哪个范围内选择哪种消费卡合算，并将结果与实际问题进行对照检验。,在教学过程中，学生经历了重要的、有价值的数学思维活动的过程，使有关的数学知识在理解与运用中得到深化，进而培养学生的应用意

9、识、把实际问题转化为数学问题的能力。 好的生活数学化，数学生活化。,案例4 “多边形内角和”（初二 黄光荣 ） 数学情境：,任意三角形的内角和是多少？如何证明？,1）,（切割拼补）,2）,（作一边的平行线）,任意三角形的内角和是180。,任意正方形、长方形的内角和是多少？如何证明？,1）,2）,（作对角线）,任意正方形、长方形的内角和是360。,1任意四边形的内角和是多少？,1）,2）,（作对角线）,提出问题:,（切割拼补）,解决问题,如何证明？,3）,4）,（转化用三角形内角和定理）,5),6）,7）,（转化用三角形外角和定理）,（张艳芳）,任意四边形的内角和是360。,2任意五边形的内角和

10、是多少？,1）,2）,再提问题:,解决问题,3）,（方法的迁移、复用）,任意五边形的内角和是540。,如何证明？,3任意n边形的内角和是多少？,再提问题:,解决问题:,观察分析，任意四、五边形的内角和与其边数的关系： 任意四边形的内角和360（42）180； 任意五边形的内角和540（52）180； 归纳得到，任意n边形的内角和（n2）180。,如何证明？,4,再提问题 ：,任意三角形的外角和是多少？（360） 任意四边形的外角和是多少？（360） 任意五边形的外角和是多少？（360） 任意n边形的外角和是多少？（360）,1）任意n边形的内角和是（n2）180，它是随边数变化而变的变量； 2

11、）任意n边形的外角和是360，它是不随边数变化而变的常量。,结论：,数学方法：一法多用，一题多解。 数学思想：转化化归； 特殊一般； 变量常量。,通过本课的学习自己还想到什么有关问题？各自有怎样的感受体验？,总结,作业（反思）：,本教学案例是一次实验课课堂观察（秀山中和镇中学）后的重新设计。它展现了数学方法的一法多用，一题多解；它揭示了数学思想的转化与化归，特殊与一般，变化与不变；它刻划了数学知识的发生发展过程；它反映了数学探究的逐步推进；它给了学生继续数学思维的活动空间。因而这是一个融获得数学知识技能，领略数学思想方法，体验数学精神情感与一体的数学教学案例。,三、 怎样教数学？ 如何学数学？

12、 教数学为学数学： 以社会需要为基点； 以学生实际为始点。 教为不教 学为会学数学教学方法为教学目标服务； 学习方法为学习效益服务！,倡导以启发式为中心的引导传授的教学方法！倡导以探究式为核心的自主合作的学习方法！教学有模，但无定模；无模之模，乃为至模。无招胜有招！ 实现无模式化境界！,主张教/学方法的多样化、个性化！勿论什么样的数学教学方法都必须明确突现数学的内容、方法、思想？争取数学知识、能力的最大获得？能抓住老鼠的猫就是好猫！,四、 数学教学效果如何？ 数学学习获得怎样？综合、全面、客观的评价数学教学！倡导把结果与过程结合、统一全面的评价方法！考试/测试是实施评价与选拨的重要手段！有考试

13、就有应试 不要回避应试！,优质数学课：1)数学课应该突现数学化。数学化：数量化 图示化 符号化 模式化逻辑化 最优化,2)数学课应该实现高效益。最大量的数学获得(知识、技能、能力)；最好质的数学感悟(思想、方法、体验)。,基本策略：关注学法(自主探究、合作交流)重视教法(启发诱导、讲授解惑)依托教材(灵活应用、综合延展)珍惜时间(抓住分秒、避免形式),3)数学课应该展现好理念。科学的教育理念(教育观)；正确的人生理念(人生观)；现代的社会理念(世界观)。,五、 中小学数学“情境问题”教学基本的数学教学方式,从情境中提出数学向题，进而解决数学向题，实现获取数学知识的过程，就是人类构建/创造数学科

14、学的过程！,学生在学校学习数学主要是在教师引导下获取人类巳有的数学成果，即巳有数学的间接知识；但也要感受体验数学家探索创造数学的实践过程。,情境产生问题；问题引发创造！,数学知识置根于情境脉络之中 数学情境产生数学问题，通过解决数学问题，从而获取数学知识。数学问题旣是数学知识的载体，又是数学运用的纽带。,数学问题的教学是数学教学的基本形式！专门问题/课题研讨仅是数学问题教学的一种形式！数学问题教学包括“提出问题”教学和“觧决问题”教学！,案例：5、长方形周长和 面积的比较(小四) 6、简易方程(初一) 7、函数的应用(高一) 8、函数复习(高三),首先以篮球场为情境，通过列表比较长方形的周长与

15、面积在概念、计算公式、计量单位的区别。,案例5 长方形面积与周长的比较 （小四 叶丽萍）,然后通过计算发现，周长相等的长方形的面积不等。,提出问题： （1）长方形周长一定时面积何时最大？ （2）长方形面积一定时周长何时最小？,1平面上周长相等的矩形中正方形的面积最大。 平面上面积相等的矩形中正方形的周长最小。 2空间中表面积相等的长方体中，立方体的体积最大。 空间中体积相等的长方体中，立方体的表面积最小。,结论：,3、平面上周长相等的闭区域中，圆的面积最大。 平面上面积相等的闭区域中，圆的周长最小。 4、空间中表面积相等的闭区域中，球的体积最大。 空间中体积相等的闭区域中，球的表面积最小。,空

16、间中体积相等的冰快（正方体、长方体、四面体、球、）中，冰球的融化速度最慢，因为冰球在这些冰块中表面积最小。,实例：,案例6 “简易方程的应用”（初一孔惠玲） 教师根据教学要求设置数学情境： “妈妈给小红20元，叫她买学习用品，商店里的笔记本是3元/本，钢笔2元/支，”,学生从展现的数学情境中，提出30多个不同的数学问题。教师选择其中八个数学问题板书如下： （1）买多少个笔记本和多少支钢笔能把 20元用完？ （2）买5个笔记本、2支钢笔还剩多少元？ （3）买3个笔记本剩下的钱可用来买几支 钢笔？ （4）买10个笔记本，10支钢笔还差多少 钱？,（5）用总数的1/2能买多少个笔记本和多 少支钢笔？

17、 （6）买1个笔记本和5支钢笔用去的钱占 总数的几分之几？ （7）如果买10个笔记本以上九折优惠， 那么买13个笔记本还剩多少钱? （8）若文具盒5元/个，橡皮擦0.5元/个， 买一个文具盒、一个橡皮擦、一支 钢笔，还剩多少钱？,教师考虑课堂教学时间有限，从板书的问题中筛选三个问题进行解决： 常规性数学问题问题(2)； 发展性数学问题问题(7)； 探索性数学问题问题(1)。,学生甲顺利地解决问题（2）； 学生乙很快地列出问题（7）的方程： “设还剩X元，得 20-X=31390%”。 由于教学时间所剩不多，教师没有要求学生解方程，求出X。这却留下了一个遗憾，因为X是一个负数，它为即将学习的有理

18、数提供了一个真切的数学情境。,学生丙解决问题（1） ： “设买X个笔记本和Y支钢笔刚好把20元用完，得3X+2Y=20”。 又因为时间不够，教师与学生没有充分对这个实际的二元一次不定方程的正整数解进行讨论，留下了又一个遗憾。,本课让我们看到，教师以简单朴实的教学形式，展现数学情境，积极自然的进行师生交流，探索数学问题，学生在数学活动中能够提出，并解决有意义的多种形式的数学问题,。,案例7 “函数的应用”（高一石小康） 教师结合教学内容展示数学情境： “金阳广场是一个边长为400米的正方形休闲广场，广场的四角上建有A、B、C、D四个生活小区。小区欲安装煤气管道，但煤气公司只将煤气主管道接到A区，

19、另外三个小区的煤气管道将由他们自行铺设与A区连通。为节约资金，请设计与A区相连的最佳煤气管道铺设方案。”,学生们共设计了以下6种铺设方案： （注：图中粗线为煤气管道路线）,A,B,C,D,A,A,A,A,A,B,B,B,B,B,D,D,D,D,D,C,C,C,C,C,E,F,O,E,F,上述前五种铺设方案是一般学生可以想到的，第六种方案比较新颖，正是本节课要探究的重点。 老师提问该方案的设计者（孙喆）：“你是怎样想到这个方案的？”,孙喆：“首先，我想到连结对角线，此时管道总长度为 （百 米）。接着，我又冒出一个想法：将对角线的交点0拉长，使之成为一条线段，注意调整这条线段两个端点的位置，应该会

20、找到一个合理的方案。比如，作如下估算：取 ，利用计算器得到此 时的管道总长度为 （百米），即说明猜想是可取的。”,老师因势利导运用几何画板作了生动直观的演示，表明这是一个更好方案；紧接着引导学生利用平面几何及二次函数的知识证实这是连接A、B、C、D小区煤气管道总长度最短的设计方案。,本课让我们看到，教师以现实的数学情境，让学生独立自主的进行数学思考，他们在探究过程中有能力提出并证实有价值的数学方案。,某工艺美术厂拟设计如图所示的一幅宽为x米，长为y米的矩形挂历，矩形上部为正方形画面，下部印制各月日历，所需面积为1/9平方米。,案例8 函数复习（高三管理河）,y,X,1求出以x表示y的函数关系式。 2求出问题一中函数的定义域，值域。 3作出问题一中函数的图象。 4研究问题一中函数的单调性、 奇偶性、周期性、最值、 反函数、导函数、。,提出问题：,解决问题： 片断1 问题1：由正方形与小矩形的面积之和等于大矩形的面积得： ，解得： 。,片断2 问题2： 有人开始只考虑分母不能为0这一限制，得定义域是x|x0