数理统计 方差分析1.ppt

1、第四章 方差分析,1.单因素方差分析,2.双因素方差分析,2,方差分析,前面已经讨论两个均值相等的假设检验问题，但在统计分析与决策中，常常遇到两个以上均值是否相等的判断与检验问题，这便需要通过方差分析来解决。 方差分析是一种实用的统计方法，一般按误差来源作平方和分解，再将因素平方和、误差平方和、总平方和作比较分析。,3,1 单因素方差分析,方差分析的最基本的形式就是单因素分析。单因素方差分析可用于检验两个以上的总体均值相等的原假设。假定检验总体均值是正态分布，总体方差是相等的，并且随机样本是相互独立的。,4,1 单因素方差分析问题,例 某公司想对新销售人员进行不同的销售培训，为了比较它们的有效

2、性，随机选择了三组销售人员，每组五人。一组接受A课程销售训练，一组接受B课程销售训练，另一组C没有参与任何训练。当前两组的训练课程结束时，收集训练后两个星期内的各组销售人员的销售记录如下：,5,方差分析原始数据,6,7,结论： 从上表可以看出，各组样本数据差异较大，尤其是C组与A、B组的均值具有一定的差异。这是否说明教育训练会影响销售业绩呢？当然这种差异也许是由于随机因素所造成，所以需要进行统计检验。,8,2 检验模型,检验原理 假定三组数据分别是来自三个相互独立的正态总体，且方差相等，观察值是分别从总体中随机抽取的样本，则可以通过三个总体均值是否相等的检验，判断培训作用效果。 应用方差分析时

3、要符合两个前提条件：一是各个水平的观察数据要能够看作是从服从正态分布的总体中随机抽取的样本，二是各组观察数据，是从具有相同方差的相互独立的总体中抽取的。,9,建立假设：,原假设： H0：m1= m2 = . = mr 备择假设： H1：mi (i=1,2, . ,r)不完全相等,10,F统计量：,其中 Q1是组内误差(因素平方和)； Q2系统误差，被称为组间离差平方(误差平方和)。 使用F统计量进行方差分析检验。,11,判断原理：,若Ho成立，表明没有系统误差，各总体的样本均值之间的差异是由随机原因产生的，则Q1与Q2的差异不会太大；若Q1显著地大于Q2，说明各组均值之间的差异与抽样误差显著不

4、同，即差异不是由随机原因产生，这种情况下，Ho可能不成立。F统计量就是方差分析中判断Ho是否成立的检验统计量。,12,3单因素方差分析的统计分析,单因素A有a个水平A1 , A2, . , Aa , 在水平Ai (i=1,2, . ,a)下, 进行ni次独立试验， 试验指标的观察值为：,13,统计分析,14,统计分析,在水平Ai (i=1,2, . ,a)下 的样本为 Xi1 , Xi2 , . , Xini ,来自总体XiN(i, 2) 线性统计模型为,15,统计分析,总平均值 第i个水平Ai的效应i = i - 显然有 线性统计模型变为,16,统计分析,方差分析：就是检验线性统计模型中a个

5、 总体N(i, 2)中各i的相等性 原假设： H0：m1= m2 = . = ma 对立假设：H1：mi mj,至少有一对i,j 假设等价于： H0：1= 2 = . = a=0 H1：i 0,至少有一个i,17,统计分析,1).总平方和分解 在水平Ai下的样本均值 样本数据的总平均值 总离差平方和,18,统计分析,19,统计分析,20,统计分析,记 则ST= SA + SE ST称为总变差 SA称为因素Ai效应平方和 SE称为误差平方和,21,统计分析,2).统计分析 若H0真，则xijN(, 2),22,统计分析,23,统计分析,即,24,统计分析,25,统计分析,26,统计分析,由于 所

6、以 在H0：i=0成立的条件下： 可证,27,统计分析,记 对于给定的，查出F(a-1,n-a)， 由样本值计算出SA , SE ，从而算出F值。 若F F(a-1,n-a)，则拒绝H0， 若F F(a-1,n-a)，则接受H0 。,28,统计分析,3).简化计算与列表 简便计算公式,29,统计分析,单因素方差分析表,30,例,人造纤维的抗拉强度是否受掺入其中的棉花的百分比的影响是有疑问的。现确定棉花百分比的5个水平：15%，20%，25%，30%，35%，每个水平中测5个抗拉强度的值，列于表中，问抗拉强度是否受掺入棉花的百分比的影响？（=0.01）,31,例,32,解,设抗拉强度为 xij=i+ ij , i,j=1,2,3,4,5 原假设H0： 1 = 2 = 3 = 4 = 5 对立假设H1： i j 至少有一对i,j 这里a=5，ni=5,(i=1,2,3,4,5)，n=25,33,34,方差分析表为,35,对于给定的=0.01，查表得 F