第二章控制系统的数学模型.ppt

1、1,第二章 控制系统的数学模型,2,2.1 系统的微分方程,微分方程是时域中描述系统（或元件）动态特性的数学模型。利用它可以得到其它形式的数学模型。,3,2.1 系统的微分方程,一、建立系统数学模型的方法 1）机理分析法（解析法）：根据系统和元件所遵循的有关定律来推导出数学表达式，从而建立数学模型。 2）实验法（系统辨识）：对系统施加某种输入信号，并观测其响应，然后对输入、输出数据进行处理，得到系统数学模型。,4,例1 如图所示RC电路，试写出以输出电压Uc和输入电压Ur为变量的滤波网络的微分方程。,（1）列出原始方程,（2）消去中间变量i1，i2,5,例2：如图所示电枢控制式直流电动机原理图

2、,（1）确定输入、输出,Ua为给定输入，ML为干扰输入，为输出,（2）列出原始方程,6,（3）消去中间变量，并整理,7,二、列写微分方程的一般步骤,1、确定系统输入输出变量以及需要引入的中间变量； 2、确定必要的假设条件； 3、由系统所遵循的运动规律列写原始方程； 4、消去中间变量得到输出、输入量(包括干扰量)的微分方程； 5、将微分方程写成标准形式(输入量写在左边,输出写在左边,必要时将各导数项整理成具有一定物理意义的系数).,8,三、相似系统的概念,例1: R-L-C无源网络，试写出ur与uc之间的微分方程,T1=L/R T2=RC,9,例2： 弹簧-质量-阻尼器机械位移系统，试列写质量m

3、在外力F的作用下，位移x(t)的运动方程。,10,相似系统：具有相同微分方程形式，揭示了不同物理现象之间的相似关系 相似量:在微分方程中占据相同位置的物理量;,11,四、微分方程的增量化表示,以前述电枢控制式直流电动机微分方程为例,当电动机处于平衡状态时，微分方程变化代数方程：,静态模型,将平衡状态下的输入、输出量分别表示为,12,若在某一时刻，输入量发生变化，其变化量分别为 ，则输出量也发生变化，其变化量 ，此时微分方程可写为：,整理上式得：,电动机微分方程在某一平衡状态下附近的增量化表示。,13,四、微分方程的增量化表示,平衡状态:各个变量各阶导数为零，微分方程变为代数方程。(由动态方程得

4、到静态方程) 将变量用平衡状态附近的增量表示。 增量方程与原方程(全量方程)形式上相似,但其变量用平衡状态附近的增量表示，方程表示平衡状态附近输出增量与输入增量的关系; 求解增量化表示的方程时，就可以把初始条件变为零。 自动控制理念论中的微分方程一般都是增量方程，为书写方便，习惯上把增量符号去掉。,14,五、非线性微分方程线性化,一、非线性微分方程的建立,例：液位系统的微分方程 Q1、Q2为体积流量，且,非线性,如何获得增量化的微分方程？,15,五、非线性微分方程线性化（续）,为什么要线性化？ 1）实际对象总存在非线性； 2）线性系统具有完整的理论； 线性化的条件？ 1）实际工作情况在某平衡点

5、附近（静态工作点附近）； 2）变量变化是小范围的； 3）函数值与各阶导连续，至少在运行范围内如此； 线性化方法？ 1）泰勒级数展开 2）取线性部分,16,在y(x)在工作点A(x0,y0)点连续可微，则函数在(x0,y0)点 的泰勒展开为：,略去二阶以上的高次项，得,增量方程,略去增量符号，得到线性化方程,17,例：液位系统微分方程线性化。,输入为Q1，输出为h。稳态时，水的液位为h0，流量为Q0，,增量形式：,18,五、非线性微分方程线性化（续）,作小偏差线性化时要注意： 1）工作点不同，线性方程的系数不同； 2）变量小范围内变化，否则误差大； 3）原点由（0，0）移到平衡工作点，使初始条件

6、为零； 4）线性化后的微分方程为增量方程。,19,2.2 系统的传递函数,一、传递函数的概念 传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型。 基本思想：零初始条件下，通过拉普拉斯变换，将微分方程变为S域（复数域）内代数方程，在S域内研究对象的运动，进行系统的综合。必要时，能过反拉氏变换变为时域形式。 优点：微分方程问题转化为代数方程问题。,20,一、传递函数的概念,1、定义：在零初始条件下，线性定常系统或环节输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换比。,Y(s)=Ly(t) X(s)=Lx(t),输出与输入的关系:Y(S)=G(S) X(S),21,一、传递函数的概念（续）,2、N阶线性定常系统传递函数的

7、表达式：,（nm）,导数的拉氏变换性质：,在零初始条件下可以得到：,22,3、传递函数的特点,1）传递函数是物理系统在复数域内的动态数学模型，系数及阶次均为实数，只取决于系统的结构与参数，与输入等外部因素无关。 2）实际系统的传递函数是复变量S的有理分式，分母的阶次分子的阶次。 3）传递函数不能反映系统或元件的组成，物理性质截然不同的系统或元件，可以有相同的传递函数。 4）传递函数的分母即为微分方程的特征多项式。,23,3、传递函数的特点,5）只描述输入量、输出量之间的外部关系，并不反映系统内部情况的变化。（这与现代控制理论有很大区别） 6）传递函数的适用范围 仅适用于线性定常系统 零初始条件

8、下定义,24,4、传递函数的几种表达形式,1）有理真分式 2）零极点形式 3）时间常数表达式（零极点的实系数形式）,25,二、传递函数的零点与极点,（零极点形式）,S=zj（j=1,2，,m)为G（S）的零点 S=pi（i=1,2，,n)为G(S)的极点,也是微分方程的特征根,K*为传递系数或根轨迹增益,26,称为系统增益或放大系数,（时间常数形式）,m=m1+2m2 n=v+n1+2n2,27,小结,零、极点决定系统的动态性能； 极点决定系统的稳定性； K决定系统的稳态输出。,28,三、典型环节的传递函数,1、比例环节,运算关系为,传递函数为,29,1、比例环节,特点：输出与输入成正比，输出

9、不失真也不延迟。 示例,运算放大器,齿轮传动副,30,传递函数为,运算关系为,其中，T -惯性环节的时间常数。,2、惯性环节（或称一阶惯性环节）,31,2、惯性环节（或称一阶惯性环节）,特点：存在一个储能元件和耗能元件，给定输入下，输出不能立即达到稳态值。 示例,无源滤波电路,弹簧阻尼系统,运放组成的惯性环节,32,3、微分环节,运算关系为,传递函数为,微分环节的时间常数，表示微分速率的大小。 该环节实际上不存在（不可能单独存在）。,1）纯微分环节,33,3、微分环节,2）实际的微分环节 如RC微分电路 3）系统中引入微分环节的作用： 可以反映输入的变化趋势，可以预测输入的变化，因而可对系统提

10、前施加校正作用，改善系统的动态性能。 增加了系统的阻尼 强化噪声的作用,34,4、积分环节,传递函数为,运算关系为,T积分环节的时间常数,表示积分的快慢程度。,35,4、积分环节,特点：累积功能、滞后功能、记忆功能。系统中含有储存或积累特点的元件，都有积分环节的特性。 示例：有源积分网络,36,传递函数为,运算关系为,n-无阻尼固有频率 T时间常数 阻尼比， 0 1,5、振荡环节,37,5、振荡环节,示例：RLC电路和弹簧-质量-阻尼器系统 特点： 一般含有两个储能元件和一个耗能元件。两个储能元件之间有能量交换，使系统发生振荡。由于存在耗能元件，所以振荡是逐渐衰减的。,38,6、延迟环节,传输

11、关系为,由拉氏变换的延迟定理，有,具有纯时间延迟传递关系的环节称为延迟环节。,传递函数为,特点：输出滞后输入时间，能不失真地复现输入量。,39,2.3 系统传递函数框图及其简化,方框图（结构图）的基本概念 方框图的等效变换 方框图化简求闭环传递函数,40,一、传递函数方框图的概念,方框图：表示变量之间数学关系的方块图，它是系统数学模型的一种图解表示方法。它形象地描述了系统内部各环节的数学模型，各变量之间相互关系以及信号的流向。 1、方框图的结构要素 1）方框 2）信号线 3）比较点 4）分支点,41,2、系统方框图的建立,42,例：画出电枢控制式直流电动机（第2.1节例2）系统的方框图,（1）

12、列出各环节微分方程,（2）在零初始条件下分别进行拉氏变换,43,-,(s),ML(s),44,例 绘制如下图所示 RC 电路的方框图。,解：（1）写出组成系统的各环节的微分方程，求取各环节的传递函数,45,（2）画出对应的方框图,（3）从相加点入手，按信号流向依次连接成完整方框图。,46,二、方框图的等效变换,原则：变换前后输入输出总的数学关系保持不变。 1、串联环节的等效变换法则,47,二、方框图的等效变换,2、并联环节的等效变换,48,3、反馈连接,G(s):前向通道传递函数; H(s):反馈回路传递函数 G(s)H(s)称为开环传递函数.,49,4、分支点移动,前移,后移,50,5、相加

13、点（求和点）移动,前移,后移,51,7、引出点之间互移,6、比较点之间互移,52,例 设系统的结构图如图所示，试利用等效变换的方法简化结构图，并计算系统的传递函数C(s)/R(s)。,53,解：简化过程：（1）G3(s) 和G4(s)之间的引出点后移，由G3(s) 、G4(s) 和H3(s)组成的内反馈回路计算等效传递函数：,54,（2）将G2(s) 、G34(s) 和H2(s)*1/ G4(s)组成的内反馈回路简化，计算等效传递函数,55,（3）将G1(s) 、G23(s) 和H1(s)组成的主反馈回路简化，计算系统的传递函数,56,例 采用结构图等价变换法化简如图所示的结构图。,退出,解：

14、第一步：向左移出相加点，向右移出分支点。,57,第二步：化简两个内部回路，并合并反馈支路中的串联方块。,第三步：令,作反馈回路化简,系统传递函数为,58,2.4 考虑扰动的反馈控制系统的传递函数,1、给定输入下的闭环传递函数 N(s)=0,2）反馈通道传递函数H(s)： 3）开环传递函数GO(s)：,名词术语,1）前向通道传递函数G(s)：,4）偏差：E(s)=R(s)-B(s),5）系统的偏差传递函数：令 N(s)=0,60,2、扰动作用下的闭环传递函数：令 R(s)=0,2.4 考虑扰动的反馈控制系统的传递函数,偏差传递函数：,当,61,2.4 考虑扰动的反馈控制系统的传递函数,3、闭环系

15、统总输出（应用叠加原理）,特点：四个传递函数都有相同的分母，即特征多项式。 合适的闭环系统可以大大减小干扰引起的误差。,62,2.5 信号流图与梅森（Mason）公式,一、信号流图及其等效变换 1、信号流图基本概念 信号流图：表示系统的结构和变量传送过程中的数学关系。适用于线性代数方程组。,信号流图=节点+支路,节点：表示信号（变量） 支路：连接节点之间的有向线段。,63,信号流图的术语,1)输入节点(源点）：具有输出支路的节点。图中的X1 2)输出节点（阱点）：只有输入支路的节点。若信号流图中没有一个节点是只具有输入支路的。可定义信号流图中任一变量为输出变量，从该节点变量引出一条增益为1的支

16、路，即可形成一输出节点，如图中的x6 3)混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。,64,信号流图的术语,4)通路：沿支路箭头方向穿过各个相连支路的路线。 5）开通路：通路与任一节点相交不多于一次。 6）前向通路：起点在源点，终点在阱点的开通路。 7）回路：起点与终点为同一节点，但与其他节点相交不超过一次的通路。,65,信号流图的术语,8)不接触回路：回路之间无任何公共节点。 9）回路增益：回路中各支路增益的乘积。 10）自回路：只与一个节点相交的回路,66,2、信号流图的性质 (1)信号流图适用于线性系统(传递函数一样)。 (2)支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，信号只能沿支路上的箭

17、头指向传递。 (3)在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相加后的信号送到所有的输出支路。 (4)具有输入和输出节点的混合节点，通过增加一个具有单位增益的支路把它作为输出节点来处理。 (5)对于一个给定的系统，信号流图不是唯一的，由于描述同一个系统的方程可以表示为不同的形式。,67,3、信号流图的绘制 由微分方程绘制 方程，与画方块图差不多。 由系统方块图绘制。,例 求如所示系统方块图的信号流图。,在比较点之后的引出点只需在比较点后设置一个节点便可。即可与它前面的比较点共用一个节点。,在比较点之前的引出点B，需设置两个节点，分别表示引出点和比较点，注意图中的,68,二、梅森公式,直接求从输

18、入节点到输出节点的总传输,式中，p总传输（增益）； n从输入节点到输出节点的前向通道总数；pk第k个前向通道总传输；为信号流图特征式；,69,流图中所有不同回路的回路增益之和；,所有任意两个互不接触回路增益乘积之和；,所有任意m个不接触回路增益乘积之和。,称为第k条前向通路特征式的余因子。其值为中除去第K个前向通道相接触的回路后的特征式。,70,例 试应用梅森公式求取下图所示方框图的传递函数,71,解：画出信号流图,前向通道：,回路：,特征式：,余子式：,72,例 已知两级RC网络的结构图如图所示，试用梅逊公式法求取传递函数。,73,解 (1)写出所有前向通路和回路,74,(2)求出梅逊公式特征式,(3)由梅逊公式求出传递