工程硕士数理统计课件第一讲.ppt

1、,退 出,前一页,后一页,目 录,一、一维离散型随机变量及其分布 二、一维连续型随机变量及其密度函数 三、一维随机变量的分布函数 四、常见的分布列或密度函数,1.2 一维随机变量,概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用高等数学的方法来研究， 因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就建立起了随机变量的概念,为什么引入随机变量?,随机变量的引入,例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.,=红色、白色,非数量,将 数量化,可采用下列方法,红色,白色,即有 X (红色)=1

2、,X (白色)=0.,例2 抛掷骰子,观察出现的点数.,=1，2，3，4，5，6,样本点本身就是数量,且有,则有,随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机变量的取值也有一定的概率规律.,随机变量的取值具有一定的概率规律.,随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数).,随机变量与普通的函数不同,一、一维离散型随机变量及其分布律,1. 离散型随机变量的定义,如果随机变量 X 可能的取值只是有限个或可列无穷个，则称 X 为一维离散型随机变量，简

3、称离散型随机变量,退 出,前一页,后一页,目 录,随机变量的分类,离散型,随机变量,连续型,非离散型,其它,2. 离散型随机变量的分布列,设离散型随机变量 X 的所有可能取值为,并设,则称上式或,为离散型随机变量 X 的分布列,退 出,前一页,后一页,目 录,3.离散型随机变量分布列的性质:,例 1,从110这10个数字中随机取出5个数字，令 X：取出的5个数字中的最大值试求X的分布律,具体写出，即可得 X 的分布律：,解： X 的可能取值为,5，6，7，8，9，10 并且,=,求分布率一定要说明 k 的取值范围！,退 出,前一页,后一页,目 录,1、定义 对于随机变量X ，如果存在非负可积函

4、数 f (x)， 使得对于任意实数 x，有,则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f (x) 称为 X 的概率密度函数,简称概率密度.,退 出,前一页,后一页,目 录,二、一维连续型随机变量及其密度函数,2、概率密度 f(x) 的性质：,退 出,前一页,后一页,目 录,3、常用公式,三、一维随机变量的分布函数,1. 分布函数的定义,设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，称函数 为随机变量的分布函数。,2. 分布函数的计算,设随机变量 X 的分布列为: 求 X 的分布函数.,解：当 x -2 时，,退 出,前一页,后一页,目 录,例 2,同理当,退 出,前一页,后一页,目 录,o,o,o,3.

5、 分布函数的性质,（3）F (x) 是一个单调不减的函数,连续型随机变量的分布函数还有如下性质：,例 3,设 X 是连续型随机变量，其密度函数为,解： 由密度函数的性质,退 出,前一页,后一页,目 录,例 4,退 出,前一页,后一页,目 录,1. 二项分布,定义：如果随机变量 X 的分布列为,退 出,前一页,后一页,目 录,四、常见的分布,二项分布的概率背景,进行n重 Bernoulli 试验，A是随机事件。设在每次试验中,令 X 表示这 n 次 Bernoulli 试验中事件A发生的次数,二项分布的图形,2. Poisson分布,定义：如果随机变量X 的分布列为,则称随机变量 X 服从参数为

6、的Poisson 分布,退 出,前一页,后一页,目 录,可以证明， 电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数， 放射物在某一时间间隔内发射的粒子数， 容器在某一时间间隔内产生的细菌数， 某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数 等等，在一定条件下，都是服从Poisson分布的,自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布,泊松分布的图形,3. 几何分布,定义：如果随机变量 X 的分布列为,退 出,前一页,后一页,目 录,4.均匀分布,定义:若随机变量 X 的密度函数为,记作 X U a , b,退 出,前一页,后一页,目 录,均匀分布的概率背景,X,X,a,b,l,l,0,x,5. 指数分布,定义:如果随机变量 X 的密度函数为,退 出,前一页,后一页,目 录,例 5,退 出,前一页,后一页,目 录,令：B= 等待时间为1020分钟 ,退 出,前一页,后一页,目 录,6. 正态分布,x,0,正态分布密度函数的图形性质,x,f (x),0,正态分布的重要性, 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服