微分方程模型).ppt

1、,5.1 微分方程的建立,实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的 变化规律 ：y=y(t).,直接求很困难,建立关于未知变量、 未知变量的导数以及 自变量的方程,建立变量能满足 的微分方程,？,哪一类问题,在工程实际问题中,* “改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词 提示我们注意什么量在变化.,关键词:“速率”、“增长”、 “衰变” 、“边际的” .,建立方法 常用微分方程,运用已知物理定律,利用平衡与增长式,运用微元法,应用分析法,机理分析法,一、微分方程模型建模步骤,（1）建模步骤 （2）关于建模步骤的例子 （3）建立微分方程的其他方法,1、建模步骤(1),1、翻译或转化：

2、在实际问题中许多表示导数的常用词，如 “速率”、增长”(在生物学以及人口问题研究中)， “衰变”(在放射性问题中)，以及“边际的”(在经 济学中)等 2、建立瞬时表达式： 根据自变量有微小改变t时，因变量的增 量W，建立起在时段t上的增量表达式，令 t 0，即得到 的表达式,建模步骤(2),3、配备物理单位： 在建模中应注意每一顷采用同样的物理单位 4、确定条件： 这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界 上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确 定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学 陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。,建立微分方程模型时,应用已知物理定律， 可事半功倍,例5.

3、1.1 一个较热的物体置于室温为180c的 房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后 降到500c .想知道它的温度降到300c 需要多少时 间？10分钟以后它的温度是多少？,牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体 放入处于常温 m 的介质中时，T的变化速率正 比于T与周围介质的温度差.,一. 运用已知物理定律,分析：假设房间足够大，放入温度较低或较 高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分 布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个 相当好的近似。,建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T(t)，t0，,“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差”,翻译为,数学语言,建立微分方程,其中参数

4、k 0，m=18. 求得一般解为,ln(Tm)=k t+c,代入条件，求得c=42 ，k= , 最后得,T(t)=18+42 , t 0.,二.分析法,基本思想：根据对现实对象特性的认识， 分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.,例5.1.2（新技术推广模型）一项新技术如 何在有关企业中推广，是人们关心的问题。 具体的说，就是一家企业采用了一项新技术， 那么该行业中其他企业将以怎样的速度采用 该技术？哪些因素影响速度的大小？,记p(t)为t时刻采用该技术的企业数，并设p(t)连续可微。假设未采用该技术的企业之所以决定采用该技术，是因为其已知已有企业采用了该技术并具有成效，也就是“示范效应”

5、在起作用。 假设t=0时，有一项技术被引进到共有N个企业的行业中，其中有一个企业采用了该技术。,表示t到,时间内采用该技术的企业数的增加量,假设该增量与已采用该技术的企业数成正比，还与 未采用该技术的企业数成正比，则有,令,当t无穷大时，p(t)的趋向及范围？ 还有当？时变化率最大？ 如果考虑广告的效应呢？,解为,考虑单位时间内使用该技术的企业数增量时应把示范效应和广告效应一起考虑。而广告只对没采用该技术的企业起作用。假设其引起的增量与（N-p）成正比,草原命运:天然草原的生息繁衍,已形成自身特有的生物链,且对人类生存起着重要作用。长期以来,人为破坏(如过度放牧、猎杀动物及采挖草药等)使草原生

6、态每况愈下,日渐衰竭。据2000年8月6日北京晚报载:“受利益驱使,有些人不顾国家法律和当地政府禁令,在呼伦贝尔草原大肆采挖中草药,致使草原严重受损。据此,有关专家推断,10年之内,该草原将变成荒漠。”,为了天然草原的生息繁衍和可持续发展,完成以下工作: 1)建立草原自然生长规律模型,描述人为破坏对草原生长的影响过程;( 2)论证或驳斥报载消息中专家的推断,如果立即停止对草原的一切人为破坏,10年后的情形如何? 3)寻求导致草原消失的临界条件,给出草原生长的挽救方案,并对挽救效果进行预测。,2、关于建模步骤的一个例子,例1：某人的食量是10467焦天，其中5038焦 天，用于基本的新陈代谢(即

7、自动消耗)。在 健身训练中，他所消耗的热量大约是69焦 公斤.天乘以他的体重 (公斤)假设以脂肪形 式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂肪台 热量41868焦。试研究此人的体重随时间变 化的规律,3、例子分析,1、翻译或转化： 2、配备物理单位： 3、建立表达式： 4、确定条件：,1、“每天”：体重的变化输入一输出 其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量 吸收；输出是进行健身训练时的消耗(WPE) 2、上述陈述更好的表示结构式： 体重的变化天=净吸收量天一WPE天 其中： 净吸收量天10467 5038 5429（焦天) 净输出量天69(焦公斤天)W(公斤 69W(焦天) 3、体重的变化天

8、 (公斤天),3、例子分析,1、翻译或转化： 2、配备物理单位： 3、建立表达式： 4、确定条件：,有些量是用能量(焦)的形式给出的，而另外 一些量是用重量的形式(公斤)给出，考虑单位 的匹配，利用,单位匹配,3、例子分析,1、翻译或转化： 2、配备物理单位： 3、建立表达式： 4、确定条件：,建立表达式,4、建立微分方程的其他方法,1、按变化规律直接列方程，如： 利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等 学科中的规律，如牛顿第二定律，放射性物质的 放射规律等。对某些实际问题直接列出微分方程 2、模拟近似法，如： 在生物、经济等学科中，许多现象所满足的 规律并不很清楚，而且现象也相当复杂，因而需

9、 根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设， 在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律， 然后利用适当的数学方法得出微分方程。,5、一个考古问题,（1）问题分析与模型的建立,1、,2、,（2）解,（3）一个事实,连续型模型,一、微分方程模型建模步骤 二、微分方程模型 三、案例分析,微分方程模型,一、几何问题 二、化学问题,一、几何问题,1、速降线问题 2、追线问题,1、速降线问题,历史背景 问题： 确定一个连接二定点A、B的曲线，使 质点在这曲线上用最短的时间由A滑至B点 (介质的摩擦力和阻力忽略不计)。,速降线问题实验,速降线是否连接A和B的直线段？,X,牛顿的实验（1630年） 在铅垂平

10、面内，取同样的两个球，其中一个 沿圆弧从A滑到B，另一个沿直线从A滑到B。发 现沿圆弧的球先到B。伽利赂也曾研究过这个问 题，他认为速阵线是圆弧线。,坐标系的建立,x,y,O,模型的建立,以s表示曲线从A点算起到P(x，y)的弧长 几个表达式： （1）速度与路程的关系： （2）弧微分公式： （3）下降的时间：,模型：,2、追线问题,我缉私舰雷达发现，距c海里处有一艘走私 船正以匀速度a沿直线行驶，缉私舰立即以最大 的速度b追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬 时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐 路线和追上的时间。,图示,(c,0),x,D(x,y),R=(0,at),y 敌艇,几何关系,如

11、何消去时间t?,1、求导： 2、速度与路程的关系： 3、分解 得： （这里有负号是因为s随x的减小而增大） 4、将第2、3步代入第1步，可得模型,追线模型：,模型的解：,解的进一步讨论,思考：饿狼追兔问题现有一只兔子，一匹狼，兔子位于狼的正西100米处。假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。已知兔子和狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。问题是：兔子能否安全回到巢穴？,二、化学问题,溶液混合问题： 设有一容器装有某种浓度的溶液，以流量v1 注入浓度为c1的同样溶液，假定溶液立即被搅 匀，并以v2的流量流出这种混合后的溶液，试 建立容器中浓度与时间关系的数学模

12、型。,模型的建立,参数设定：设容器中溶液溶质的质量为x(t)，原 来的初始质量为x0，t0时溶液的体 积为v0。 在t的时间间隔内，容器内溶质的改变量： 其中c1：输入溶液浓度， c2：t时刻溶液浓度,模型：,适用范围： 气体、液体、固体,草坪积水问题： 露天足球场极易受雨天的干扰。 只能停赛直至草坪的表层充分干，即或雨水渗透到了底层，或停后雨水蒸发到空气中，有仪器可以加快其干燥过程，但为了避免损坏草坪，常常让其自然干燥。是否可以建立一个数学模型描述这一干燥过程？ 这个问题也可以叙述为：下了一场雨后，是否可以预测比赛何时能恢复？设草坪开始时是干的，突然开始下雨，并以同样的大小持续了半小时。假设

13、在半小时中积聚了1.8厘米高的水。,单位降雨速率变量 r(t）米/每秒 时间变量t秒 草坪面积变量A平方米 草坪厚度变量D米 目前在草坪中的雨量变量Q(t)米 蒸发率变量e(t)米/每秒 渗透率变量s(t)米/每秒 停雨时间参数c秒,1、油画真假辨别,历史背景： 二战后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹分子的合作者， 于1945年5月29月以通敌罪逮捕了一名三流画家H.A.Va- nmeegren，此人曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer创 作的一批名贵油画盗卖给德国。 但H.A.Vanmeegren被捕后宣称自己从未出卖过荷兰 利益，所有油画均是自己伪造的，这件事在当时轰动了 全世界，为了

14、证明自己是一个高明的伪造者，他开始在 牢房里作画，当面快要完成时，他又得悉通敌罪可能会 改为伪造罪，为了逃避判决，他末将此画画完并拒绝 将画老化，以免留下罪证。,放射物质衰变原理：,记N(t)为t时刻存在的原于数，则dN/dt为单 位时间内蜕变的原子数，因此有：,其中是衰变系数,半衰期T：为给定数量的放射性原于蜕变一半 所需的时间。 如何通过来计算T？,半衰期T的计算：,假设N(t0)N0，于是得初值问题：,解：,两边取对数后：,放射性测定年龄法：,如碳14，其T5568年； 铀一238，其T45亿年。,衰变史：,油画小知识：所有油画都含少量放射性元素铅 210以及更少量的镭226。,铅矿石,

15、金属铅,铅白 铅-210,半衰期：22年,镭-226,半衰期：1600年,化炼,铅-206,衰变,衰变,模型建立：,记y(t)为t时刻每克铅白所含Pb210的数量，y0 为制造时刻t0每克铅白所含铅一210的数量，r为 镭在每克铅白中镭-226在每分钟的蜕变量，是 铅-210的衰变常数，则油画中铅-210含量应满足：,解：,问题：y0既不能直接测量，计算也有困难,因为镭-226衰变为铅一210,鉴别油画的方法：,要区别17世纪的油画和现代膺品，可根据下 述简单事实：如果颜料的年头比起铅的半哀期22 年长得多，那么颜料中铅-210的放射作用量就几 乎接近于颜料中镭的放射作用量，即两者每克铅 白中

16、每分钟蜕变的原子数应非常接近。另一方面， 如果油画是现代作品(大约20年左右)，那么铅-210 的放射作用量就要比镭的放射作用量大得多。 因此，一般只要测得每克铅白中铅-210及镭 的衰变率就能判定。,是否现代膺品的判别,模型变形： 取t-t0=300年，可算出铅白中铅-210的蜕变 率y0会大得出奇，然后能分析发现原矿中含铀 量是否合理。 由于矿石中含铀量达23%已极罕见，而由 铅-210单位时间蜕变的原子数来计算矿石中含 铀量的方法也不难，只要铅白中铅-210每分钟 蜕变超过3万个原子，就知矿石中含铀超过4%， 就判定出必为膺品。,鉴定结果：,取t-t0=300，铅-210的 =ln2/2

17、2,后两幅画不可能是伪制品，因为铅-210和镭-226非常接近于放射性 平衡，这种平衡在19世纪或20世纪油画的任何样品中都观察不到。,动态微分方程模型,一、传染病模型： 四个模型 二、战争模型,问题提出,本世纪初，瘟疫常在世界上某地流行，随着 人类文明的不断进步，很多疾病，诸如天花、霍 乱已经得到有效的控制然而，即使在今天，一 些贫穷的发展中国家，仍出现传染病流行的现象， 医疗卫生部门的官员与专家所关注的问题是： （1）感染上疾病的人数与哪些因素有关 （2）如何预报传染病高潮的到来,问题分析,不同类型传染病的传播过程有不同的特点。 故不从医学的角度对各种传染病的传播过程一 一进行分析，而是按

18、一般的传播机理建立模型 由于传染病在传播的过程涉及因素较多， 在分析问题的过程中，不可能通过一次假设建 立完善的数学模型 思路是：先做出最简单的假设，对得出的 结果进行分析，针对结果中的不合理之处，逐 步修改假设，最终得出较好的模型。,模型一,模型假设： （1）一人得病后，久治不愈，人在传染 期内不会死亡。 （2）单位时间内每个病人传染人数为常 数k。,为什么假设不会死亡？,（因为死亡后便不会再传播疾病，因 而可认为此时已退出系统）,模型建立：,I(t)表示t时刻病人的数量，时间：天 则：I(t+t)I( t)k0I(t) t, K0表示每天每个病人有效接触（足以使人致病的接触）的人数 于是模

19、型如下：,模型的解：,举个实例,最初只有1个病人，1个病人一天可传染1个人,模型的缺点,问题：随着时间的推移，病人的数目将无限增加， 这一点与实际情况不符 原因：当不考虑传染病期间的出生、死亡和迁移 时，一个地区的总人数可视为常数。因此 k0应为时间t的函数。在传染病流行初期， k0较大，随着病人的增多，健康人数减少， 被传染的机会也减少，于是k0将变小。 模型修改的关键： k0的变化规律,模型二,设t时刻健康人数为S(t) 模型假设： （1）总人数为n，I(t)十S(t)n （2）一人得病后，久治不愈，且在传染期内不 会死亡。 （3）一个病人在单位时间内传染的人数与当时 健康的人数成正比，比

20、例系数为k（称之为 传染系数）,模型改进,方程的解：,对模型作进一步分析,传染病人数与时间t关系,传染病人数的变化率与时间t的关系,染病人数由开始到高峰并 逐渐达到稳定,增长速度由低增至最高后 降落下来,疾病的传染高峰期,此时,计算高峰期得：,意义： 1、当传染系数k或n增大时，t0随之减少，表示传 染高峰随着传染系数与总人数的增加而更快 的来临，这与实际情况比较符合。 2、令=kn，表示每个病人每天有效接触的平均 人数，称日接触率。t0与 成反比。 表示该 地区的卫生水平， 越小卫生水平越高。故 改善卫生水平可推迟传染病高潮的来临。,模型的缺点,缺点：当t时，I(t) n，这表示所有的人最

21、终都将成为病人，这一点与实际情况不 符合 原因：这是由假设1)所导致，没有考虑病人可 以治愈及病人病发身亡的情况。 思考题：考虑有病人病发身亡的情况，再对模型 进行修改。,模型三,有些传染病（如痢疾)愈后免疫力很低，还有可能再 次被传染而成为病人。 模型假设： （1）健康者和病人在总人数中所占的比例分别为s(t)、i(t)， 则： s(t)+i(t)1 （2）一个病人在单位时间内传染的人数与当时健康人数成 正比，比例系数为k （3）病人每天治愈的人数与病人总数成正比，比例系数为 (称日治愈率)，病人治愈后成为仍可被感染的健康者， 称1/ 为传染病的平均传染期(如病人数保持10人，每 天治愈2人

22、， 1/5，则每位病人平均生病时间为 1/ 5天)。,模型的建立,假设2、3得：,将假设1代入，可得模型：,模型的解：,阈值=k/的意义,一个病人在平均传染期内传染的人数与当时 健康的人数成正比，比例系数为,模型的意义,（t , i (t)）图,（1）当1时，指传染期内被传染的人数不超过当时健康的 人数。病人在总人数中所占的比例i(t)越来越小，最终 趋于零。 （2）当 l时，i(t)最终以1-1/ 为极限； （3）当增大时，i()也增大，是因为随着传染期内被传染 人数占当时健康人数的比例的增加，当时的病人数所占 比例也随之上升,模型四,某些传染病如麻疹等，治愈后均有很强的免 疫力，所以病愈的

23、人既非健康人，也非病人。 模型假设： （1）人群分为健康者、病人、病愈免疫者三类， 这三类人在总人数中所占的比例分别为s(t)， i(t)，r(t)，则有s(t)+i(t)+r(t)1。 （2）单位时间内，一个病人传染的人数与当时 健康者人数成正比，比例系数为k （3）在单位时间内，病愈免疫的人数与当时病 人人数成正比，比例系数为,模型的建立,i ( t )与s ( t )无解释解。从相轨线定性分析,相轨线,相轨线（s，i）,图中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向,相轨线分析结果,1、不论初始条件s0、i0如何病人终将消失。 2、最终未被感染的健康者的比例是s，图中 可看出是在(0，1/ )内的单根。 3、若s0 1/ ，则i(t)先增加，当s1/ 时，i(t)达到 最大。 4、若s0 1/ ，则i(t)单调减小至零,阈值1/的意义,1、减小传染期接触数 ，即提高阈值l/ ，使得 s0 1/ (即