第三章范数理论及其应用.ppt

1、第三章 范数理论及其应用,3.2 矩阵范数,3.3 范数的应用,3.1 向量范数,它具有非负性、齐次性和三角不等式三个基本性质，向量范数也具备这些性质。,平面解析几何中一个向量 的长度 的定义：,3.1 向量范数,(1)非负性： ，当且仅当 时， ; (2)齐次性：对任何数 ，有 ;,定义3.1.1设 是 维向量空间，若对 中任意向量 都有一个实数 与之对应且满足：,(3)三角不等式：对 中任意两个向量 x 和 y,有,则称 为 中向量x的范数，简称为 向量范数。,定义了范数的向量空间称为赋范向量空间。,在赋范向量空间 中，向量x与y之间的距离可定义为 的范数，即,距离d 具有平移不变性，即若

2、 ，则,3.1.2 几种常用的向量范数,定理3.1.1按如下方式定义的函数是范数：,例 3.1.1,例 3.1.2,例 3.1.3,在 和 中画出1-范数、2-范数、 -范数的“单位圆”和“单位球”有助于大家对范数的理解。,1-范数意义下的“单位圆”和第一象限的“单位球”,2-范数意义下的“单位圆”和第一象限的“单位球”,-范数意义下的“单位球”和第一象限的“单位球”,3.1.3 向量范数的等价性,定义3.1.2设 和 是 中的两种向量范数，如果存在正数 和 使得对任意 ,都有,则称向量范数 与 等价。,定理3.1.2对任意 都有：,定理3.1.3 n维向量空间 中所有的向量 范数都是等价的。

3、,例 3.1.4,定理3.1.4,不同的向量范数可能具有不同的大小，但在各种范数下，向量序列的收敛问题却表现出简洁性和一致性。,3.2.1 矩阵范数的定义,3.2 矩阵范数,定义3.2.1设 ，定义一个实值函 数 ，满足以下性质：,(1)非负性： ，当且仅当 时，,(2)齐次性： ,其中 是任意常数；,(3)三角不等式： ，其中 是任意 的矩阵。,(4)相容性： ，其中 是可与 相乘的任意矩阵；,则称 为 的矩阵范数。,例 3.2.1,例 3.2.2,能否可以从 中，将 提取出来呢？,例3.2.3,定义3.2.2设 是 上的矩阵范数， 是 与 上的向量范数，如果对任意 和 都有 则称矩阵范数

4、与向量范数 是相容的。,3.2.2 从属范数,定义3.2.3 是 上的向量范数， 定义实值函数 则称 为由向量范数 导出的矩阵范数或从属于向量范数 的矩阵范数，简称为导出范数或从属范数。,因此，我们可得到如下结论。,若令 ，则 ，此时,定理3.2.1,定理3.2.2任意从属范数都是范数，即对任意 ， ， ，都有：,(1)非负性： ，当且仅当 时， 。,(2)齐次性： ；,(3) 三角不等式：,(4) 相容性：,另外每一种从属范数还具备如下性质：,(a) ;,，且在某点 等式成立；,(c) 若 可逆，则,(d) 若 可逆，则,例 3.2.4,定理3.2.3 设 ，分别由向量范数 导出的矩阵范数为

5、：,定理3.2.4设 ，则,例 3.2.5,定理3.2.5设 ，且 都是酉矩阵，则,3.3.1线性变换的误差分析,3.3 范数的应用,设T是线性变换，A是与之对应的矩阵，即,下面我们研究在此线性变换下“单位圆” 的象。,的结论：,（假定 可逆）,（假定 可逆）,例 3.3.1,矩阵从属范数在逼近论中的应用,设 ， 是 的一个近似值，则,上式说明象向量之间的误差不超过 的 倍.,而相对误差满足关系,由结论(2)知 ，因此,其中 称为矩阵A的条件数。,上式说明像向量的相对误差不超过原像的相对误差的 倍.,因此A的条件数都大于1.,由于,可以证明,其中 分别由矩阵的1-范数、2-范数和 范数计算得到

6、的。,设 非奇异， ，考虑如下线性 方程组 .,3.3.2 线性方程组 解的误差分析,由于误差，设用Gauss消去法得到的解为 ，满足 其中E是由舍入引起的误差矩阵.,设机器的有效数字为t，则,设x是线性方程组的精确解，则,表明了误差E 对方程组 的解的影响，当 很小时，解的失真程度小，这样的矩阵称为良态矩阵或好条件的。若 很大，则解的失真程度也可能很大，这样的矩阵称为病态矩阵或坏条件的。,Hilbert矩阵是很有名的病态阵：,随着n的增大， 的条件数增长很快。,3.3.3矩阵的谱半径,定义3.3.1设 为A的n个特征值，称 为A的谱半径。,例 3.3.3,定理3.3.1 设 是任一矩阵范数，则,定理3.3.2 设 是一个正数，则存在矩阵