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文档简介

1、3.2.1 几个常用函数的导数,练习1、求函数y=f(x)=c的导数。,因为,所以,因为,所以,练习2、求函数y=f(x)=x的导数,探究?,(1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? (2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢? (3)函数y=kx(k0)增(减)的快慢与什么有关?,在同一平面直角坐标系中, 画出y=2x,y=3x,y=4x的 图象,并根据导数定义, 求它们的导数。,因为,所以,练习3、求函数y=f(x)=x2的导数,你能不能求出函数y=f(x)=x3的导数。,思考,y =3x2,你猜测 y = x n 导数是什么?,y =nxn-1,因为,所以,探究?,画出函数

2、 的图象。根据图象,描述它的变化情况,并求出曲线在点(1,1)处的切线方程。,求切线方程的步骤:,(1)求出函数在点x0处的变化率 ,得到曲线 在点(x0,f(x0)的切线的斜率。,(2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即,例1 y=|x|(xR)有没有导函数,试求之。,解: (1)当x0时,y=x, 则y =1,(2)当x0时,y=-x,不难求得y =-1,(3)当x=0时,y=0,求其导数如下:,当x0时,比值为1,从而极限为1,当x0时,比值为-1,从而极限为-1,从而当x=0时,极限不存在。,故y=|x|(xR)没有导函数。,结论:并不是每个函数都有导函数。,基本初等函数的导数公式,

3、练习 求下列函数的导数。,(1) y= 5 (2) y= x 4 (3) y= x -2 y= 2 x y=log2x,思考如何求下列函数的导数:,例2 假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为5,物价p(单位:元)与时间t(单位:年)有如下函数关系 其中p0为t = 0时的物价。假定某种商品的p0=1,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?,解:根据基本初等函数导数公式表,有,因此,在第10个年头,这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨。,导数的运算法则:,法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:,法则2:两个函数的积的

4、导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:,法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:,例3 求函数y=x3-2x+3的导数.,解:因为,所以,函数y=x3-2x+3的导数是,练习 求下列函数的导数。,例4 求下列函数的导数:,答案:,例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加。已知将1吨水净化到纯净度x%时所需费用(单位:元)为,求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率: (1)90 (2)98,解:净化费用的瞬时变化率就是净

5、化费用函数的导数,所以,纯净度为90%时,费用的瞬时变化率是52.84元/吨,所以,纯净度为98%时,费用的瞬时变化率是1321元/吨,例6 某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足,解: (1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点.,即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8,故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.,(1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零?,例7 已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2

6、均 相切,求l的方程.,解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).,对于 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.,对于 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.,因为两切线重合,若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.,所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.,一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x).,复合函数的概念,例4 求下列函数的导数,函数求导的基本步骤: 1,分析函数的结构和特征 2,选择恰当的求导法则和导数公式 3,整理得到结果,求下列函数的导数,如下函数由多少个函数复合而成:

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