（江苏专用）2020版高考数学总复习第六章第三节等比数列及其前n项和课件苏教版.pptx

1、第三节等比数列及其前n项和,1.等比数列的概念,2.等比数列的通项公式,3.等比中项,4.等比数列的前n项和公式,教材研读,5.等比数列的性质,考点一 等比数列的基本运算,考点二 等比数列的判定与证明,考点突破,考点三 等比数列的性质及应用,1.等比数列的概念 (1)文字语言:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列. (2)符号语言:=q(nN*,an0,q0).,教材研读,2.等比数列的通项公式 设an是首项为a1,公比为q的等比数列,则第n项an=a1qn-1.,3.等比中项 若a,G,b成等比数列,则G叫做a和b的等比中项,且G=.,4

2、.等比数列的前n项和公式 设等比数列an的公比为q, 则其前n项和Sn=,5.等比数列的性质 (1)an=amqn-m(n,mN*). (2)等比数列an中,对任意的m、n、p、qN*,若m+n=p+q,则aman=apaq.特殊地,若m+n=2p,则aman=. (3)等比数列an中依次每m项的和仍成等比数列,即Sm、S2m-Sm、 S3m-S2m、仍成等比数列,其公比为qm(q-1).,设Sn为等比数列an的前n项和. (1)an+m=anqm=amqn(m,nN*). (2)a1a2a3am,am+1am+2a2m,a2m+1a2m+2a3m,成等比数列(mN*). (3)若等比数列的项

3、数为2n(nN*),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则=q.,知识拓展 与等比数列相关的结论,(5)若三个数成等比数列,则通常设为,x,xq.,(4)an,bn是等比数列,则an,anbn, 也是等比数列(0,n N*).,1.(教材习题改编)已知两个数k+9和6-k的等比中项是2k,则k=.,答案3或-,解析由已知得(2k)2=(k+9)(6-k),解得k=3或-.,2.(教材习题改编)设an是等比数列,有下列四个命题:(1)是等比数 列;(2)anan+1是等比数列;(3)是等比数列;(4)lg|an|是等比数列.其 中正确命题的个数是.,答案3,解析设等比数列an的公比为q

4、,则和anan+1都是公比为q2的等比 数列,(1)(2)正确;是公比为的等比数列,(3)正确;lg |an|是等差数 列,(4)错误.,3.(教材习题改编)等比数列an中,a1+a2+a3=-3,a1a2a3=8,则a4=.,答案8或,解析由an是等比数列,得a1a2a3=8,a2=2,则解得a1=-1,a3 =-4或a1=-4,a3=-1,则a4=8或.,4.(2018江苏溧水中学月考)已知等比数列an的各项都为正数,它的前三项依次为1,a+1,2a+5,则数列an的通项公式为.,答案an=3n-1,解析由题意得(a+1)2=2a+5,a+10,解得a=2(舍负),则等比数列an的公比是3

5、,首项是1,则an=3n-1.,5.(2018南京高三模拟)若等比数列an的前n项和为Sn,nN*,且a1=1,S6= 3S3,则a7的值为.,答案4,解析由S6=3S3得等比数列an的公比q1,则=,化简 得1-q6=3(1-q3),解得q3=2,又a1=1,所以a7=a1q6=4.,考点一 等比数列的基本运算 典例1(1)(2018江苏三校高三联考)已知等比数列an的前n项和为Sn,若S1+S2+S3=10,S2+S3+S4=15,则公比q=. (2)(2018扬州高三调研)已知an是等差数列,Sn是其前n项和.若a3=2,S12=4S6,则a9的值为.,考点突破,答案(1)1(2)2或6

6、,解析(1)当q=1时,S1+S2+S3=6a1=10,a1=,S2+S3+S4=9a1=15,符合题意;当q 1时,S1+S2+S3=(3-q-q2-q3)=10,S2+S3+S4=(3-q2-q3-q4)=15,无解,故q =1. (2)由S12=4S6得等比数列的公比q1,则=,化简得1-q12= 4(1-q6),解得q6=1或q6=3,即q=-1或q=,又a3=2,所以a9=a3q6=2或6.,方法技巧 解决等比数列有关问题的常用思想方法 (1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求出关键量a1和q,问题便可迎刃而解. (2)分

7、类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,数列an的前n项和Sn=na1;当q1时,数列an的前n项和Sn=.,易错警示 本例题(2)容易漏解,判断出q1后从“1-q12=4(1-q6)”的两边同时约去1-q6导致遗漏q=-1的情况,所以在约分时要慎重.,1-1(2018江苏无锡普通高中期末)等比数列an中,若a2=1,a5=8,则a7=.,答案32,解析由题意知q3=8,q=2,则a7=a5q2=32.,典例2(2018江苏五校高三学情检测)已知数列an,bn满足:bn=an+3an+1,nN*. (1)若bn=n,a2+a3=0,求a1的值; (2)设an=b

8、n+bn+1,a1=-1,a2=,求证:数列bn从第2项起成等比数列.,考点二 等比数列的判定与证明,解析(1)当n=1,2时,可得a1+3a2=1,a2+3a3=2,又a2+a3=0,从而可得a1=4. (2)证明:由a1=-1,a2=,可得b1=a1+3a2=-,b2=a1-b1=-, 因为bn=an+3an+1,an=bn+bn+1, 所以bn=(bn+bn+1)+3(bn+1+bn+2),即4bn+1=-3bn+2,nN*, 又b2=-0,所以=-,nN*且n2, 所以数列bn从第2项起成等比数列.,等比数列的判断与证明的常用方法,方法技巧,2-1(2018江苏无锡高三期末)已知等差数

9、列an的公差d不为0,且, ,成等比数列(k1k2kn),公比为q. (1)若k1=1,k2=3,k3=8,求的值; (2)当为何值时,数列kn为等比数列?,解析(1)由已知可得a1,a3,a8成等比数列,所以(a1+2d)2=a1(a1+7d),整理可得4d2=3a1d. 因为d0,所以=. (2)设数列kn为等比数列,则=k1k3. 因为,成等比数列,且d0,所以a1+(k1-1)da1+(k3-1)d=a1+(k2-1)d2. 整理得a1(2k2-k1-k3)=d(k1k3-k1-k3+2k2). 因为=k1k3,所以a1(2k2-k1-k3)=d(2k2-k1-k3). 因为2k2k1

10、+k3,所以a1=d,即=1. 当=1时,an=a1+(n-1)d=nd,所以=knd. 又因为=qn-1=k1dqn-1,所以kn=k1qn-1. 所以=q,所以数列kn为等比数列.综上,当=1时,数列kn为等比数列.,考点三 等比数列的性质及应用 角度一等比数列项的性质,典例3(1)(2018江苏如东高级中学阶段测试(二)在等比数列an中,各项均为正值,且a6a10+a3a5=41,a4a8=5,则a4+a8=. (2)等比数列an的各项均为正数,且a4a7=3,则log3a1+log3a2+log3a10= .,答案(1)(2)5,解析(1)在等比数列an中,a6a10+a3a5=+=41,则(a4+a8)2=51,又各项 均为正值,所以a4+a8=. (2)log3a1+log3a2+log3a10=log3(a1a2a9a10)=log3=5log 33=5.,角度二等比数列前n项和的性质 典例4(2018泰州中学高三检测)已知等比数列an的前n项和为Sn.若S3=7,S6=63,则S9=.,答案511,解析因为Sn是等比数列an的前n项和,所以S3,S6-S3,S9-S6成