周世勋量子力学教程第二版课件量子力学第四章.ppt

1、1,量子力学,2,第四章 态和力学量的表象,4.1 态的表示,4.2 算符的矩阵表示,4.3 矩阵性质,4.4 量子力学公式的矩阵表示,4.5 幺正变换（表象变换）,4.6 态随时间变化的幺正变换,4.7 海森伯绘景与薛定谔绘景,4.8 狄拉克符号,4.9 线性谐振子与占有数表象,RETURN,3,第四章 态和力学量的表象,表象：态和力学量的具体表示方式称为表象,4.1 态的表示,4,任何一个态 （可知量）可按该基矢展开,展开系数,共轭矩阵为,5,讨论：,态矢量一般为复量，空间维数可以是无限维的，不可数的，这种函数空间称希尔伯特空间。,若 是归一化的，则,即,6,同一个态可以在不同的表象中表示

2、，表象不 同，波函数的形式也不同，但它们完全等价。,坐标表象：,动量表象：,7, 4.2 算符的矩阵表示,一、算符在一般表象中的表示,二、算符在自身表象中的表示,三算符表示矩阵的性质,8,4.2 算符的矩阵表示,一、算符在一般表象中的表示,设算符 作用于函数 后，得出另一函数 .,在坐标表象中：,Q表象中：设Q有分立谱,相应的本征函数,则,9,用 同乘上式两边，再对x积分,是 在Q表象中的表示,是 在Q表象中的表示,故,其中,10,即：算符在Q表象中的表示是一矩阵。,矩阵元 表示Q表象中基矢 在算符 作用下的变化性质。,所以矩阵给定后，基矢在 作用下的变化就完全确定，同时任何一个量子态在 作用

3、下的变化也就完全确定了。,11,二、算符在自身表象中的表示,Q在自身表象中的矩阵元：,算符在其自身表象中是一个对角矩阵。,12,三算符表示矩阵的性质,F矩阵的第m列第n行的矩阵元等于它第n列第m行矩阵元的共轭复数，称为厄米矩阵。,F的共轭矩阵满足,结论：表示厄米算符的矩阵是厄米矩阵。,13,例题 求一维谐振子的坐标x，动量p及哈密顿 量H在能量表象中的矩阵表示。,解 利用厄米多项式的递推关系,在能量表象中x 的矩阵表示为,14,在能量表象中p 的矩阵表示为：,15,能量H在自身表象中的矩阵,16,4.3 矩阵性质,矩阵表象理论的数学基础,1.矩阵的加法,若矩阵A和B的行数与列数分别相同，则它们

4、可以相加成另一矩阵C，其中C的元素为A和B相对应元素之和:,量子力学中，算符的表示矩阵满足上述加法规则.,17,18,2.矩阵的乘法,两矩阵乘法规则:若C=AB,则C的矩阵元,条件：矩阵A的列数等于B的行数,量子力学中表示算符的矩阵满足上述规则,设 ,则 在Q表象中的矩阵元：,19,令,其中,所以,注: (1)一般ABBA,或,(2)若AB=BA,则称矩阵A与B对易,20,3.两矩阵A与B乘积的转置矩阵等于B的转置矩阵 乘以A的转置矩阵，即,推之：,故有,21,4.4 量子力学公式的矩阵表示,一、期望值公式,二、本征值方程,三、薛定谔方程,22, 4.4 量子力学公式的矩阵表示,一、期望值公式

5、,Q表象中：,23,即,特例：力学量在自身表象中的期望值,或,代表在态下测量力学量F得本征值 的概率。,因为,所以,24,二、本征值方程,上式表示一个线性齐次方程组,即,25,方程组有非零解的条件是系数行列式等于零：,久期方程,F的本征值：,对于每一个本征值,可求出相应的本征矢,26,三、薛定谔方程,Q表象中,左乘 再对x 积分,所以,其中：,27,矩阵表示：,简记：,28,4.5 幺正变换（表象变换）,一、表象变换,二、表象变换矩阵S的性质,29,4.5 幺正变换（表象变换）,一、表象变换,A 表象 B表象,基 矢：,态矢量：,力学量：,30,（1）态矢量从A表象到B表象的变换,A 表象 B

6、表象,即,或,故,31,（2）力学量从A表象到B表象的变换,即,所以,32,二、表象变换矩阵S的性质,1.变换矩阵S是么正矩阵,S为幺正矩阵,即,33,2.幺正变换不改变算符的本征值,因在A表象中,在B表象中,所以,即：在B表象中力学量的本征值仍为,3.幺正变换S不改变矩阵的迹,即：F的迹等于F的迹。,34,4.6 态随时间变化的幺正变换,一、变换矩阵,二、变换矩阵为幺正矩阵,35,4.6 态随时间变化的幺正变换,一、变换矩阵,设,则,或,36,二、变换矩阵为幺正矩阵,同理有：,又因,因为,所以,37,4.7 海森伯绘景与薛定谔绘景,一、海森伯绘景与薛定谔绘景,二、两种绘景间的关系,三、海森伯

7、运动方程,38, 4.7 海森伯绘景与薛定谔绘景,一、海森伯绘景与薛定谔绘景,薛定谔绘景 海森伯绘景,波函数 随时间变化 波函数 不随时间变化,力学量 不随时间变化 力学量 随时间变化,39,二、两种绘景间的关系,1.态矢量：,或,2.力学量的期望值,（满足期望值不因表象的不同而不同的要求）,由于,故,40,3力学量算符,哈密顿算符：,41,三、海森伯运动方程,由,对时间求导,海森伯Werner Heisenberg (19011976) 因创建量子力学矩阵理论荣获1932年 诺贝尔物理学奖,42,4.8 狄拉克符号,一、狄拉克符号规定,二、量子力学理论在具体表象中的表示,三、表象变换,狄拉克

8、 Dirac Paul (19021984) 因创建发现原子理论新的有效形式与薛定谔荣获1933年诺贝尔物理学奖,43,4.8 狄拉克符号,采用狄拉克符号表述量子力学理论有两个优点：（1）运算简洁 （2）可毋需具体表象讨论问题。,一、狄拉克符号规定,1.右矢（刃矢 ket）与左矢（刁矢 bra）, 量子态态矢量 右矢,具体的态矢量：, 波函数 描述的状态, 能量的本征态 （本征值为En）, 坐标的本征态 （本征值为x）,44,量子态态矢量 左矢,具体的态矢量：, 左矢与右矢的关系,是 的共轭矢量，即它们在同一表象中的相应分量互为共轭复数,2左矢与右矢的标积,定义：,是 的共轭矢量，即,是 的共

9、轭矢量，即,或,45, 正交归一化条件,分立谱,或,连续谱,如：坐标的本征矢,动量的本征矢,46,二、量子力学理论在具体表象中的表示,1.态矢量的表示,取Q表象：,（1）Q的本征值为分立谱：基矢 或,对任意态矢量,投影算符：,令,47,作用矢量 后得到其在基矢 上的投影，故称为投影算符。, 本征矢的封闭性：,（2）Q的本征值为连续谱：基 或 组成完全系,注：,本征矢的封闭性,48,如：x表象：基,2.力学量算符的表示,设,取Q表象：,49,以 左乘上式 ，再利用,即,分别代表态矢 和 在Q表象中的表示。,50, 设Q具有连续本征值谱 ,基矢,如：x 表象:,设,则,51,3.量子力学公式的表示

10、,（1）薛定谔方程：,取Q表象:设基矢为,以 左乘上式,得,52,取x表象：设基矢为,以 左乘上式，对空间积分,所以,53,（2）本征值方程,取Q表象：设基矢为,即,54,（3）平均值公式,如：x表象：,取Q表象：设基矢为,55,三、表象变换,A表象 B表象,量子态,故,因为,56,即,因为,57,4.9 线性谐振子与占有数表象,一、湮没算符和产生算符,二、线性谐振子,三、占有数表象,58,4.9 线性谐振子与占有数表象,一、湮没算符和产生算符,1.定义,2.性质,（1） 不是厄米算符,（2）,（3）,59,3 ， 的物理含义,由谐振子能量公式,n份 能量,每份 可看作一个粒子，称为准粒子， 表示体系含有n个粒子,根据：,即粒子数由nn-1，减少一个，湮没算符,即粒子数由nn+1，增加一个，产生算符,60,二、线性谐振子,线性谐振子哈密顿量,由,得,61,其中：,粒子数算符,本征值为粒子数n,1. 的本征矢,基态：,即,62,2. 的本征值,(1)能量的下限,若y是能量本征函数，即满足 ，则,（能量的下限）,63,(2)基态能量,由,对任何一个能量本征态矢量 ,有,是 的本征值为 的本征态矢量,又,64,是 的本征值为 的本征态矢量,重复该过程,易知,都是 的本征值。但因为,所以上面数列必终止于某一个最小值E0 ，所以