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1、在线教务辅导网：,教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网,QQ:349134187 或者直接输入下面地址：,第九章 无穷级数,第一节 常数项级数的概念和性质,第二节 正项级数的敛散性判别方法,第三节 任意项级数,第四节 幂级数,第一节 常数项级数,一、常数项级数的概念,二、收敛级数的性质,一、常数项级数的概念,定义1 如果给定一个无穷数列,由数列的每一项构成的表达式,叫做常数项无穷级数,简称常数项级数, 记为,构成的数列称作部分和数列，记为,即,其中,由部分和,如果部分和数列没有极限,则称级数发散.,称为级数的余项。,定义2,其极限s称作级数的和，并记作,当级数收敛时，把,即,证,级数收敛

2、;,例1 讨论常数项级数等比级数(又称几何级数)：,若,若,级数发散;,若,若,随n的取奇、偶数而等于a或0，,级数发散;,级数发散;,例如,收敛,发散。,级数收敛;,级数发散.,所以,部分和为,级数发散.,解,故级数收敛.,例2 证明下面级数：,发散。,证,二、收敛级数的性质,如果级数,收敛于和s, 则它的各项同乘以一个常数k,所得的级数,也收敛,且其和为 ks.,证,注：,的敛散性相同.,与,性质1,例如：级数,因级数 发散，,所以此级数发散.,再如：级数,收敛,此级数收敛。,证,思考,（不定）,（发散）,原级数发散。,例 级数：,去掉前,项得级数,证,级数,（1）,为常数,级数（2）的前

3、n 项和为,所以级数（1）与（2）具有相同的敛散性。,其它情况类似可证。,性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 敛散性不变.,（2）,级数的敛散性与有限项无关。但是，同时收敛,时，收敛和可能不同。,性质3说明：,例如,与,具有相同的敛散性,均收敛。,收敛和不同。,性质4 如果级数,收敛,则对这级数的项任意加括号后,的级数仍收敛, 且其和不变. 形式如下:,所成,设,证,（1）,（2）的前 m 项和相当于（1）的前 n 项和.,（1）若加括号后所得级数发散, 则原级数发散。,（2）收敛级数去掉括号后所得级数未必收敛.,注意,去掉括号后,发散。,（逆否命题）,证,注 如果级数的一般项不趋于零,则该级数必定发散.,例如 级数,其一般项不趋向于0,级数发散.,性质5,一般项趋于零.,则它的,即,(级数收敛的必要条件),再如（1）：,所以此级数发散。,（2）：,所以此级数发散。,（3）：,不存在，,所以此级数发散。, 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件， 即,级数的一般项趋于零,级数仍然可能收敛,也可能发散.,例4 调和级数,是发散的。,证明(反证法)：设,又,与假设矛盾，故调和级数发散。,性质判断级数的敛散性。,掌握常数项级数的有关概念及性质,会运用定义、,一.常

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