第1章 真空中的静电场

1、电磁场,电磁学,研究电磁现象及其运动规律,电磁学,认识物质微观构造和性质的基础和 途径；其它许多学科的基础；,在中学物理基础上，主要从场的观点讨 论电磁运动规律；,要求掌握,电磁学的基本内容和基本方法,电磁学绪论,真空中的静电场 真空中稳恒电流的磁场 介质中的电场和磁场,电磁感应与电磁场,电磁学内容,库仑定律,高斯定理,静电场 电场强度,第一章 真空中的静电场,Electrostatic field,电势 电势能,静电场的环路定理,等势面 电势与电场强度的关系,电荷的基本性质,q= ne (n = 1、 2、) 其中e=1.60210-19C,1 电荷的种类 正电荷 负电荷；同种电荷相斥、异

2、种电荷相吸,2 电荷的量子性 (charge quantization ),电量 带电体所带电荷的量值； SI制单位：库仑（C）,微小粒子带电量的变化 不连续,夸克,1.1 库仑定律,1.1.1 电 荷,3 电荷的守恒,电荷守恒定律,在一个和外界没有电荷交换的系统内，正负 电荷的代数和在任何物理过程中保持不变。,电子对湮灭,电子对产生,重原子核,4 电荷的相对论不变性,一个电荷的电量与它的运动状态无关。,在不同的参考系中观察,同一带电粒子 的电量不变,电荷为Q,电荷为Q,点电荷模型,一、点电荷,线度距离时，带电体可视为带电的“点”,1.1.2 库仑定律与叠加原理,理想模型,二、库仑定律,178

3、5年，法国物理学家库仑（C.A.Coulomb)通过扭秤实验得到,在真空中， 两个静止点电荷之间的相互作用力大小，与它们的电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比；作用力的方向沿着它们的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸,若表示 电荷1受电荷2的电力 表达式仍为,SI制中库仑定律的常用形式,令,有理化,国际单位制中,解,例 在氢原子内,电子和质子的间距为 . 求它们之间电相互作用和万有引力,并比较它们的大小.,（原子中,万有引力比库仑力小得多,可忽略不计.）,三.电力的叠加原理,两个点电荷之间的作用力并不因第三个点电荷的 存在而有所改变。因此，两个以上的点电荷对一 个点电荷的作用力等于各个点

4、电荷单独存在时对 该点电荷的作用力的矢量和。,电力叠加原理,早期：电磁理论是超距作用理论,电场的基本性质： 对放在其内的任何电荷都有作用力 电场具有能量、质量和动量等物质属性，并以有限的速度（C）传播,后来: 法拉第提出近距作用 并提出力线和场的概念,一.电场 (electric field),静电场：相对于观察者为静止的带电体周围所存 在的场.是电磁场的一种特殊形式.,电荷周围存在电场, 1.2 静电场 电场强度,场源电荷,电场强度定义,二.电场强度 (electric field strength),描述电场中各点电场强弱的物理量,线度足够地小场点确定； 电量充分地小不至于使源电荷重新分布

5、。,试验电荷,方向：正电荷受力,大小：单位电荷受力,单位：N/C 、V/m,试验表明：,说 明,1.点电荷的电场强度,三 静止点电荷的电场及其叠加,试验电荷,由库仑定律试验电荷受力,由场强定义,或,球对称性,从源电荷指向场点,场强方向: 正电荷受力方向,方向,2.场强叠加原理 任意带电体的场强,（1）带电体由n个点电荷组成 如图,整理后得,或,（2）任意电荷连续分布的带电体产生的电场,把带电体看作是由许多个电荷元组成，然后利用场强叠加原理。,为电荷元的电量,上述总场强公式是矢量积分式，在具体计算中可利用坐标轴上的分量式求解,例题1,求：电偶极子中垂面上任意点的场强,解,定义：电偶极矩,例1 电

6、偶极子的场 首先看 一对等量异号电荷 相距,一般方法 点电荷场叠加,若从电荷连线的中点向场点P画一位矢,则这一对等量异号电荷 称为电偶极子(electric dipole),电偶极矩 (electric moment), 特殊情况 连线上，正电荷右侧一点 P 的场强,从,出发,由图,（式中 利用二项式展开）,由对称性,例题2,均匀带电细棒，长 L ，电荷线密度 ，求：中垂面上的场强 。,解 ：在细棒上任取电荷元,讨 论,当 L （即：xL）时，可将棒看作“无限长” ；此时，1 2,将,代入上式,当 xL时：,可将棒看作点电荷,一般情况,已知：总电量Q ；半径R 。 求： 均匀带电圆环轴线上的场

7、强。,例题3,R,解：在圆环上任取电荷元,由对称性分析知 垂直x 轴的场强为0,（1）,（点电荷电场强度）,（2）,（3）,解 由例3,（点电荷电场强度）,（1）,（2）, 理想模型 点电荷 电偶极子 无限长带电线 无限大带电面,求：如图所示 点的电场强度,解：在坐标 x 处取一个 电荷元dq,该点电荷在 p 点的场强方向如图所示 大小为, 各电荷元在 p 点的场强方向一致 场强大小直接相加,匀强电场对电偶极子的作用,力偶矩,其矢量式,1.3 高斯定理,1.规定,一、电场线（电力线）： 描述场强分布的一族空间曲线,点电荷的电场线,+ , ,2.几种典型电场的电场线分布图形,电场线图形可通过实验

8、显现出来。如：将针状晶体碎屑撒在绝缘油中使之悬浮，加以外电场后，由于感应而成为电偶极子。在电场力作用下，它们会转到电场方向排列，而显示出电场线的图形。,一对等量异号点电荷的电场线,+ ,一对等量正点电荷的电场线,一对不等量异号点电荷的电场线,带电平行板电容器的电场线,3.静电场的电场线性质: 起自正电荷(或无穷远处)， 止于负电荷(或无穷远处)； (2)不形成闭合回线,也不中断； (3)任何两条电场线不会在无电荷处相交；,上述这些基本性质是由 静电场的基本性质和 场的单值性决定的,二、电场强度通量(电通量),(1) 均匀电场,通过电场中某一个曲面的电场线数叫做通过这个曲面的电场强度通量.,若面

9、积元dS不垂直电场强度，电场强度与电力线条数、面积元的关系怎样？,(3)非均匀电场、任意曲面,通过任意曲面的电通量怎么计算？,把曲面分成许多个面积元 每一面元处视为匀强电场,如图蓝箭头所示,若如红箭头所示则,(4)通过闭合面的电通量,规定： 外法线为面元正方向。即由闭合面内指向面外的方向,电力线穿入 电力线穿出,由,通过闭合面的电通量等于穿出与穿入的电力线的条数的代数和；即净穿出闭合面的电力线的总条数., 电通量的单位（SI制） 伏特米（Vm）, e = 0,e 0, e 0,规定外法线为正向,表示通过闭合面的电通量等于穿出 与穿入的电力线的条数的代数和;即 净穿出闭合面的电力线的总条数.,例

10、1：一个三棱柱放在均匀电场中，E=200 N/C ,沿x方向，求通过此三棱柱体的电场强度通量。,解：三棱柱体的表面为一闭合曲面，由S1、S2、S3、S4、S5 构成，其电场强度通量为：,即：通过闭合曲面的电场强度通量为零。,三、 电场的高斯定理（Gauss theorem）,1. 定理内容,静电场中,通过任何意闭合曲面S 的电通量，等于该曲面所包围的电荷电量的代数和除以真空介电常数e 0。,数学表达式:,库仑定律 + 叠加原理,思路：先证明点电荷的场,再推广至一般电荷分布的场,2.高斯定律的证明,点电荷位于球面中心,在该场中取一包围点电荷q的闭合球面(如图示),通过闭合球面的电通量为,在所设的

11、情况下得证,点电荷在任意封闭曲面内,对任意一个闭合曲面S，只要电荷被包围在S面内，由于电场线是连续的，在没有电荷的地方不中断，因而穿过闭合曲面S与穿过球面S的电场线数目是一样的,都为q/0,在所设的情况下得证,S,点电荷在封闭曲面之外,根据电场线的连续性，由一侧进入S的电场线数一定等于从另一侧穿出的电场线数，所以净穿出S的电场线数为零。故通过S面的电通量为零。即：,通过不包围点电荷的任意 闭合曲面的电通量为零,根据叠加原理可得,通过任意封闭曲面的电通量为,.qN,至此高斯定律就得到了全面的证明！,由多个点电荷产生的电场,即:, 高斯面上的电场强度 是由封闭曲面内和曲面外的全部电荷产生的。, 通

12、过任意闭合曲面的电通量只决定于它所包围的电荷的代数和，闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。但电荷的空间分布会影响闭合面上各点处的场强大小和方向, 若高斯面内的电荷的电量为零，则通过高斯面的电通量为零，但高斯面上各点的电场强度并不一定为零,.qn+2,高斯定理是反映静电场性质（有源性）的一条基本定理；, e = 0,e 0, e 0,高斯定理是在库仑定律的基础上得出的，但它的应用范围 比库仑定律更为广泛. 库仑定律只适用于静电场 高斯定理适用于静电场、变化电场，是电磁理论的基 本方程之一。 对于静止电荷的电场，库仑定律和高斯定律等价。 对于运动电荷的电场，库仑定律不再适用，而高斯定理仍然有效,在点电

13、荷 和 的静电场中，做如下的三个闭合面 求通过各闭合面的电通量 .,将 从 移到,点 电场强度是否变化？ 穿过高斯面 的 有否变化？,四、 利用高斯定理求静电场的分布,常见的具有对称性分布的场源电荷有：,对于具有某种对称性的电场，用高斯定理求场强简便。,例题1 求电量为Q 、半径为R的均匀带电球面的场强分布。,选高斯面,如何理解球面内场强为0 ?,过P点作圆锥 则在球面上截出两电荷元,在P点场强,方向如图,在P点场强,方向如图,说明,例题2 求：电量为Q 、半径为R 的均匀带电球体的场强分布。,解： 选择高斯面同心球面,？,例题3 求：电荷线密度为 的无限长带电直线的场强分布。,解： 选择高斯

14、面同轴柱面,上下底面,侧面 ，且同一柱面上E 大小相等。,例4 无限大均匀带电平面的电场强度,无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电荷面密度为 ，求距平面为 处的电场强度.,(1) 对称性分析,解:,由于电荷分布对于所求场点P到平面的垂线 OP 是对称的，所以 P 点的场强必然垂直于该平面,又因电荷均匀分布在无限大的平面上，所以电场分布对该平面对称。即离平面等远处的场强大小都相等、方向都垂直于平面，,由于圆筒侧面上各点的场强方向垂直于侧面的法线方向，所以电通量为零；又两个底面上场强相等、电通量相等，均为穿出。,选一其轴垂直于带电平面的圆筒式封闭面作为高斯面S，带电平面平分此圆筒，场点P位于

15、它的一个底面上。,(2) 选择高斯面,侧面,底面,且 大小相等；,场强方向垂直于带电平面。,场强方向指离平面;,场强方向指向平面。,场强方向?,讨 论,无限大带电平面的电场叠加问题,当场源是几个具有对称性的带电体时，可用高斯定理分别求各带电体单独存在时的场强，再作矢量叠加。,例题5 求：电荷面密度分别为1 、2 两个平行放置的无限大均匀带电平面的场强分布。,A B C,当 1 = - 2 = ,解：,带电平板电容器间的场强,1.进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）；,2.根据场强分布的特

16、点，作适当的高斯面，要求： 待求场强的场点应在此高斯面上， 穿过该高斯面的电通量容易计算。 一般地，高斯面各面元的法线矢量n与E平行或垂直，n与E平行时，E的大小要求处处相等，使得E能提到积分号外面；,3.计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高斯定理求出场强。,1.4 电 势,一、静电场力所做的功,点电荷的电场,功 保守力 势能,任意带电体的电场（视为点电荷的组合）,根据电场强度叠加原理，任意带电体在某点产生的电场强度，等于各电荷元单独在该点产生的电场强度的矢量和。,实验电荷q0 在电场中从 a 点沿某一路径 L 移动到 b点时,静电场力作的功为：,静电场力所做的功，仅与电荷电量的

17、大小以及移动路径的起点和终点位置有关。与电荷移动的路径无关.,静止点电荷场,保守力场,所有静 电场都是,静电场力 是保守力,二、静电场的环路定理,静电场是保守场,静电场中场强沿任意闭合环路的线积分（称为场强的环流）恒于零,即,静电场的环路定理,例：证明静电场中无电荷区域，凡电力线是平行直线的地方，（既电场强度方向处处相同），电场强度的大小必定处处相等。,证：,1. 以任意一条电力线为轴，作圆柱形高斯面。,侧面,a，b 两个底面,任意一条电力线上电场强度大小相等,2. 选取如图所示的矩形闭合路径ABCD。,即垂直于电场线方向上任意两点的电场强度相等。,以上证明同一电场线上各点电场强度的数值处处相

18、等。,此积分为零,此积分为零,证毕,保守力作功与路径无关，只取决于系统始末位置。,存在由位置决定的函数 WP 势能函数(静电势能),保守力作功以损失势能为代价。,系统相互作用能 电场+ 试验电荷,静电势能是一个相对量，其值与所选择的参考点有关。若选b点为势能零点, 用“0”表示则,静电势能的SI制单位： 焦耳（J）或 电子伏（ eV ） 1eV=1.60810-19J,静电场力所做的功等于电荷电势能增量的负值.,试验电荷 在电场中某点的电势能，在数值上就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功.,三、静电势能、电势和电势差,1.电势能,静电场是保守场，静电场力是保守力.,2.电势（电位）,与

19、试验电荷无关，反映了电场在位置a点的性质,但,式中,物理意义 把单位正试验电荷从点 移到势能零点时，静电场力所作的功.,称 a b两点电势差 （ 或该两点间的电压）,电势差与电势零点的选取无关。,物理意义 把单位正试验电荷从点A处沿任意路径移到点B处时，静电场力所作的功.,电势和电势差具有相同的SI制单位 ：V (伏特),3.电势差(电压),电势的物理意义,1. 电势是表征静电场中给定点电场性质的物理量。,2. 电势是标量。在电势零点选定后，其值唯一地 被确定，且为空间坐标的标量函数，即：,4. 通常理论计算有限带电体电势时选无限远处为参考点。而对无限大（长）的带电体，只能选有限远处为零参考点

20、。实际应用中或研究电路问题时取大地、仪器外壳等为零参考点。,3. 电势零点的选择(参考点)任意，视分析问题方 便而定。参考点不同电势不同，但电势差与参考点无关，是一定值。,b,a,O,4.电势与电场力做功,若电场中电势分布已知，,可方便地计算静电场力做的功,例如: 从a处移到 b处电场力做的功, a b,Q0 0 Aab 0,Q0 0 Aab 0, a b 情况自行讨论,在静电场中释放正电荷向电势低处运动,正电荷受力方向沿电力线方向,结论：电力线指向电势减弱的方向。,讨论：,令,球对称 标量 正负,5.电势的计算,例题1,求：点电荷电场的电势分布,例题2,求：均匀带电球面的电场的电势分布.,P

21、 ,解：已知,设无限远处为“0”电势，则电场中距离球心rP 的 P 点处电势为,P =？,与电量集中在球心的 点电荷的电势分布相同,求：电荷线密度为 的无限长带电直线的电势分布。,解：由,分析 如果仍选择无限远为电势0点，积分将趋于无限大。必须选择某一定点为电势0点通常可选地球。现在选距离线 a 米的P0点为电势0点。,例题3,点电荷电场的电势,点电荷系P = ？,根据定义,分立的点电荷系,连续分布的带电体系,6. 电势叠加原理,例题1,均匀带电细棒，长 L ，电荷线密度 ， 求：沿线、距离一端 x0 米处的电势。,解：,例题2,已知：总电量q ；半径R 。 求： 均匀带电圆环轴线上的电势分布

22、,解：,已知：总电量q ；半径R 。求： 均匀带电圆盘轴线上的电势分布。,当x R,x = 0,例题3,例4 平行板电容器两板间的电势差,解： 平行板电容器内部的场强为,两板间的电势差,例2 计算电偶极子场中任一点 P 的电势,当 可做如下近似：,利用,若已知在积分路径上 的函数表达式， 则,（利用了点电荷电势 ，这一结果已选无限远处为电势零点，即使用此公式的前提条件为有限大带电体且选无限远处为电势零点.）,空间电势相等的点连接起来所形成的面称为等势面. 为了描述空间电势的分布，规定任意两相邻等势面间的电势差相等. (等势面的疏密反映了场的强弱),7.等势面,特点,（1）在静电场中，电荷沿等势

23、面移动， 电场力不作功 。,P1,P2,（2）在静电场中，电场强度 总是与等势面垂直的， 即电场线是和等势面正交 的曲线簇.,计算电势的方法,1、点电荷场的电势及叠加原理,小 结,计算场强的方法,1、点电荷场的场强及叠加原理,？,2、根据电势的定义,2、是否可,（分立）,（连续）,（分立）,（连续）,电场中某一点的电场强度沿某一方向的分量，等于这一点的电势沿该方向的空间变化率的负值.,沿 方向电势增量,8. 电势梯度,A、B相距很近;可认为E是不变的。则将单位正电荷由A移到B ，电场力做的功为,由,式中 的方向通常规定由低电势指向高电势,电势梯度是矢量，其方向是该点附近电势升高最快的方向。,

24、电场中某点的场强决定于电势在该点的空间变化率, 而与该点的电势值本身无直接关系,例题7,已知：总电量Q ；半径R 。 求： 均匀带电圆环轴线上的电势,解：,与场强。,2、可有,计算电势的方法,1、点电荷场的电势及叠加原理,小 结,计算场强的方法,1、点电荷场的场强及叠加原理,2、根据电势的定义,（分立）,（连续）,（分立）,（连续）,典型电场的电势,典型电场的场强,均匀带电球面,球面内,球面外,均匀带电无限长直线,均匀带电无限大平面,均匀带电球面,均匀带电无限长直线,均匀带电无限大平面,方向垂直于直线,方向垂直于平面,下例说法对否？ 举例说明。,（1）场强相等的区域，电势处处相等？,（2）场强为零处，电势一定为零？,（3）电势为零处，场强一定为零？,（4）场强大处，电势一定高？,1. 两个物理量,2. 两个基本方程,3. 两种计算思路,真空中静电场小结,4. 强调两句话 注重典型场 注重叠加原理,点电荷 均匀带电球面 无限长的带电线 (柱) 无限大的带电面