高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系课件(理).ppt

1、第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系,【知识梳理】 1.直线与圆的位置关系与判断方法 (1)几何法:利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系. _直线与圆相交; _直线与圆相切; _直线与圆相离.,dr,d=r,dr,(2)代数法:联立方程,消去x(或y)得一元二次方程, 计算=b2-4ac. 0直线与圆_; =0直线与圆_; 0直线与圆_.,相交,相切,相离,2.圆与圆的位置关系 设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r10), 圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r20).,dr1+r2,无,d=r1+r2,一组,|r1-r2|dr1+r2,两组不同的,|r1-r2|

2、,3.两圆公切线的条数,0,1,2,3,4,4.直线与圆相交弦长公式,【特别提醒】 1.两圆公共弦、公切线方程 当两圆相交(切)时,两圆方程(x2,y2项系数相同)相 减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程. 2.过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上一点(x0,y0)的切线方程 为:x0 x+y0y+D,【小题快练】 链接教材练一练 1.(必修2P133A组T9改编)圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦所在的直线方程为_.,【解析】由 得4x-4y+8=0, 即x-y+2=0. 答案:x-y+2=0,2.(必修2P132A组T5改编)直线l:3x-y-6=0与圆x2

3、+y2- 2x-4y=0相交于A,B两点,则|AB|=_. 【解析】由x2+y2-2x-4y=0,得(x-1)2+(y-2)2=5, 所以该圆的圆心坐标为(1,2),半径r= 又圆心(1,2)到直线3x-y-6=0的距离为d=,由( )2=r2-d2,得 |AB|2=4(5- )=10,即|AB|= 答案:,感悟考题试一试 3.(2015重庆高考)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为_.,【解析】点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,所以 半径为r= 圆的方程为x2+y2=5,在点P处的切线上任取一点Q(x,y), 则PQOP.,因为 =(x-1,y-2),

4、=(1,2), 所以 =x-1+2(y-2)=0,即x+2y-5=0, 即该圆在点P处的切线方程为x+2y-5=0. 答案:x+2y-5=0,4.(2015湖南高考)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2 (r0)相交于A,B两点,且AOB=120(O为坐标原点),则r=_.,【解析】如图,直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r0)交于 A,B两点,O为坐标原点,且AOB=120,则圆心(0,0)到 直线3x-4y+5=0的距离为 r,即 所以r=2. 答案:2,5.(2016武汉模拟)已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆 x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且ACB

5、C,则实数a的 值为_. 【解析】由x2+y2+2x-4y-4=0得(x+1)2+(y-2)2=9, 所以圆C的圆心坐标为C(-1,2),半径为3, 由ACBC可知ABC是直角边长为3的等腰直角三角形,故可得圆心C到直线x-y+a=0的距离为 由点到直线的距离公式可得 解得a=0或a=6. 答案:0或6,考向一与圆的切线有关的问题 【典例1】(1)(2015山东高考)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为(),(2)已知圆C经过A(5,2),B(3- ,2- ),且圆心C在 直线x=3上. 求圆C的方程; 求过点D(0,1

6、)且与圆C相切的两条切线方程.,【解题导引】(1)由圆心到切线的距离等于半径列方程求斜率. (2)可依据题设条件,设圆的标准方程,利用待定系数法,求解圆的方程;可利用圆的切线方程与圆的方程联立,消元后得到一元二次方程,令其判别式等于零,即可求出切线方程.,【规范解答】(1)选D.反射光线过点(2,-3),设反射光 线所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0,反射 光线与圆相切,圆心(-3,2)到直线的距离等于半径1, 即 解得,(2)因为圆心C在直线x=3上, 所以设圆C的方程为(x-3)2+(y-b)2=r2. 因为圆C经过A(5,2),B( ), 所以 解方程组得 所以

7、圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=4.,当斜率不存在时,不存在经过D(0,1)的切线; 当斜率存在时,设切线的斜率为k,则切线方程为y=kx+1. 解方程组 得(x-3)2+(kx-1)2=4, 即(k2+1)x2-2(k+3)x+6=0.,因为方程有唯一一个解, 所以=4(k+3)2-46(k2+1)=0, 所以5k2-6k-3=0, 所以解方程得k= 所以切线方程为y=,【一题多解】解答本例(2),你知道几种解法? 解答本例,还有以下解法: 因为圆C经过A(5,2),B( ), 所以圆心C在AB的垂直平分线l上, 且AB的中点坐标D,因为kAB= 所以kl=-( +1). 所以直线l

8、方程为 因为圆心C在直线x=3上, 所以,所以y= 所以圆心C(3,2), 因为半径r= 所以圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=4.,当斜率不存在时,不存在经过D(0,1)的切线; 当斜率存在时,设切线的斜率为k, 则切线方程为y=kx+1. 因为直线与圆相切, 所以圆心C(3,2)到直线kx-y+1=0的距离等于圆的半径,所以d=r= 所以 所以4k2+4=9k2-6k+1, 所以5k2-6k-3=0, 所以解方程得k= 所以切线方程为y=,【规律方法】圆的切线方程的求法 (1)代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式

9、=0进而求得k.,(2)几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,进而求出k. 提醒:若点M(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过M点的圆的切线方程为x0 x+y0y=r2.,【变式训练】1.若直线l:y=kx+1(k0)与圆C:x2+4x+y2- 2y+3=0相切,则直线l与圆D:(x-2)2+y2=3的位置关系是 () A.相交B.相切 C.相离D.不确定,【解题指南】先由直线与圆相切求出k值,然后再判断直线与另一个圆的位置关系.,【解析】选A.因为圆C的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=2, 所以其圆心坐标为(-2

10、,1),半径为 因为直线l与圆C相切. 所以 解得k=1,因为k0,所以k=-1, 所以直线l的方程为x+y-1=0.圆心D(2,0)到直线l的距离 所以直线l与圆D相交.,2.已知圆O:x2+y2=5和点A(1,2),则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于_.,【解析】因为点A(1,2)在圆x2+y2=5上, 故过点A的圆的切线方程为x+2y=5, 令x=0,得y= 令y=0,得x=5, 故S= 答案:,【加固训练】 1.圆(x-1)2+(y+2)2=6与直线2x+y-5=0的位置关系是 () A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.相交过圆心 D.相离,【解析】选B.由题意

11、知圆心(1,-2)到直线2x+y-5=0的 距离d= 且21+(-2)-50,所以直 线与圆相交但不过圆心.,2.在直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆与直线x- -4=0相切,则圆O的方程为() A.x2+y2=4B.x2+y2=3 C.x2+y2=2D.x2+y2=1 【解析】选A.依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x- -4=0的距离,即r= =2,得圆O的方程为x2+y2=4.,3.已知集合A=(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=1,B= (x,y)|x,y为实数,且x+y=1,则AB的元素个数 为() A.4B.3C.2D.1,【解析】选C.方法一:(直接法)集合A表示圆,集

12、合B表 示一条直线,又圆心(0,0)到直线x+y=1的距离d= 1=r,所以直线与圆相交. 方法二:(数形结合法)画图可得.,4.过点P(4,1)作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为() A.3x-y-4=0B.3x+y-4=0 C.4x-y-4=0D.4x+y-4=0,【解析】选B.如图所示,A点的坐标为(1,1), 因为ABPC,kPC= 所以kAB=-3, 所以直线AB的方程为y-1=-3(x-1), 即3x+y-4=0.,考向二圆与圆的位置关系 【典例2】已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2: x2+y2+2x-2my+m

13、2-3=0,m为何值时, (1)圆C1与圆C2外切. (2)圆C1与圆C2内含.,【解题导引】可由两圆的位置关系与两圆的圆心距、半径和、半径差的绝对值之间的关系求解.,【规范解答】对于圆C1与圆C2的方程,经配方后得 C1:(x-m)2+(y+2)2=9;C2:(x+1)2+(y-m)2=4. (1)如果C1与C2外切,则有 (m+1)2+(-2-m)2=25. m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2. 所以当m=-5或m=2时,圆C1与圆C2外切.,(2)如果圆C1与圆C2内含,则有 (m+1)2+(-2-m)21,m2+3m+20, 解得-2m-1, 所以当-2m-1时,圆C1与圆C2

14、内含.,【母题变式】1.在本例条件下,若两圆内切,求m的值. 【解析】由已知得 化简得m2+3m+2=0,解得m=-1或m=-2, 所以当m=-1或m=-2时,圆C1与圆C2内切.,2.在本例条件下,若两圆相交,求公共弦所在的直线方程. 【解析】圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0, 圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0, 由-得2x+2mx-2my-4y+2=0, 所以(m+1)x-(m+2)y+1=0.,【易错警示】解答本题会出现以下错误: 在利用两圆圆心距与两圆半径和、差的绝对值之间的关系时,这几种关系易混淆,从而导致结果错误.,【规律方法】 1.判断两圆位置关系的方

15、法 常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系,一般不用代数法.,2.两圆公共弦长的求法 两圆公共弦长,在其中一圆中,由弦心距d,半弦长 半径r所在线段构成直角三角形,利用勾股定理求解.,【变式训练】(2016郑州模拟)若O1:x2+y2=5与O2:(x+m)2+y2=20(mR)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是_.,【解析】由两圆在点A处的切线互相垂直,可知两切线 分别过另一圆的圆心,即AO1AO2,在直角三角形AO1O2 中, =m2,所以m=5,|AB|=2 =4. 答案:4,【加固训练】 1.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y

16、2-4y=0的位置关系是 () A.相离B.相交C.外切D.内切,【解析】选B.圆O1的圆心坐标为(1,0),半径为r1=1, 圆O2的圆心坐标为(0,2),半径r2=2,故两圆的圆心距 |O1O2|= 而r2-r1=1,r1+r2=3,则有r2-r1|O1O2| r1+r2,故两圆相交.,2.(2016长沙模拟)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x- 8y+m=0外切,则m=() A.21B.19C.9D.-11 【解析】选C.圆C2的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25-m. 又圆C1:x2+y2=1,所以|C1C2|=5.又因为两圆外切,所以 5=1+ 解得m=9.,

17、3.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a0)的公共弦长 为 则a=_. 【解析】方程x2+y2+2ay-6=0与x2+y2=4. 两式相减得:2ay=2,则y= 由已知条件 即a=1. 答案:1,考向三直线与圆的综合问题 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:直线与圆的位置关系的最值(范围)、弦长 问题 【典例3】(1)(2016承德模拟)若a2+b2=2c2(c0),则 直线ax+by+c=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为(),(2)(2016长沙模拟)在平面直角坐标系中,点A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值

18、为(),【解题导引】(1)先求圆心到直线的距离,再利用弦长公式求弦长.(2)依据题设条件,当点O、圆心、切点三点共线时,圆的半径最小,即圆的面积最小.,【规范解答】(1)选D.因为圆心(0,0)到直线ax+by+c=0 的距离d= 因此根据直角三角形的 关系,弦长的一半就等于 所以弦长为,(2)选A.因为AOB=90,所以点O在圆C上. 设直线2x+y-4=0与圆C相切于点D,则圆心C与点O间的 距离等于它到直线2x+y-4=0的距离, 所以当且仅当O,C,D共线时,圆的直径最小为|OD|.,又|OD|= 所以圆C的最小半径为 所以圆C面积的最小值为,命题方向2:由直线与圆的位置关系确定直线(

19、或圆)的 方程问题 【典例4】(2015武汉模拟)已知圆的方程是x2+y2=1, 则在y轴上截距为 的切线方程为(),【解题导引】可设直线方程的斜截式,利用直线与圆相 切可求k的值. 【规范解答】选C.在y轴上截距为 且斜率不存在的 直线显然不是切线,故设切线方程为y=kx+ 则 =1,所以k=1,故所求切线方程为y=x+ 或y= -x+,【技法感悟】 1.求直线被圆截得的弦长的常用方法 在由弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成的直角三角形中利用勾股定理计算.,2.由直线与圆的位置关系确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上. (2)圆心在任一

20、弦的中垂线上. (3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.,【题组通关】 1.(2016厦门模拟)已知直线3x+4y-15=0与圆O: x2+y2=25交于A,B两点,点C在圆O上,且SABC=8,则满足条件的点C的个数为() A.1个B.2个C.3个D.4个,【解析】选C.圆心O到已知直线的距离为d= 因此|AB|= 设点C到直线AB的距离为h, 则SABC= 8h=8,h=2, 由于d+h=3+2=5=r(圆的半径),因此与直线AB距离为2的两条直线中一条与圆相切, 一条与圆相交,故符合条件的点C有三个.,2.(2016长春模拟)设集合A=(x,y)|y= , B=(x,y)|y=k(x-b)+1,若对任意0k1都有AB ,则实数b的取值范围是(),【解析】选C.集合A表示圆O:x2+y2=4的上半圆. 如图所示,集合B是一条直线,过y=1上的一点,利用斜 率为k的临界条件k=1.要想使AB,只需直线在与 圆相切和过(2,0)之间,这时可求出b1- ,3.,3.(2016阜新模拟)过点(1, )的直线l将圆 (x-2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小 时,直线l的斜率k=_.,【解析】因为(1-2)2+( )2=34, 所以点(1, )