高考数学 6.2 一元二次不等式及其解法课件.ppt

1、第二节 一元二次不等式及其解法,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣填一填 (1)一元二次不等式的特征: 一元二次不等式的二次项(最高次项)系数_0.,不等于,(2)一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系:,x|xx2,x|xx1,x|x1xx2,在不等式ax2+bx+c0(a0)中,如果二次项系数a0,则可根据不等式的性质,将其转化为正数,再对照上表求解.,(3)用程序框图表示一元 二次不等式ax2+bx+c0 (a0)的求解过程,0?,(-,x2)(x1,+),R,2.必备结论 教材提炼记一记 (x-a)(x-b)0或(x-a)(x-b)0型不等式解法,x|xa,x|xa,x|

2、axb,3.必用技法 核心总结看一看 (1)常用方法:配方法,因式分解. (2)数学思想:数形结合思想. (3)记忆口诀:一元二次不等式解集口诀. 大于取两边,小于取中间,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考判一判 (1)若不等式ax2+bx+c0.() (2)若不等式ax2+bx+c0的解集是(-,x1)(x2,+),则方程ax2+bx+ c=0的两个根是x1和x2.() (3)若方程ax2+bx+c=0(a0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c0的解集 为R.() (4)不等式ax2+bx+c0在R上恒成立的条件是a0且=b2-4ac0.(),【解析】(1)正确.由不等式ax2+bx+c

3、0. (2)正确.由一元二次不等式的解集与相应方程的根的关系可知结论是正确的. (3)错误.只有当a0时才成立,当a0的解集为空集. (4)错误.还要考虑a=0的情况,不等式ax2+bx+c0在R上恒成立的条件是a=0,b=0,c0或a0且=b2-4ac0. 答案:(1)(2)(3)(4),2.教材改编 链接教材练一练 (1)(必修5P80习题3.2A组T1(3)改编)不等式x2-3x-100的解集是 () A.(-2,5) B.(5,+) C.(-,-2) D.(-,-2)(5,+) 【解析】选D.x2-3x-10=(x-5)(x+2)0, 所以x5或x-2. 故原不等式的解集为(-,-2)

4、(5,+).,(2)(必修5P81习题3.2B组T2改编)关于x的一元二次方程mx2(1m)x +m=0没有实数根，则m的取值范围是_. 【解析】若方程mx2(1m)x+m=0没有实数根， 则 解得m1或 答案：(,1),3.真题小试 感悟考题试一试 (1)(2014大纲版全国卷)设集合M=x|x2-3x-40,N=x|0 x5,则MN=() A.(0,4 B.0,4) C.-1,0) D.(-1,0 【解析】选B.因为M=x|-1x4,N=x|0 x5, 所以MN=x|0 x4.,(2)(2013重庆高考)关于x的不等式x2-2ax-8a20)的解集为 (x1，x2)，且x2-x1=15，则

5、a=( ) 【解析】选A.由题意知, 不等式x2-2ax-8a20)的解集为(2a, 4a),因为x2-x1=15,所以4a(2a)=15,解得,(3)(2014浙江高考)设函数 若f(f(a)2,则实数a的取值范围是_. 【解析】由题意 或 解得f(a)2，所以 或 解得 答案：,考点1 一元二次不等式的解法 【典例1】(1)(2015珠海模拟)不等式-2x2+x+30的解集是( ) (2)解关于x的不等式:ax2(a1)x10.,【解题提示】(1)把不等式化简变形，确定相应方程的两个根，然后根据二次函数的性质得到不等式的解集. (2)先求a0时不等式的解集，再分a0和a0两种情况求解,【规

6、范解答】(1)选D.不等式-2x2+x+30可化为 2x2-x-30， 即(2x-3)(x+1)0, 解得x-1，或 所以不等式的解集是 (2)当a0时，原不等式可化为x11. 当a1或,当a0时，原不等式可化为 若01，则 所以 综上知，当a1； 当0a1时，不等式的解集为,当a1时，不等式的解集为； 当a1时，不等式的解集为,【互动探究】本例(2)的不等式改为x2-(a+1)x+a1时,解集为x|11时,解集为x|1xa; 当a=1时,解集为, 当a1时,解集为x|ax1.,【规律方法】解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)二次项系数若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等

7、式转化为二次项系数为正的形式. (2)判断方程的根的个数,讨论判别式与0的关系. (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.,【变式训练】解关于x的不等式 x22ax30(aR). 【解析】4a2124(a23) 当0，即 时，方程x22ax30无解或有两个 相等的根，从而不等式的解集为R. 当0，即 时，方程x22ax30的两根为 且x1x2. 所以,综上知，当 时，不等式的解集为x|x 或x ; 当 时，不等式的解集为R.,【加固训练】设二次不等式ax2bx10的解集为 则ab的值为( ) A.6 B.5 C.6 D.5 【解析】选C.由题

8、意知，方程ax2bx10的两根为1， 则有 解得 所以ab6，故选C.,考点2 一元二次不等式恒成立问题 知考情 一元二次不等式的恒成立问题以及三个“二次”间的联系及综合应用是高考的热点,而且常与函数、导数等知识交汇命题,考查应用分类讨论、数形结合、转化思想解决问题的能力.,明角度 命题角度1:形如f(x)0(f(x)0)(xR)求参数的取值范围 【典例2】(2013重庆高考)设0,不等式8x2-(8sin)x+ cos 20对xR恒成立,则的取值范围为. 【解题提示】因为不等式恒成立,所以判别式小于等于零,直接求解即可.,【规范解答】因为不等式8x2-(8sin)x+cos20对xR恒成立,

9、 所以=64sin2-32cos20,即64sin2-32+64sin20, 解得0sin (0). 因为0,所以 答案:,命题角度2:形如f(x)0(参数ka,b)求x的取值范围 【典例3】(2015兰州模拟)对任意的k-1,1,函数f(x)=x2+ (k-4)x+4-2k的值恒大于零,则x的取值范围是. 【解题提示】把二次函数的恒成立问题转化为y=k(x-2)+x2-4x+40在k-1,1上恒成立,再利用一次函数函数值恒大于0所满足的条件即可求出x的取值范围.,【规范解答】因为任意k-1,1,函数f(x)=x2+(k-4)x-2k+40 恒成立, 所以f(k)=k(x-2)+x2-4x+4

10、0为一次函数, 所以 所以 解得x3, 所以x的取值范围为(-,1)(3,+). 答案:(-,1)(3,+),【易错警示】解答本题易出现以下两种错误: (1)不会合理分析已知条件,这样无法转化成关于k的一次函数,而导致题目无法求解. (2)解关于x的二次不等式组,确定解集出现1x3等错误.,命题角度3:形如f(x)0(xa,b)求参数范围 【典例4】(2015兰州模拟)对任意x-1,1,函数f(x)= x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,求k的取值范围. 【解题提示】表示出对称轴,然后根据区间分类讨论求解.,【规范解答】函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的对称轴为 当 即k6时,

11、f(x)的值恒大于零等价于f(-1)=1+(k-4) (-1)+4-2k0，解得k3，故k; 当 即2k6时, 只要 即k20，故k.,当 即k2时,只要f(1)=1+(k-4)+4-2k0即k1， 故有k1, 综上可知,当k1时，对任意x-1,1， 函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零.,悟技法 解不等式恒成立问题的技巧 (1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是

12、参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.,通一类 1.(2015武汉模拟)一元二次不等式 对一切实数x都成立，则k的取值范围是( ) A.(-3，0) B.(-3，0 C.-3，0 D.(-，-3)0，+),【解析】选A.由一元二次不等式 对一切实数x都成 立，则 解得-3k0 综上，满足一元二次不等式 对一切实数x都成立的 k的取值范围是(-3，0).,2.(2015济宁模拟)在R上定义运算:xy=x(2-y),若不等式(x+m)x0, 因为对任意的实数x不等式都成立, 所以其对应的一元二次方程:x2+(m-2)x+(1-2m)=0的根的判别式=(m-2)2-4(1-

13、2m)0,解得:-4m0. 答案:(-4,0),3.(2015银川模拟)已知不等式x2-2x+a0对任意实数x2,3恒成立,则实数a的取值范围为. 【解析】令f(x)=x2-2x+a=(x-1)2+a-1,所以f(x)在区间(1,+)上单调递增, 又不等式x2-2x+a0对任意实数x2,3恒成立, 所以f(2)0恒成立,即4-4+a0,解得a0. 故实数a的取值范围是a0. 答案:a0,4.(2015洛阳模拟)若已知不等式2x-1m(x2-1)对满足|m|2的一切 实数m的取值都成立,则x的取值范围为. 【解析】构造变量m的函数求解:2x-1m(x2-1)即:(x2-1)m-(2x-1)0 构

14、造关于m的函数f(m)=(x2-1)m-(2x-1),|m|2即-2m2. (1)当x2-10时，则f(2)0,从而2x2-2x-10解得: 又x2-10，即x-1或x1，所以,(2)当x2-10时,则f(-2)0可得-2x2-2x+30,从而2x2+2x-30, 解得 又-1x1，从而 (3)当x2-1=0时,则f(m)=1-2x0，从而 故x=1; 综上有: 答案：,考点3 一元二次不等式的实际应用 【典例5】(2015威海模拟)行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用, 要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离在某种 路面上，某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速v(km/h)

15、满足下 列关系： (n为常数，且nN)，做了两次刹车试验，有关 试验数据如图所示，其中,(1)求n的值. (2)要使刹车距离不超过12.6m,则行驶的最大速度是多少? 【解题提示】(1)由图象信息,将v=40,v=70代入求s1,s2,得关于n的不等式组. (2)解关于v的不等式,求最大值.,【规范解答】(1)由试验数据知， 所以 解之得 又nN，所以取n6.,(2)由(1)知， 依题意， 即v224v5 0400，解之得84v60. 注意到v0，所以0v60. 故行驶的最大速度为60 km/h.,【规律方法】不等式实际应用的解题思路 不等式的实际应用,常以函数模型为载体,解题时要理解题意,准

16、确找出其中的不等关系,引进数学符号恰当表示,最后用不等式的解集回答实际问题.,【变式训练】某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为12万元/辆,年销售量为10000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1),则出厂价相应地提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x,已知年利润=(出厂价-投入成本)年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式. (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x应在什么范围内?,【解析】(1)由题意得y=12(1+0.75x)-1

17、0(1+x)10000 (1+0.6x)(0x1),整理得y=-6000 x2+2000 x+20000(0x1). (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有 即 解得 所以投入成本增加的比例应在 范围内,【加固训练】(2015淄博模拟)某公司按现有能力,每月收入为70万元,公司分析部门测算,若不进行改革,因竞争加剧收入将逐月减少.分析测算得从2014年开始第一个月收入将减少3万元,以后逐月多减少2万元,如果进行改革,即投入技术改造300万元,且2014年后每月再投入1万元进行员工培训,则测算得自2014年后第一个月起累计收入Tn与时间n(以月为单位)的关系为Tn=an+b,且201

18、4年第一个月时收入将为90万元,第二个月时累计收入为170万元,问2014年后经过几个月,该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入.,【解析】2014年改革后经过n个月的纯收入为(Tn-300-n)万元,公司若不进行改革,由题设知2014年后因竞争加剧收入将逐月减少. 分析测算得2014年第一个月收入将减少3万元,以后逐月多减少2万元.所以不改革,第一个月:70-3-2(1-1), 第二个月:70-3-2(2-1), 第三个月:70-3-2(3-1), 第n个月:70-3-2(n-1),所以不改革时的纯收入为： 万元， 由题设知 所以 由题意建立不等式：80n+10-300-n70n-3n-(n-1)n, 整理，得n2+11n-2900,得n12.4, 因为nN，故取n=13. 答：经过13个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入.,自我纠错14 解一元二次不等式 【典例】已知不等式ax2+bx+c0的解集为 则不等式 cx2+bx+a0的解集为_.,【解题过程】,【错解分析】分析上面解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：忽视了对a,b,c符号的