经济应用数学2极限的概念22

1、经济应用数学,第二讲 极限的概念,本讲要点： 理解数列和函数极限的概念 会判断一些简单数列和函数的极限 掌握简单的极限运算,数列的极限,设有半径为R的圆,作内接正六边形, 面积记为S1,再作内接正十二边形, 面积记为S2,得到一系列内接正多边形的面积：,S1, S2, S3, , Sn, ,当n无限增大时, 正多边形的面积无限接近于圆的面.,积.,1,观察思考：下列数列的变化趋势,即数列,即数列,即数列,数列的定义：自变量为正整数的函数,其函数值按自变量n由小到大的顺序排成,一列数,即为数列，简记,如果数列没有极限，就说数列是发散的。,其中，数列中每一个数叫做数列的项，第n项叫做数列的通项或一

2、般项。,问 题,判断下列数列的极限,函数的极限,对于一般的函数 y = f (x), 如果让自变量连续变化, 得到函数的极限有下列两种情形. (1)自变量趋于无穷大时函数的极限； (2)自变量趋于某个确定值时函数的极限.,自变量趋于无穷大时函数的极限,例子：考察函数,当 时, f (x)无限接近1,定义：对于函数 ,若 时， 无限趋近于某个常数 ，则称 是当 时， 的极限，记作 .,例 子,例如：,考虑当,三种情况的极限。,定理1,例1 讨论极限：,例2 求极限,自变量趋向确定值时函数的极限,先看一个例子,这个函数虽在x=1处无定义，但从它的图形上可见，当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时，

3、f(x)的值无限地接近于2，我们称常数2为f(x)当x1 时f(x)的极限。,定义：对于函数 在点 的附近（点 本身可以除外）内有定义 ,若 时（ 但 时 ）， 无限趋近于某个常数 ，称 是当 时， 的极限，记作 .,例如：,单侧极限,定义：对于函数 在点 右侧附近（点 本身可以除外）有定义 ,若 趋于 时,函数 趋于一个常数 ，则称当 x 趋于 时， 的右极限是 右极限 记作 同理 左极限,例题答案：,例题：,以及相应左极限。,函数极限的存在定理,函数极限存在的充分必要条件是左极限与右极限都存在，并且相等，即,常常用于对分段函数的分段点处极限存在否进行判断,思考题,思考题解答,左极限存在,右

4、极限存在,不存在.,注意:,(i) 无穷小是函数。不可把无穷小与很小的数或绝对值很小很小的数混为一谈。零是可以作为无穷小的唯一的数。,(ii) 一个函数是否为无穷小与自变量的趋限过程有关。,(iii) 无穷小量的定义对数列也适用,3 无穷小和无穷大,一、无穷小量-绝对值无限变小的函数,若 则称函数 为（相应趋限过程下的）无穷小（量）。,定义1,定理1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小。,定理2 有界函数与无穷小的积仍是无穷小。,推论1 常数与无穷小的积仍是无穷小。,推论2 有限个无穷小的积仍是无穷小。,2、性质,思考 无限个无穷小的和（积）可能不再是无穷小。,解：,例4,当 时，函数 是无穷小，,而 是有界函数，,根据定理 2 可得，,求极限,二、无穷大量-绝对值无限变大的函数,若 则称函数 为（相应趋限过程下的）无穷大（量）。 注意同无穷小类比,定义2,小 结,本次课主要讨论了数列极限和函数极限的基本概念，以及无穷量的性质.尤其是函数的极限，一定要注意其包含了两个方面的极限,即左极限和右极限.请同学们预习1.