西交工程力学06空间力系和重心.ppt

1、上节课内容回顾：,摩擦的概念（滑动摩擦、滚动摩擦）；,考虑摩擦的平衡问题分析。,平面静定桁架的内力确定（节点法，截面法）,第6章 空间力系和重心,主要研究内容：空间力系的简化、平衡问题 重心和形心位置的确定,包括的章节： 6-1 空间汇交力系的合成与平衡 6-2 力对点之矩与力对轴之矩 6-3 空间力偶系的合成与平衡 6-4 空间任意力系的简化 6-5 空间任意力系的平衡 6-6 重心和形心的坐标公式 6-7 确定重心和形心位置的具体方法 6-8 惯性矩、极惯性矩、平行移轴定理,空间力系：各力的作用线不在同一平面内的力系。,6-1 空间汇交力系的合成与平衡,1、力在直角坐标上的投影：,2、空间

2、汇交力系的合成：,6-1 空间汇交力系的合成与平衡,空间力多边形,（1）几何法,（2）解析法,空间力系的合力投影定理：合力在某一轴上的投影，等于力系中所有各力在同一轴上投影的代数和。,3、空间汇交力系的平衡条件：,空间力多边形自行封闭,该力系中各分力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零！,6-1 空间汇交力系的合成与平衡,（1）几何法,（2）解析法,三个独立的平衡方程，可以求解三个未知量！,6-1 空间汇交力系的合成与平衡,例6-1 P=1000N，O为球铰，各杆重不计，求三根杆所受力。,解：,2）列平衡方程,解得:,（拉）,1）取球铰O，画受力图,解得:,（压）,解得:,6-2 力对点之矩

3、与力对轴之矩,在空间上，力F 对点 O 之矩为矢径 r 与力矢 F 的叉积。,力矩为矢量，方向满足右手螺旋法则。,力矩的大小为：,1、力对点之矩：,度量一个力使物体绕某点转动的作用。,2、力对轴之矩：,力对 z 轴之矩等于此力在垂直于该轴的平面上的投影Fxy对该轴与此平面交点之矩。,式中： x, y, z 力F 作用点的坐标； Fx, Fy, Fz 力F 沿三轴的投影。,6-2 力对点之矩与力对轴之矩,度量一个力使物体绕某轴转动的作用。,正负号规定：轴正向看，逆时针转动趋势为正，反之为负。,3、力对点之矩的矢量表达式,力对轴之矩等于力对点O 之矩矢量在相应轴上的投影。,6-2 力对点之矩与力对

4、轴之矩,例6-2 受力情况如图所示。求F力对 x，y，z 轴的矩。,解法1：,6-2 力对点之矩与力对轴之矩,例6-2 受力情况如图所示。求F力对 x，y，z 轴的矩。,解法2：,6-2 力对点之矩与力对轴之矩,在空间力偶系的情况下，力偶矩需要用一个矢量（力偶矩矢M ）表示，M 的长度表示力偶矩的大小（ = d ）；M 的方位与力偶 作用面的法线一致；力偶矩矢的指向与力偶的转向服从右手螺旋法则。,6-3 空间力偶系的合成与平衡,1、空间力偶系：,力偶矩矢 M 与矩心 O 的位置无关，因此 M 是一个自由矢量。,2、力偶的等效定理：,（2）不同平面内两力偶的等效条件是：力偶作用面平行（即作用面方

5、位相同）、力偶矩大小相等以及力偶转向相同。,（1）同一平面内两力偶的等效条件是：力偶矩大小相等，转向相同;,各力偶作用面不在同一平面的力偶系。,平面力偶系的合成：合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。,平面力偶系的平衡：所以力偶矩的代数和等于零。,空间力偶系的合成：矢量和,空间力偶系的平衡：合力偶矩矢量等于零。,6-3 空间力偶系的合成与平衡,投影形式：,即力偶系中所有各力偶矩矢在空间三个坐标轴上的投影的代数和都等于零！上式为空间力偶系的平衡方程。,3、空间力偶系的合成和平衡,6-3 空间力偶系的合成与平衡,例6-3 在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削力偶矩均为80Nm，求：工件所受力偶在坐

6、标轴上的投影。,解：,将力偶用力偶矩矢表示，平移到A点。,力偶矩矢在坐标轴上的投影：,1、空间任意力系向一点简化,O,空间任意力系向任一点O 简化，可得一力和一力偶； 该力称为力系的主矢量，简称主矢，是力系中各力的矢量和，作用线通过简化中心O； 该力偶称为力系的主矩，是力系中各力对简化中心O之矩的矢量和； 主矢与简化中心的位置无关，主矩一般与简化中心的位置相关。,6-4 空间任意力系的简化,任一空间力系向一点简化,3 、空间力系合力矩定理,6-4 空间任意力系的简化,2 、空间任意力系简化结果,平面：合力对某点的矩等于分力对该点之矩的代数和； 空间：合力对某点的矩等于分力对该点之矩的矢量和。

7、合力对某轴的矩等于分力对该轴之矩的代数和。,充分必要条件是：该力系的主矢和对任一点的主矩均为零。,6 个平衡方程，解 6 个未知数！,所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和等于零；这些力对于每个坐标轴的矩的代数和也等于零。,6-5 空间任意力系的平衡,例6-4 P=8kN，作用在E点（0.6m，1.2m），P1=10kN，作用在C点（0.8m，0.2m），求A、B、C 处约束力。,解：1）研究对象：小车,约束力：,2）列平衡方程,3）解方程组,6-5 空间任意力系的平衡,今日作业,6-4 6-6,上节课内容回顾：,力对点之矩与力对轴之矩：,空间力偶系的平衡：,空间汇交力系的平衡：,空间任意力系的

8、平衡：,6-6 重心和形心的坐标方程,任一微元体所受重力（即地球的吸引力）Pi ，构成一个平行力系，而此力系的合力称为物体的重力。,上述力系的合力通过一个确定的点，称为重心。,物体的几何中心称为形心。对于均质物体，形心与重心是重合的。,重心的位置对于物体的相对位置是确定的，与物体在空间的位置无关。,1、重心和形心的概念,6-6 重心和形心的坐标方程,2、重心坐标的一般公式,P=Pi,由合力矩定理得：,上式即为重心坐标的一般公式。,3、均质物体的重心坐标公式,4、均质等厚薄板的重心（即平面图形的形心）,V =Ad， Vi = Aid,上式也即为求平面图形形心的公式。,6-6 重心和形心的坐标方程

9、,6-7 确定重心和形心的具体方法,1)积分法；2)组合法；3)悬挂法；4)称重法。,具体方法：,1) 积分法：取微体积,若为平面图形，则,S 称为静矩。,1、截面对某轴的静矩为零，则该轴必通过截面的形心；,2、截面图形对通过截面形心的轴的静矩必等于零。,静矩的性质：,6-7 确定重心和形心的具体方法,2) 组合法,当物体或平面图形由几个基本部分组成，而每个组成部分的重心或形心的位置又已知时，可按下面的公式来求它们的重心或形心。,6-7 确定重心和形心的具体方法,3) 悬挂法,以薄板为例，只要将薄板任意两点A和B依次悬挂，画出通过A和B两点的铅垂线，两条铅垂线的交点即为重心C的位置。,6-7

10、确定重心和形心的具体方法,4) 称重法,：对于比较笨重、形体较为复杂的物体，其重心测定常采用这种方法。,图示机床重2500 N，现拟用“称重法”确定其重心坐标。为此，在B处放一垫子，在A处放一秤。当机床水平放置时，A处秤上读数为1750N，当=20 时秤上的读数为1500 N。据此可以算出机床重心的坐标。,6-7 确定重心和形心的具体方法,例6-5：求图示半圆形的形心位置。,解：取如图的微面积（积分法）,6-7 确定重心和形心的具体方法,例6-6：角钢截面的尺寸如图所示，试求其形心位置。,解：将角钢分割成两个矩形（组合法）,A1=(200-20)20=3600 mm2,x1= 10 mm,y1

11、=110 mm,A2 = 15020=3000 mm2,x2= 75 mm,y2=10 mm,6-7 确定重心和形心的具体方法,例6-6：角钢截面的尺寸如图所示，试求其形心位置。,解法二：负面积法（组合法）,A1=200150=30000 mm2,x1= 75 mm,y1=100 mm,A2 = (150-20)(200-20)= 23400 mm2,x2= 85 mm,y2=110 mm,例6-7 计算图示型钢 ( 20b工字钢和14b槽钢 ) 组合截面的形心。,解：建立坐标系，,6-7 确定重心和形心的具体方法,查型钢表得：,工字钢：,槽钢：,6-8 惯性矩、极惯性矩、平行移轴定理,1、惯性矩、极惯性矩的定义（p164、p199）,截面图形面积A对x轴的惯性矩；,截面图形面积A对y轴的惯性矩；,截面图形面积A对坐标原点的极惯性矩；,圆形截面,矩形截面,2、平行移轴定理（p204）,运用平行移轴公式应注意以下两点：,（2）轴y，x分别与形心轴yc、xc平行；,（1） 为对过形心轴的惯性矩；,6-8 惯性矩、极惯性矩、平行移轴定理,例6-8 求图示T形截面的形心坐标，以及对形心轴的惯性矩。,解：,建参考坐标系，y 轴为对称轴：,A=A1+A2=4000mm2,Sx2=A2 yc2 =1105mm3,1,2,yc=Sz/A=80mm,Sx=