概率论与数理统计浙大版第七章课件

1、第七章 参数估计,关键词： 矩估计法 最大似然估计法 置信区间 置信度,点估计,区间估计,1 参数的点估计,主要内容: 一. 矩估计法 二.最大似然估计 三.估计量的评选标准,一. 矩估计法,矩思想: 利用样本矩作为相应总体矩的估计量,矩估计法:,二、 最大似然估计法,最大似然估计法是在总体的分布类型已知的条件下所使用的一种参数估计方法.,它首先是由德国数学家 高斯在1821年提出的 .,Gauss,Fisher,然而，这个方法常归功于 英国统计学家费歇 .,费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质 .,最大似然原理：一个随机试验有若干个可能结 果A,B,C,。若在一

2、次试验中，结果A发生， 则一般认为试验条件对A最有利，即A发生的 概率 最大,条件,自然，认为从甲箱取更合理,最大似然估计法：,又如，兔龟赛跑，得第一名的最有可能是谁？,对给定的样本值,是参数 的函数，称为似然函数，记做,定义 对给定的样本值 ，若,如何求 ？即求 的最大值点问题,方法一: 若 为可导函数,回忆： (1) 单调性相同，从而最大值点相同.,方法二：,（2）连续型总体似然函数的求法,设X为连续型总体，其概率密度为：,对来自总体的样本 ， 其观测值为 ，作为与总体X同分布且相互独立的n维随机变量，样本的联合概率密度为:,其中 未知,于是，样本 落入点,邻域内的概率为 ，由最大似然原

3、理，最合理的 的估计值 应该是使,达到最大,求 的步骤：,例1 : 设总体X的分布律为：,0p1, p未知 , 求参数p 的最大似然估计量.,解:总体X的分布律为：,设(X1,X2,Xn)是来自总体X的样本。,似然函数为：,解得p的最大似然估计量为：,说明：p的最大似然估计值为：,解： 的似然函数为：,取对数,例2: 设(X1,X2,Xn )是来自总体X的一个样本,求的最大似然估计量,求导并令其为0,从中解得,即为的最大似然估计量。,推广：,解,26,27,三、 衡量估计量好坏的标准,的点估计量 一般是不唯一的, 如何选择好的 ? 首先我们要对估计量提出衡量其好坏的标准.,标准: 无偏性, 有

4、效性, 一致性,1、无偏性,即 取值在真值 附近来回摆动,证明: (1),6,32,是的两个无偏估计量，若,2、有效性,34,相合性(一致性),43,2010年数学1,45,作业题,P173 ： 2(1)(3)，3(1)(3)， 10，12,46,3 区间估计,点估计:,缺点：无法确定误差。,区间估计：,估计的真值所在的区间。,最大误差：,47,成立，那么称随机区间 为参数的置信度为 1 的（双侧）置信区间。,设为总体分布的一个未知参数，X1,X2,Xn是来自总体的一个样本，如果对于给定的1（0 1）能由样本确定出两个统计量：,（双侧）置信下限 （双侧）置信上限 置信度,1、定义,使,一、区间

5、估计的基本概念,48,2.说明,通常取得很小，因而落在区间 内的概率很大。一般地，越小，则落在区间 内的可靠程度越大，但在样本容量相同的情况下，这个区间长度也就越大，从而估计的误差也就越大。,置信区间的意义：当样本容量n固定时，做N次抽样，得到N组样本观察值，从而得到N个置信区间。这N个置信区间中，包含的真值在其内部的约占100(1-),例如，N=1000,=0.05,则1000个置信区间中大约有950个包含的真值。,问题,如何确定？,一般从的点估计量出发，减去某个量构成，加上某个量构成。,49,单侧置信区间,50,复习：常用的统计量分布,51,t分布的极限分布是标准正态分布,52,复习四个定

6、理：正态总体统计量的分布,定理1 设总体,标准化，得到,54,55,56,二、正态总体未知参数的区间估计,1.一个正态总体的情况,1) 均值的置信区间, 2 已知 ，的置信区间,的一个无偏估计量是什么？,前面遇到过的哪个统计量既含有又含有且分布已知？,57,(x),所以，的1置信区间为,58,得置信区间,置信度为1-的置信区间不是唯一的！,在置信度相同的情况下，置信区间的区间长度越小越好！,注,可以证明，当总体的概率密度函数为偶函数时，采用对称的上分位点所得的置信区间长度最小。,59, 2 未知，的置信区间,当 2未知时,用 2的无偏、一致估计量样本方差,来代替 2, 从而得一新的统计量.,这

7、样就得到了置信度为1的置信区间,60,2） 方差2 的置信区间,若已知,可用,未知时,可用,可得 2 的置信度为(1- )的置信区间为:,61,单个总体的情形总结：,2已知,估计,2未知,估计,用,用,未知,估计2,用,3)求的置信度为(1)的置信区间的步骤:,根据Z的分布的上分位点,解出的置信区间,寻求一个含有(而不含其它未知参数)的样本函数Z=Z(X1，X2Xn),), 且Z的分布已知;,62,例1 已知样本值为(3.3,-0.3,-0.6,-0.9)，求 (1) 当=3时，正态总体均值的置信度为95的置信区间； (2) 当未知时，正态总体均值的置信度为95的置信区间。,解：,由样本值计算

8、可得,(1) 当=3时，,因为,故,所以，均值的置信度为95的置信区间为,代入样本值可得,请您注意学习解题过程的写法！,请准备好计算器和练习本,4)应用举例,63,(2)当未知时，,由,知,所以，均值的置信度为95的置信区间为,代入样本值可得,查表可得,64,例2: 用某仪器间接测量温度,重复测量5次,所得温度值为1250。, 1265 。, 1245 。, 1260 。, 1275 。试问真值在什么范围内?(置信度为95%),分析:用随机变量X表示温度的测量值,它通常是一个正态变量.假定仪器无系统误差,则E(X)=就是温度的真值.设XN(,2),问题即为估计的范围(未知),查t分布表(=0.

9、05,自由度是n-1=4得,65,温度真值的置信度为95%的置信区间为 (1244.2, 1273.8),66,67,2.两个总体的情形,1）两个正态总体均值差1-2的置信区间,样本分别为(X1，X2 Xn1 ), (Y1，Y2 Yn2 ), 1 2, 2 2已知,估计1- 2,68,69, 1 2, 2 2 都未知,但1 2=2 2= 2,均值差1 - 2 区间估计, 1 2, 2 2都未知的一般情况,此时，当n1, n2 都很大时（实用中大于50）均值差1 - 2 区间估计为,70,2）两个正态总体方差比 的置信区间:,一样,第二个稳定,第一个稳定,现需找一个包含,且分布为已知的统计量.,方差比的意义:如比较两个灯泡厂(寿命均值相等)的质量哪个稳定.,71,72,要求: 掌握方法,而不是死记硬背 明确置信区间的实际意义,能结合到实际问题中去,73,例3 设有两个工厂独立地生产同一种产品，其质量指标均服从正态分布。现从它们某天的产品中随机抽取60只，测得其样本均值分别为10.3和9.9，样本方差S2依次为0.84和1.25。试以95的可靠性判断两工厂生产质量水平的差异？,分析： 要判断两工厂生产质量水平的差异，首先需要比较两总体的均值的大小，以反映平均质量水平的高低；其次还可以比较总体方差的大小，以反映质量水平波动的程度。,先估计总体均值差1-2的