概率论与数理统计总复习课件

1、第一章 随机事件及概率,本章由六个概念（随机试验、事件、概率、频率、条件概率、独立性），五个公式（加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式）和两个概型（古典概型 、几何概型）组成,第一章、主要内容,随机 现象,随机 试验,事件的 独立性,随 机 事 件,基 本 事 件,必 然 事 件,对 立 事 件,概 率,古典 概型,几何 概率,乘法 定理,事件的关系和运算,全概率公式与贝叶斯公式,性 质,定 义,条件 概率,不可能事件,复 合 事 件,教学基本要求,掌握：事件的关系及运算，概率的基本性质，概率的加法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式，用事件独立性进行概率计算

2、。 熟悉：古典型概率和几何型概率的计算，计算有关事件概率的方法。 理解：随机事件的概念，概率、条件概率的概念，事件的独立性的概念，独立重复试验的概念。 了解：样本空间的概念，概率的公理化定义。 重点：概率的加法公式、全概率公式以及贝叶斯公式 难点：全概率公式以及贝叶斯公式，事件的独立性,可以在相同的条件下重复地进行;,每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;,进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,在概率论中，把具有以下三个特征的试验称为随机试验.,随机试验,样本空间的元素 ,即试验E 的每一个结果, 称为样本点.,随机试验E的所有可能结果组成的集合称为样本空间,记为

3、 S.,随机试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E 的随机事件, 简称事件.,随机事件,不可能事件 随机试验中不可能出现的结果.,必然事件的对立面是不可能事件,不可能事件 的对立面是必然事件,它们互称为对立事件.,基本事件 由一个样本点组成的单点集.,必然事件 随机试验中必然会出现的结果.,重要的随机事件,事件的关系和运算,(1) 包含关系,若事件 A 出现，必然导致事件 B 出现，,则称事件 B 包含事件 A，记作,图示 B 包含 A .,S,B,(2) A等于B,(3) 事件A与B的并(和事件),图示事件 A与 B 的并.,S,A,若事件 A 包含事件 B , 而且事件 B 包含事件 A

4、, 则称事件 A 与事件 B 相等,记作 A=B.,(4) 事件A与B的交(积事件),图示事件 A 与 B 的积.,S,A,B,AB,(5) 事件A与B互不相容 (互斥),若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现 , B 出现也必然导致 A 不出现,则称事件 A 与 B互不相容,即,图示 A 与 B 互不相容（互斥） .,S,(6) 事件A与B的差,由事件A出现而事件B不出现所组成的事件称为事件A与B的差.记作 A- B.,图示 A 与 B 的差.,S,A,B,设A表示“事件A出现”, 则“事件A不出现”称为事件A的对立事件或逆事件.记作,图示 A 与 B 的对立 .,S,B,若 A 与 B

5、 互逆,则有,(7) 事件A的对立事件,说明对立事件与互斥事件的区别,S,S,B,A，B 对立,A，B 互斥,互斥,对立,事件运算的性质,定义,概率：在一次实验中事件A发生的可能性大小的度量称为事件A的概率，记作P(A),概率的定义,概率的可列可加性,概率的性质,n 个事件和的情况,定义,等可能概型 (古典概型),设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成, A为E 的任意一个事件,且包含 m 个样本点, 则事件 A 出现的概率记为:,古典概型中事件概率的计算公式,称此为概率的古典定义.,古典概型的典型问题: 摸球问题、质点入盒(投球问题)与随机取数,摸球问题是指从n个可辨认的球中按照不同的要求

6、(是否放回，是否计序),一个一个地从中任取m个，从而得到不同的样本空间，然后在各自的样本空间中计算某事件的概率.,摸球模型一般可分为四种情况，各种情况的基本事件数如下表：,例 袋 中有a只白球，b只红球，k个人依次在袋 中取一只球,(1)作放回抽样(即前一个人取一只球 观察颜色后放回袋中，后一人再取一只球)，(2)作 不放回抽样(即前一个人取一只球观察颜色后不放 回袋中，后一人再取一只球)，求第i(i=1,2,k)个 人抽到白球(记为事件)的概率(设ka+b),解,(1) 作放回抽样,定义 当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意一点落在度量 (长度、 面积、体积) 相同的子区域是等可能的，则

7、事件 A 的概率可定义为,说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概型.,几何概型,条件概率,同理可得,为在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.,(1) 条件概率的定义,(2) 条件概率的性质,条件概率的计算,2)从加入条件后改变了的情况去算,1) 用定义计算:,P(B)0,P(A|B）=,B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数,在缩减样本空间 中A所含样本点 个数,乘法定理,样本空间的划分,全概率公式与贝叶斯公式,全概率公式,贝叶斯公式,称此为贝叶斯公式.,事件 A 与 B 相互独立是指事件 A 的概率与事件 B 是否出现无关.,说明,事件的相互独立性,(1)两

8、事件相互独立,(2)三事件两两相互独立,注意,三个事件相互独立,三个事件两两相互独立,(3)三事件相互独立,重要定理及结论,请问：如图的两个事件是独立的吗？,即: 若A、B互斥，且P(A)0, P(B)0, 则A与B不独立.,反之，若A与B独立，且P(A)0,P(B)0, 则A 、B不互斥.,而P(A) 0, P(B) 0,故 A、B不独立,我们来计算：,P(AB)=0,设A、B为互斥事件，且P(A)0,P(B)0, 下面四个结论中，正确的是：,前面我们看到独立与互斥的区别和联系，,1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B),

9、设A、B为独立事件，且P(A)0,P(B)0, 下面四个结论中，正确的是：,1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B),再请你做个小练习.,则 C与A、B之间的运算仍然独立,A,B,C相互独立,利用独立性的概念简化计算,(1),(2),贝努里概型,1、贝努里试验,若试验E只有两个可能的结果：A及 ，称这个试验为贝努里试验 。,2、贝努里概型,设随机试验E具有如下特征：,1）每次试验是相互独立的 ；,2）每次试验有且仅有两种结果：事件A和事件,3）每次试验的结果发生的概率相同即P（A）=p， P（ ）=1-p=q 。,称试验E表

10、示的数学模型为贝努里概型。若将试验做了n次，则这个试验也称为n重贝努里试验。记为 。,；,第二章、主要内容,随 机 变 量,离 散 型 随机变量,连 续 型随机变量,分 布 函 数,分 布 律,密 度 函 数,均 匀 分 布,指 数 分 布,正 态 分 布,两 点 分 布,二 项 分 布,泊 松 分 布,随机变量 的函数的 分 布,定 义,教学基本要求,掌握：二项分布 、泊松（Poisson）分布、均匀分布 、指数分布、正态分布及其应用。 熟悉：计算与随机变量相联系的事件的概率，求随机变量函数的分布。 理解：随机变量的概念，分布函数的概念及性质，离散型随机变量及其概率分布的概念，连续型随机变量

11、及其概率密度的概念。 了解： 01分布，几何分布，超几何分布，泊松定理的结论和应用条件，用泊松分布近似表示二项分布。 重点：二项分布 、正态分布及其应用，离散型随机变量及其概率分布，连续型随机变量及其概率密度。 难点：随机变量函数的分布,随机变量的概念,1.定义,下图给出样本点w与实数X X (w )对应的示意图,离散型随机变量的分布律,(1)定义,(2)说明,用这两条性质判断一个函数是否是分布律,练习 设袋中装有6个球，编号为1,1,2,2,2,3，从袋中任取一球，记取到的球的编号为X， 求：（1）X 的分布列；（2）编号大于1的概率,X 的分布列为:,设随机变量 X 只可能取0与1两个值

12、, 它的分布律为,则称 X 服从(0-1)分布或两点分布.,两点分布,二项分布,产生背景：n 重伯努利试验,二项分布定义：,二项分布的应用,用二项分布解决实际问题的步骤 （1）首先判别要解决的问题是否是n重伯努利试验 （2）若是重伯努利试验，则首先确定试验次数n和事件发生的概率 （3）最后用二项分布求解有关的实际问题,二项分布与0-1分布之间的关系,参数为p的0-1分布就是n=1时的二项分布b(n,p);反之，设n重伯努利的每次试验中事件A发生的概率为p，以 表示第i次试验中事件A发生的次数，有 令 则X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则有 因此，服从二项分布的随机变量可以视作n个取值相

13、互独立的服从参数为p的0-1分布随机变量之和。,泊松分布,泊松定理,数,有,(2)说明,随机变量的分布函数,(1)定义,分布函数主要研究随机变量在某一区间内取 值的概率情况.,即任一分布函数处处右连续.,(3)性质,以上4条也是分布函数必须要满足的性质，也是判别某个函数是否为分布函数的充分必要条件.,练习：判别下列函数是否为分布函数,例题：下列函数为随机变量的分布函数，求参数a和b,重要公式,例,由概率的有限可加性 分布函数为：,解,分布函数,分布律,离散型随机变量分布律与分布函数的关系,定义,概率密度的概念与性质,probability density function.,注：(1)由定义知

14、道，改变概率密度f (x)在个别点的函数值 不影响分布函数F(x)的取值，因此概率密度不是唯一的.,(2)连续型随机变量的分布函数是连续函数.,(2)性质,同时得以下计算公式,注： 设X为连续型随机变量，对于任意可能值 a ,证明,由此知,连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关,例1 设连续型随机变量X具有概率密度,例,故有,解,(1) 因为 X 是连续型随机变量,均匀分布,(1)定义,(2)分布函数,分布函数,指数分布,正态分布(或高斯分布),(1)定义,正态概率密度函数的几何特征,标准正态分布的概率密度表示为,标准正态分布的分布函数表示为,(2)标准正态分布,(3)重要公式

15、,例：若随机变量 且 则,例：设随机变量 ，且二次方程 无实根的概率为0.5，则,例：在电源电压不超过200伏，在200-240伏，和超过240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.0001,0.2。假设电源电压服从正态分布 ，试求（1）该电子元件损坏的概率 （2）该电子元件损坏时电源电压在200-240伏的概率,随机变量的函数的分布,(1)离散型随机变量的函数的分布,由分布函数的定义,先求Y=g(X)的分布函数:,FY(y)=P(Yy)=P(g(X)y),求Y=g(X)的概率密度的一般方法 (分布函数求导法):,然后求上式对y的导数,得Y的概率密度:,fY(y)=FY(y),

16、在求P(Yy) 的过程中，关键的一步是设法从 g(X) y 中解出X,从而得到与 g(X) y 等价的X的不等式 .,定理,试证 X 的线性函数 Y=aX+b (a 0) 也服从正态分布.,证 X 的概率密度为,例 设随机变量 X(, 2 ),显然 y = g(x) = a x+b可导且g =a 保号,Y=aX+b 的概率密度为,由定理知, Y = aX+b (a +b, (|a| )2 ),即,注 取 , 验证函数可导且单调, 求反函数及其导数, 代入定理公式即得函数的密度,注意取绝对值,有 , 确定y的取值范围,先转化为分布函数, 再求导,已知 X 的概率密度为,求Y = sinX 的概率

17、密度.,练习,利用分布函数求概率密度：,函数 y = g(x) = sinx 在0,上为非单调函数，,解,故不能用定理求.,x0, 时,y 0 时,0y1时,= P(0 X arcsin y)( -arcsin y X ),y 1时,= P(0 X arcsin y) + P( -arcsin y X ),= 1.,分布函数法,不必计算积分,定 义,联 合 分 布 函 数,联 合 分 布 律,联 合 概 率 密 度,边 缘 分 布,条 件 分 布,两 个 随 机 变 量 的 函 数 的 分 布,随 机 变 量 的 相 互 独 立 性,定 义,性 质,二 维 随 机 变 量,推 广,第三章、主要

18、内容,教学基本要求,掌握：随机变量相互独立的条件，二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度。 熟悉：二维随机变量的边缘分布和条件分布，根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，根据多个相互独立随机变量的联合分布求其函数的分布。 理解：多维随机变量的分布函数的概念和基本性质，随机变量的独立性和不相关性的概念，随机变量的不相关性与独立性的关系。 了解：二维均匀分布。 重点：二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布。 难点：边缘分布和条件分布,(1) 定义,二维随机变量的分布函数,且有,(2) 性质,二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为:,二维离散型随机变量的分

19、布律,离散型随机变量 ( X,Y ) 的分布函数为,二维连续型随机变量的概率密度,(1) 定义,(2) 性质,解（1）由于在区域G:00, 其他f(x,y)0,解得k=2,（2）设区域为: ,(3) 两个常用的分布,设 D 是平面上的有界区域, 其面积为 S, 若二 维随机变量 ( X, Y ) 具有概率密度,则称( X,Y )在D上服从均匀分布.,若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布.,边缘分布函数,为随机变量 ( X,Y ) 关于 Y 的边缘分布函数.,解 (X,Y)关于X的边缘分布函数,离散型随机变量的边缘分布,随机变量关于X 和 Y

20、的边缘分布函数分别为,联合分布,边缘分布,设随机变量T服从区间(0,4)上的均匀分布，定义随机变量,求(X,Y)的联合分布律和边缘分布律。,连续型随机变量的边缘分布,同理得 Y 的边缘概率密度,例 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为,试求: (1)常数c ; (2)X与Y的边缘密度函数.,解: (1)由密度函数的性质,得,所以, c=1.,(2) 当x0 时，,所以，X 的边缘密度函数为,(3) 当y0 时，,所以，Y 的边缘密度函数为,(1) 离散型随机变量的条件分布,随机变量的条件分布,同理可定义,定义,连续型随机变量的条件分布,联合分布、边缘分布、条件分布的关系,联合分布,例

21、,解,例,随机变量的相互独立性,(1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为,习题解95页,已知 (X, Y) 的分布函数为,求联合概率密度，边缘分布函数，边缘概率密度，并判断 X与Y是否独立。,随机变量函数的分布,(1)离散型随机变量函数的分布,由上式及概率的加法公式，有,特别，若X与Y相互独立, 则,设 X B (n1, p), Y B (n2, p), 且独立，,具有可加性的两个离散分布,设 X P (1), Y P (2), 且独立，,则 X + Y B ( n1+n2, p),则 X + Y P(1+ 2),当 X, Y 独立时,(2)连续型随机变量函数的分布,结论: 两个

22、独立的正态分布的随机变量的和 仍服从正态分布.,X1+X2N(1+ 2,12+ 22),正态分布的可加性,.即:若X1N(1,12), X2N(2,22), X1,X2独立,则,有限个独立正态变量的线性组合仍服从正态分布.,更一般地, 可以证明:,推论: 有限个独立的正态分布的线性函数 仍服从正态分布.,即:若XiN(i,i2), (i=1,2,.n), X1,X2, .Xn相互 独立,实数a1,a2,.,an不全为零,则,特别, 若X1,X2, .Xn独立同正态分布N(,2) ,则,记:,则有,解,二、主要内容,数学期望,方 差,离散型,连续型,性 质,协方差与相关系数,二维随机变量的数学期

23、望,定 义,计 算,性 质,随机变量函数的数学期望,定 义,协方差的性质,相关系数定理,教学基本要求,掌握：常用分布的数字特征。 熟悉：会运用数字特征的基本性质，求随机变量函数的数学期望。 理解：随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数、矩）的概念，二维正态分布中参数的概率意义。 了解：切比雪夫不等式，二维正态分布，理解其中参数的概率意义。 重点：常用分布的数字特征。 难点：切比雪夫不等式，随机变量的数字特征。,离散型随机变量的数学期望,连续型随机变量的数学期望,随机变量函数的数学期望,离散型随机变量函数的数学期望为,则有,则有,数学期望的性质,1. 设C是常数, 则有,2.

24、 设X是一个随机变量, C是常数, 则有,3. 设X, Y 是两个随机变量, 则有,4. 设X, Y 是相互独立的随机变量, 则有,二维随机变量的数学期望,同理可得,则,则,常见离散型分布的数学期望小结P107,常见连续型分布的数学期望小结,方差的定义,方差的计算,离散型随机变量的方差,连续型随机变量的方差,方差的性质,1. 设 C 是常数, 则有,2. 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有,切比雪夫不等式,证明,取连续型随机变量的情况来证明.,切比雪夫不等式,契比雪夫,协方差与相关系数的定义,协方差的计算公式,协方差的计算公式,性质,(1) Cov(X,X)= D(X),(4) Co

25、v(X,C)= 0, C为常数；,相关系数定理,若 ，称X和Y不相关。,定理：若随机变量X与Y的方差都存在，且均不 为零；则下列四个命题等价。,（1） ；,（2）cov(X ,Y) = 0；,（3）E(XY)=EXEY；,（4）D(X Y)=DX+DY。,前面，我们已经看到：,若X与Y独立，则X与Y不相 关，,但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立.,二维正态分布,一、二维正态分布及其边缘分布,置换积分变量,故二维正态分布的两个边缘分布都是正态分布，且有,大数定律,二、主要内容,中心极限定理,定 理 一,定理二,定理三,定理一的另一种表示,定理一,定理二,定理三,契比雪夫定理的特殊情况,定理

26、一的另一种表示,伯努利大数定理,辛钦定理,独立同分布的中心极限定理,德莫佛拉普拉斯定理,总 体,个 体,样本,常用统计量的分布,分位点,概率密度函数,二、主要内容,统计量,常用统计量,性质,关于样本和方差的定理,t 分布,F 分布,分布,关于样本和方差的定理,教学基本要求,掌握：正态总体的样本均值、样本方差的抽样分布。 熟悉：查标准正态分布、 分布、 分布和 分布的数值表。 了解：总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，标准正态分布、 分布、 分布和 分布得上侧 分位数，经验分布函数的概念和性质。 重点: 正态总体的样本均值、样本方差的抽样分布。 难点： 分布、 分布和

27、分布,根据定义得:,统计量,常用统计量,(1)样本平均值:,(2)样本方差:,(3)样本标准差:,常用统计量,(4)样本 k 阶(原点)矩:,(5)样本 k 阶中心矩:,常用统计量的分布(一),分布的性质,性质1,性质2,常用统计量的分布(二),t 分布又称学生氏(Student)分布.,常用统计量的分布(三),正态总体的样本均值与样本方差的分布,定理一,定理二,证明,且两者独立, 由 t 分布的定义知,定理三,定理四,矩估计量,估计量的评选,第七章、主要内容,最大似然估计量,最大似然估计的性质,似然函数,无偏性,正态总体均值方差的置信区间与上下限,有效性,置信区间和上下限,求置信区间的步骤,

28、相合性,教学基本要求,基本要求： 掌握：矩估计法（一阶矩、二阶矩）和极大似然估计法，正态总体均值、方差、标准差的置信区间的求法。 熟悉：两个正态总体的均值差和方差比的置信区间的求法。 了解：参数的点估计、估计量与估计值的概念，建立未知参数的（双侧和单侧）置信区间的一般方法。 重点: 正态总体均值、方差、标准差的置信区间的求法。 难点：极大似然估计法。,矩估计量,用样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续函数来估计总体矩的连续函数,这种估计法称为矩估计法.,矩估计法的具体做法:,说明,1 通常有几个未知数就相应列出几个方程,2 矩估计可能不存在，存在也可能不唯一，由于选择的函数不同，可能得到的矩估计也不同。常用的矩估计一般只涉及一、二阶矩。,总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不同的总体分布而异.,一般地,最大似然估计量,似然函数,求最大似然估计量的步骤:,费舍尔,最大似然估计法是由费舍尔引进的.,最大似