概率论与数理统计必考点 3

1、第二章 离散型随机变量,一、一维随机变量及分布列,二、多维随机变量、联合分布列 和边际分布列,三、随机变量函数的分布列,四、数学期望的定义及性质,五、方差的定义及性质,概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法来研究， 因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就建立起了随机变量的概念,二、常见离散型随机变量分布列,一、一维离散型随机变量及分布 列的概念,三、小结,第一节 一维随机变量及分布列,实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.,=红色、白色,白色,一、

2、随机变量的概念,这样便将非数量的 =红色，白色 数量化了.,红色,白色,实例2 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的, 则,是一个随机变量.,且 X(w) 的所有可 能取值为:,定义 设E是一随机试验， 是它的样本空间，,则称 上的单值实值函数 X ( )为随机变量,随机变量一般用 X, Y , Z ,或小写希腊字母 , , 表示。,若,随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机变量的取值也有一定的概率规律.,(2)随机变量的取值具有一定的概率规律,随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有着本质的差别

3、,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数).,2.说明,(1)随机变量与普通的函数不同,实例1 掷一个硬币, 观察出现的面 , 共有两个 结果:,即 X (w) 是一个随机变量.,事件 和 就可分别用 和 表示,(3) 随机事件可以用随机变量表示,实例2 抛掷骰子,观察出现的点数.,=1，2，3，4，5，6,样本点本身就是实数,则有,就可以用 表示，并且,随机变量的分类,(1)离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或 无限可列个, 叫做离散型随机变量.,(2)连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充 满某个区间,叫做连续型随机变量.,离散型随机

4、变量的分布律,定义,离散型随机变量的分布列也可表示为,分布列的性质,反之，若一个数列满足（1）（2），它也可以作为 某一个r.v.的分布列。,注:利用分布列可以求事件的概率,例1 一辆汽车在开往目的地的路上需要经过4个十字路口，遇到红灯的概率是p，求： （1）汽车一路上遇到的红灯数的概率分布； （2）汽车首次停下来时，已经通过的交通灯数的概率分布 （假设通过4个交通灯后停下）。,解：设X表示“汽车一路上遇到的红灯数”，则X的所有可,能取值为0,1,2,3,4，则X的分布列为,（2）类似地，设Y表示“汽车首次停下来时，已经通过的交 通灯数，则Y的分布列为”,1. 0 1 分布 (两点分布),0

5、p 1,二、常见离散型r.v.的分布,(1)实际背景:伯努利试验,(2)定义：若r.v.X的可能取值为0，1，且,则称r.v.X服从参数为p的0-1分布。,或,例:抛一质地均匀的硬币的试验中,X的概率分布为:,例:某人一次投篮的试验中,其命中的概率为0.7,他投中的次数为X, X的概率分布为:,两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布.,说明,2.等可能分布,如果随机变量 X 的分布列为,实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,在n 重伯努利概型中, X 是事件A 试验中发生的次数,（2）定义：

6、若R.V.X的可能取值为0，1，2，n 且 则称 X 服从参数为n, p 的二项分布记作,3. 二项分布,(试验成功的次数) ,记 P(A) = p , 则,（1）实际背景: n 重伯努利概型,例2,解：由于抽样是有放回的，因此这是n重伯努利试验，且每次 抽得次品的概率为 ，若记X=“n次抽样中的次品数”，则,因此所求概率为：,例3,例4,例5,若,其中,是常数，则称 X 服从参数为,的Poisson 分布.,记作,3.泊松分布(Poisson分布),(泊松-法国数学家，1781年6月21日生于法国卢瓦雷省皮蒂维耶，1840年 4月25日卒于法国索镇),（1）定义,（2）泊松分布是常见的分布，

7、如,大卖场的顾客数；,某地区拨错号的电话呼唤次数；,市级医院急诊病人数；,某地区发生的交通事故的次数., ,一个容器中的细菌数；,一本书中的印刷错误数；,一匹布上的疵点个数；, ,放射性物质发出的 粒子数；,例6 设某商店某种商品每月销售数服从参数为8的泊松分布，问在月初进货时应进多少件商品，才能保证当月不脱销的概率至少是90%？,解：设该商店每月销售此种商品X件，月初进货数数 为a件，则据题意有,且所求问题为,即,查表得：,所以，该商店在月初进12件商品就可保证当月不脱销的概率至少是90%。,定理1. Possion定理,注:由Poisson定理:若X B( n, p), 则当n 较大，p

8、较 小, 而 适中, 则可以用近似公式,二项分布与泊松分布之间的关系,在n重伯努利试验中，事件A在一次试验出现的概率为 （与试验次数n有关），当 时 则,证明:记,解：用X表示“投保人中物品损坏数”，则显然,事件“保险公司获利不少于20000元”,于20000元的概率。,例7某地有2500人参加某种物品保险，每人年初向保险公司,交保费12元，若在这一年内该物品损坏,则可从保险公司领,取2000元。该物品损坏的Pr.为0.002，求保险公司获利不少,故所求Pr.为,4几何分布,设在Bernoulli试验中,每次试验成功的概率均为p (0p1).今独立重复试验直到出现首次成功为止。若设 X为所需试验次数，则X 的分布列为：，k=0,1,2,. 称X服从几何分布，记作,例8,5超几何分布,设有N件产品，其中有M件次品。今从中任取n件不同产品，则这n件中所含的次品数X的分布列为：,k=0,1,2,min(M,n),则称X服从超几何分布。,二项分布用来描述有放回抽样，超几何分布用来 描述不放回抽样，当总体N很大，抽样数n较小，可用 二项分布来逼近超几何分布。,在实际应用中，n0.1N 可用,