概率论-第3章-多维随机变量及其分布5

1、概率论与数理分析第三章 多维随机变量及其分布,1 二维随机变量 2 边缘分布 3 条件分布 4 相互独立的随机变量 5 两个随机变量的函数的分布,一、问题的引入,5 两个随机变量的函数的分布,引例1,5 两个随机变量的函数的分布,在下列系统中，每个元件的寿命分别为随机变量 X,Y ，它们相互独立同分布。我们想知道系统寿命 Z 的分布。,引例2,为了解决类似的问题，我们讨论随机变量函数的分布。,解题思路（步骤）：,在一般情形下，已知二维随机变量（X,Y）的联合密度为 f ( x , y ), g ( x , y ) 是二元连续函数，欲求随机变量 Z=g (X,Y)的概率密度。,5 两个随机变量的

2、函数的分布,例 1,5 两个随机变量的函数的分布,5 两个随机变量的函数的分布,5 两个随机变量的函数的分布,例2 设两个独立的随机变量 X 与 Y 的分布律为,求随机变量 Z=X+Y 的分布律.,5 两个随机变量的函数的分布,二、Z=X+Y的（和的）分布,1 离散型随机变量和的分布,5 两个随机变量的函数的分布,例3,5 两个随机变量的函数的分布,解,等价于,5 两个随机变量的函数的分布,概率,5 两个随机变量的函数的分布,5 两个随机变量的函数的分布,结论,5 两个随机变量的函数的分布,例 4,5 两个随机变量的函数的分布,5 两个随机变量的函数的分布,结论：,5 两个随机变量的函数的分布

3、,5 两个随机变量的函数的分布,2 连续型随机变量和的分布,由此可得概率密度函数为,由于 X 与 Y 对称,当 X, Y 独立时,5 两个随机变量的函数的分布,5 两个随机变量的函数的分布,例 5,5 两个随机变量的函数的分布,5 两个随机变量的函数的分布,5 两个随机变量的函数的分布,例 6,5 两个随机变量的函数的分布,5 两个随机变量的函数的分布,5 两个随机变量的函数的分布,由公式,解,例7 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准正态分布,求 Z=X+Y 的概率密度.,5 两个随机变量的函数的分布,得,5 两个随机变量的函数的分布,说明,有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服

4、从正态分布.,5 两个随机变量的函数的分布,解,例8,5 两个随机变量的函数的分布,5 两个随机变量的函数的分布,此时,5 两个随机变量的函数的分布,5 两个随机变量的函数的分布,例9,5 两个随机变量的函数的分布,证明,5 两个随机变量的函数的分布,5 两个随机变量的函数的分布,5 两个随机变量的函数的分布,5 两个随机变量的函数的分布,5 两个随机变量的函数的分布,三、Z=X/Y的（商的）分布,同理可得,故有,5 两个随机变量的函数的分布,当 X, Y 独立时,由此可得分布密度为,5 两个随机变量的函数的分布,例10,5 两个随机变量的函数的分布,得所求密度函数,得,5 两个随机变量的函数

5、的分布,例 11,5 两个随机变量的函数的分布,5 两个随机变量的函数的分布,5 两个随机变量的函数的分布,例12 设相互独立的两个随机变量 X, Y 具有同一 分布律,且 X 的分布律为,5 两个随机变量的函数的分布,四、极值分布,1 离散型随机变量的极值分布,解,5 两个随机变量的函数的分布,5 两个随机变量的函数的分布,例 13,5 两个随机变量的函数的分布,5 两个随机变量的函数的分布,5 两个随机变量的函数的分布,则有,5 两个随机变量的函数的分布,2 连续型随机变量的极值分布,故有,5 两个随机变量的函数的分布,推广,5 两个随机变量的函数的分布,例14,5 两个随机变量的函数的分布,解,5 两个随机变量的函数的分布,5 两个随机变量的函数的分布,5 两个随机变量的函数的分布,5 两个随机变量的函数的分布,5 两个随机变量的函数的分布,五、小结,1. 离散型随机变