教育统计学第三章课件

1、,第三章 集中量第一节 算术平均数第二节 中位数第三节 众数第四节 加权平均数 几何平均数 调和平均数,一、算术平均数的概念 算术平均数是一组同质数据值的总和除以数据总个数所得的商。简称平均数、均数或均值，用 （读X杠）表示。,（3.1）,第一节 算术平均数,二、算术平均数的计算方法 1.原始数据计算法,例1 某班选八名同学参加年级数学竞赛，成绩分别为82，90，95，88，90，94，80，93。求其平均成绩。 解：把n=8，X1=82,X8=93代入公式（3.1），得,2.频数分布表计算法,例2：P26,例3 某年级四个班的学生人数分别为50人，52人，48人，51人，期末数学考试各班的平

2、均成绩分别为90分，85分，88分，92分，求年级的平均成绩。,解：由公式（3.2）得,例4 某班50人外语期末考试成绩的次数分布如下，求全班学生的平均成绩。,表3-1 某班50人外语成绩次数分布表,解：将表中数据代入公式（3.2），得,说明：利用次数分布求得的算术平均数是一个近似值。因为我们先假设组内的数据是均匀分布的，利用各组中值分别代表各组数据，这显然与实际不符，把这一误差叫分组误差(P26)。,三、算数平均数的应用及其优缺点,1、算术平均数具备一个良好的集中量所应具备的一些条件 （1）反应灵敏 （2）严密确定 （3）简明易懂，计算方便 （4）适合代数运算 （5）受抽样变动的影响较小,2

3、、算术平均数的优点 （1）只知一组观测值的总和及总频数即可求出； （2）用加权法可以求出几个平均数的总平均数； （3）用样本数据推断总体集中量时，算术平均数最接近总体集中量的真值，它是总体平均数的最好估计值； （4）在计算方差、标准差、相关系数以及进行统计推断时，都要用到它。,3、算术平均数的缺点 （1）易受两极端数值的影响； （2）有个别数据模糊不清时，无法计算,综上知，算术平均数的适用条件是：一组数据中所有数据都比较准确、可靠；无两极端数值的影响。,一、中位数的概念及适用条件 1. 概念 中位数是位于一组有序数据中间位置的量数。也称中数，用Md表示。它是将一组有序数据的个数分为相等两部分的

4、那个数据，它可能是原始数据中的一个，也可能是通过计算得到的一个数。,第二节 中位数,2. 适用条件 (1) 当一组数据有极端值出现时。 (2) 当一组有序数据两端有个别数据模糊不清或分组资料有不确定组限时。 (3) 当需要快速估计一组数据的代表值时。,二、中位数的计算方法 1. 原始数据计算法 一组数据未分组，先排序，中位数取决于数据的个数是奇数还是偶数。 当数据的个数为奇数时，则以第（N+1）/2个位置上的数据作为中位数。当数据的个数为偶数时，则取居中间的两个数据的平均数为中位数。即取第（N+1）/2处作为中位数的位置，其位置左右两数据的平均值即为中位数。,例如求80，93，90，81，85

5、，88，92，84的中位数。 先排序： 80，81，84，85，88，90，92，93 再求(N+1)/2=4.5，这说明中位数的位置在第四个和第五个数的中间，即 Md=(85+88)/2=86.5,（二）频数分布表计算法 对分组数据常将n/2位置对应的数据看成中位数。,计算公式为：,中位数所在组的下限 总频数 小于中位数所在组下限的频数总和 频数分布表上的组距 中位数所在组的频数,中位数所在组的上限 总频数 大于中位数所在组上限的频数总和 频数分布表上的组距 中位数所在组的频数,以表3-2为例，说明中位数的计算.,表3-2 48个学生数学成绩频数分布表,2. 百分位数的计算方法 在频数分布表

6、上用内插法计算百分位数，计算公式为,三、百分位数的概念及其计算方法 1. 百分位数的概念 百分位数是位于依一定顺序排列的一组数据中某一百分位置的数值一般用Pp表示。 如第70百分位数（P70）就是依从小到大排列的一组数据中小于此数值有70%个频数，大于此数值有30%个频数的那个数值。 中位数就是第50百分位数。,（3.5）,百分位数 与百分位数相对应的比数 总频数 百分位数所在组的下限 小于百分位数所在组下限的频数总和 百分位数所在组的频数 组距,例如表32资料的第30百分位数Pp=P30=74,表3-2 48个学生数学成绩频数分布表,第三节 众 数,一、众数的概念（用Mo表示） 1.理论众数

7、：与频率分布曲线最高点相对应的横坐标上的一点。 2.粗略众数：一组数据中频数出现最多的那个数。 实际中，一般求理论众数的近似值，或直接寻找粗略众数。,二、众数的计算方法 1.用观察法直接寻找粗略众数 在一组原始数据中，频数出现最多的那个数值就是众数。,例如：2、4、3、6、4、5、4,在频数分布表中，频数最多一组的组中值就是粗略众数。例如下表的数据的粗略众数为Mo=77.5。,表3.3 50个学生语文分数的频数分布表,2.用公式求理论众数的近似值 （1）皮尔逊的经验法 只有当频数分布呈正态或接近正态时，才能使用。,表3.3 50个学生语文分数的频数分布表,（1）金氏插补法 当频数分布呈偏态，即

8、众数所在组以上各组频数总和相差较多时，可以使用金氏插补法。,众数所在组的下限 大于众数所在组上限那个相邻组的频数 小于众数所在组下限那个相邻组的频数 组距,例如：下表数据,表3.4 66个学生作文分数的频数分布表,二、众数的应用及其优缺点 众数虽然简明易懂，较少受两极端数值的影响，但它并不具备一个良好集中量数的基本条件。如极不准确、稳定，反应不灵敏，不适合代数运算，受抽样的影响较大等。因此，在一般情况下，众数应用也不广泛，但在一些特殊情况下也常有应用。 众数适用的情况 （1）当需要快速而粗略地寻求一组数据的代表值时； （2）当一组数据出现不同质的情况时； （3）当次数分布中有两极端的数目时；

9、（4）当粗略估计次数分布的形态时。,1.当次数分布呈正态时： 2.当次数分布呈正偏态时： 且 3.当次数分布呈负偏态时： 且,四、算术平均数、中位数、众数三者的关系,补充：平均数、中位数与众数的比较 1.从对数据次数分布形态的适用性来看 对称分布：平均数 非对称分布：中位数、众数 2.从计算的精确性看 平均数最精确、中位数次之、众数最差 3.从对统计分析的适用性看 平均数既可作描述统计量，又可作推论统计量。中位数与众数常用作描述统计量。,第四节 加权平均数、几何平均数、调和平均数,一、加权平均数,加权平均数的概念 加权平均数是不同比重数据（或平均数）的平均数，用 或 表示。 加权平均数的计算方

10、法一 式中为权数,加权平均数的应用 当测量所得的数据，其单位权重并不相等时，要用加权平均数来求平均数。,例如，一个学生某门学科期中测验成绩为72分，期末测验成绩为86分，而期中与期末分数之比为4:6，求此门课程学期总平均成绩。,加权平均数的计算方法二,例如，小学三年级英语测验，甲班32人平均分72.6，乙班40人平均分为80.2，丙班36人平均分为75，求全年级英语测验总平均分数。,二、几何平均数 （一）概念 它是n个数值连乘积的n次方根，用符号 表示,计算公式为,（二）应用时机 1、求一组等比或近似等比数据的平均数时。 2、一组数据中，有少数偏大或偏小的数据，数据分布呈现偏态，求平均数时。

11、3、在教育上，主要应用几何平均数求平均发展速度或对某项目标进行预测估计。,例6 求2，8，32，125，502的几何平均数。 解：由于这组数属于近似等比数列，直接利用公式，得,=31.72,例7 已知某校四年中各年度的学生人数分别为上一年的1.12倍，1.09倍，1.08倍和1.06倍，求每年的平均增长率。,解：先求出平均发展速度,然后用公式：平均增长率=平均发展速度-1，求出年平均增长率。,平均增长率=1.09-1=0.09 故所求的年平均增长率为9%。,只用首末项求几何平均数 设a0,a1,an是n个年度中各年度某种数量值，其中a0是初期量， an是末期量。X1,X2,Xn为各年度发展速度

12、，即,（3.6）,例8 某重点高中1994-1999年招收新生人数如下表，求年平均增长率。,表3-2 某高中招生人数统计表,解：由于a0=594,an=700,n=5, 所以年平均发展速度为,故年平均增长率为（10.3-1)*100%=3%,例9 某校办工厂在1984年创产值10万元，该厂计划以年平均增长率为5%的速度递增，试估计到2004年该厂可创产值多少万元。,解：,an=a0(1+平均增长率)n =10（1+0.05）20=26.53（万元）,调和平均数的应用 调和平均数在心理与教育研究方面的应用，主要是用以描述学习速度方面的问题。,三、调和平均数 调和平均数的概念 调和平均数是一组数据

13、倒数的算术平均数的倒数，亦称倒数平均数。用 表示。,例如：一个学生阅读两页书，读前一页的速度是每小时20页，读后一页的速度是每小时40页，问平均每小时阅读速度是多少？,如果用算术平均数计算该生阅读速度，则每小时为30页，即：,但与实际情况不符，因为,读第一页用时 （分），读第二页用时 （分） 两页共用 （分）。,如果用算术平均数每小时为30页的阅读速度，则 分钟应当阅读 （页），而实际只读了2页。,调和平均数的计算公式 调和平均数是一组数据倒数的算术平均数的倒数，用公式 可表示为：,利用此公式求出上例平均阅读速度，并验证其合理性。,即每小时读 页，每分钟则读 页， 分钟 就读 页，恰与事实相符。,又如：4个学生每小时解题数目分别为3、4、6、8。问平均每小时解题速度如何？,调和平均数可这样解释