《高等应用数学问题的MATLAB求解-第二版》math-chap04

1、9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,第4章线性代数问题的计算机求解,高等应用数学问题的MATLAB求解,清华大学出版社2008,CAI课件开发：薛定宇、刘莹莹、董雯彬,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,第4章 线性代数问题的计算机求解,特殊矩阵的输入 矩阵基本分析 矩阵的基本变换与分解 矩阵方程的计算机求解 非线性运算与矩阵函数求值,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.1 特殊矩阵的输入,数值矩阵的输入 符号矩阵的输入,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.1

2、.1 数值矩阵的输入,零矩阵、幺矩阵及单位矩阵 随机元素矩阵 对角元素矩阵 Hankel矩阵 Hilbert矩阵及Hilbert逆矩阵 Vandermonde 矩阵 伴随矩阵,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.1.1.1 零矩阵、幺矩阵及单位矩阵,生成零矩阵、幺矩阵及单位矩阵的语法格式 方阵,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,矩形矩阵 生成和矩阵 同样维数的矩阵 支持多维数组和其他数据结构,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.1,生成一个 的零矩阵 ，并可以 生成一个和 维数相同的扩

3、展单位阵 MATLAB求解语句 注意：zeros()和 ones()也可用于多维数组的生成,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.1.1.2 随机元素矩阵,矩阵的随机元素满足在 区间上的均匀分布 调用格式 生成 阶标准均匀分布伪随机数方阵 生成 阶标准均匀分布伪随机数矩阵,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,函数rand()也可以用于定义多维数组 定义一个与 同样大小的随机矩阵 生成 区间上均匀分布的随机数,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,生成满足N(0,1)的正态分布的随机矩阵 生成满足N(

4、m,s2)正态分布的随机数,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.1.1.3 对角元素矩阵,对角矩阵的数学描述 其中，所有的非对角元素都为 0,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,已知向量生成对角矩阵 已知矩阵提取对角元素列向量 生成主对角线上第k条对角线为V的矩阵 注意：k可以是负整数,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.2,diag()函数的不同调用格式 生成对角矩阵 对角元素提取 生成主对角线上第k条对角线为V的矩阵,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30

5、,构造三对角矩阵 构造矩阵,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,构造块对角矩阵 调用格式,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.1.1.4 Hankel 矩阵,Hankel矩阵的一般形式 给定两个向量 和,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,其中， 是第一列， 是第一行 构造上三角Hankel矩阵,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.3,建立如下的Hankel矩阵 MATLAB求解语句,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.

6、1.1.5 Hilbert矩阵及Hilbert逆矩阵,Hilbert矩阵的一般形式 其中，,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,产生Hilbert矩阵的MATLAB函数 求取Hilbert逆矩阵的MATLAB函数 注意：Hilbert矩阵本身接近奇异的性质，在处理该矩阵时建议尽量采用符号运算工具箱,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.1.1.6 Vandermonde 矩阵,Vandermonde矩阵的数学描述 其中， 生成Vandermonde矩阵,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.

7、4,试建立Vandermonde 矩阵 MATLAB求解语句,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.1.1.7 Companion matrices,一个首一化的多项式 其伴随矩阵,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,生成伴随矩阵的MATLAB函数调用格式 其中， 为一多项式向量，该函数将自动对多项式进行首一化处理,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.5,考虑一个多项式 求出它的伴随矩阵 MATLAB求解语句,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.1.2

8、符号矩阵的输入,将数值矩阵A转换成符号矩阵，以便求出解析解 转换成符号矩阵的语法格式 一些特殊矩阵，需要编写重载的函数，并置于目录sym下 compan, hankel, vander,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,构造符号伴随矩阵,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.6,给定多项式如下 用解析方法建立其伴随矩阵 MATLAB求解语句,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,构造符号Hankel矩阵,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,构造符号Vanderm

9、onde 矩阵 以上三个函数应当存在sym目录下 避免与现有的函数冲突,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.2 矩阵基本分析,矩阵基本概念与性质 逆矩阵与广义逆矩阵 矩阵的特征值问题,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.2.1 矩阵基本概念与性质,行列式 矩阵的迹 矩阵的秩 矩阵范数 特征多项式 矩阵多项式的求解 符号多项式与数值多项式的转换,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.2.1.1 行列式,矩阵 的行列式定义为 函数调用格式 注意：该函数既可用于数值运算又可用于符号运算,9/15

10、/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.7,计算如下矩阵的行列式 MATLAB求解语句,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.8,用解析方法计算出 的Hilbert 矩阵的行列式 MATLAB求解语句 结果,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.2.1.2 矩阵的迹,假设一个方阵为 它的迹定义为 函数调用格式,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.2.1.3 矩阵的秩,矩阵A的秩定义为 为列秩， 为行秩 调用格式 数值方法或符号方法求秩 给定精度 下求数值秩,9

11、/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.9,求下列矩阵的秩 MATLAB求解语句,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.10,用数值方法和解析方法求解 的Hilbert矩阵的秩 MATLAB求解语句 数值方法 解析方法 数值方法可能得出错误的结果,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.2.1.4 矩阵范数,函数 为 向量的范数的条件： 且 的充要条件是 ，a为任意标量 对向量 和 ，有,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,以下的p-范数满足以上的三个条件 并

12、且 为向量范数的记号,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,对任意非0向量 , 矩阵A的范数是 常用的矩阵范数,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,为 矩阵的特征值，而 为矩阵 的最大 特征值 函数调用格式 默认的格式 选项可以是 1,2, inf, fro 注意：norm() 函数仅用于数值矩阵,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,计算下列矩阵的各种范数 MATLAB求解语句,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.2.1.5 特征多项式,由矩阵 得如下多项式 多项式

13、 是矩阵 的特征多项式 函数调用格式,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.11,求出如下矩阵的特征多项式 直接计算,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,使用符号运算工具箱 Leverrier-Faddeev 递推算法 其中 这里使用了循环结构,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,编写MATLAB函数 函数主体,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,代码，接上页,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.12,试推导出向量 对应的

14、Hankel矩阵的 特征多项式 MATLAB求解语句,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,如果多项式的表述如下 则 并且 这里使用了循环结构,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,构造一个MATLAB函数,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.13,提取由向量 构成的Hankel矩阵的特征多项式的系数 MATLAB solutions:,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.2.1.6 矩阵多项式的求解,矩阵多项式的数学表示 函数调用格式 其中， 是特征多项式的

15、按降幂排列的系数,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,点运算方式定义多项式运算 函数调用格式 给出多项式p (符号运算工具箱),9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,Cayley-Hamilton 定理: 若矩阵 的特征多项式为 那么, ，即,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.14,以Vandermonde矩阵为一个例，证明Cayley-Hamilton定理 MATLAB求解语句(错误的): 使用poly1()函数,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.2.

16、1.7 符号多项式与数值多项式的转换,给定向量 数值多项式系数构成的向量转换成多项式表示 符号表达式转换成系数向量的形式,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.15,分别用数值形式和符号形式表示下面的多项式 转换成符号形式的多项式 转换成数值形式的多项式,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.2.2 逆矩阵与广义逆矩阵,矩阵的逆矩阵 矩阵的广义逆,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.2.2.1 矩阵的逆矩阵,逆矩阵的数学描述 其中， 是一个 的非奇异方阵，那么 函数调用格式,9/15/2

17、020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.16,求Hilbert矩阵的逆 Hilbert矩阵 使用invhilb()函数来直接得到逆矩阵,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,Hilbert矩阵 Hilbert矩阵,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,符号矩阵 Hilbert逆矩阵 Hilbert逆矩阵,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.17,求如下奇异矩阵的逆矩阵 MATLAB求解语句 使用符号运算工具箱,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:

18、30,例 4.18,推导如下Hankel矩阵的逆矩阵 MATLAB求解语句,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,本行变换的方式求解矩阵的逆,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.2.2.2 矩阵的广义逆,适用于奇异或/和矩形矩阵 如果存在 ，那么 就叫做 的广义逆矩阵，记为 不唯一 定义范数最小化指标,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,矩阵 为矩阵 的Moore-Penrose广义逆矩阵的条件： (i) (ii) (iii) 和 均为Hermite对称矩阵 记为 唯一的,Moore-Penros

19、e广义逆,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,调用格式 按默认精度求取Moore-Penrose广义逆 按指定精度 求解广义逆矩阵,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.19,使用pinv()函数来计算下述矩阵的逆 MATLAB 求解语句,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,检验Moore-Penrose广义逆的三个条件 检验,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.20,对下述矩阵进行基本分析 求秩,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:

20、08:30,求广义逆并验证结果,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.2.3 矩阵的特征值问题,一般矩阵的特征值与特征向量 矩阵的广义特征向量问题,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.2.3.1 一般矩阵的特征值与特征向量,数学描述 非零向量 是特征向量, 数值 是特征值 调用格式 或,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.21,计算下述矩阵的特征值和特征向量 直接运算,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,求出特征根的精确解 结果：,9/15/2020星期

21、六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.2.3.2 矩阵的广义特征向量问题,数学描述 非零向量 是特征向量, 数值 是特征值， 是整定对称矩阵 调用格式 或,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.22,已知 如下，试求它们的广义特征值与特征向量矩阵。 矩阵,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,MATLAB求解语句,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.3 矩阵的基本变换与分解,矩阵的相似变换与正交矩阵 矩阵的三角分解和Cholesky分解 矩阵的伴随变换、对角变换和Jordan变换

22、 矩阵的奇异值分解,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.3.1 矩阵的相似变换与正交矩阵,矩阵的相似变换的数学描述 正交矩阵的数学描述 函数调用格式,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.23,求下列矩阵的正交矩阵 MATLAB求解语句和证明,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.24,给定 试求出其正交基矩阵并证明其性质,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.3.2 矩阵的三角分解和Cholesky分解,一般矩阵的三角分解 对称矩阵的三角分解 Ch

23、olesky分解 正定、正规矩阵的定义与判定,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.3.2.1 一般矩阵的三角分解,数学描述 其中,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,递推计算公式： 递推初值：,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,MATLAB函数调用格式 LU分解 为置换矩阵,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,LU分解的MATLAB解析程序, 置于sym下,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.25,给定 两种方法调用lu(

24、)函数 MATLAB求解语句 步骤1：,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,步骤2： 证明： 解析解,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.3.2.2 对称矩阵的三角分解Cholesky分解,数学描述 其中 是对称矩阵,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,对称矩阵的 Cholesky 分解算法 函数调用格式,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,重载函数 chol()，求解析解，置于目录sym下 注意：Cholesky分解不能用于非对称矩阵,9/15/2020星期六,

25、 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.26,对下列矩阵进行Cholesky分解 MATLAB求解语句,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.3.2.3 正定、正规矩阵的定义与判定,数学描述 正定矩阵：对称矩阵所有的主子行列式均为正数,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,判定正定矩阵的调用格式 正规矩阵 其中 是负数方阵, 是 的Hermite转置 检验正规矩阵的调用格式,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.27,给定 判定它是否为正定矩阵，并对其进行Cholesky分解. MA

26、TLAB求解语句,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.3.3 矩阵的伴随变换、对角变换和Jordan变换,一般矩阵变换成伴随矩阵 矩阵的对角化 矩阵的Jordan变换,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.3.3.1 一般矩阵变换成伴随矩阵,如果存在非奇异矩阵 和列向量 矩阵 可以转换成一个与类似伴随矩阵的形式,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.28,给定 将该矩阵转换成伴随矩阵 MATLAB求解语句,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,接上页 标准伴

27、随形式,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.3.3.2 矩阵的对角化,如果矩阵 的特征值互异，则特征向量矩阵 为非奇异矩阵，可将原矩阵变换成对角矩阵 含有复数特征根的矩阵能得出复数的对角矩阵和复数相似变换矩阵。,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.29,试求出下述矩阵的对角矩阵及变换矩阵 MATLAB求解语句,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.30,试求出下述矩阵的对角矩阵变换 MATLAB求解语句,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,如若得出实

28、矩阵 可以得出改进的Jordan矩阵及其变换矩阵为,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.3.3.3 矩阵的Jordan变换,Jordan变换用于处理含有重特征值的矩阵 函数调用格式 只返回Jordan矩阵 返回Jordan矩阵 ，和广义特征向量矩阵,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.31,给定 分别用数值方法和解析方法求出该矩阵的特征值与特征向量矩阵,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,数值和解析方法,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.32,求

29、如下矩阵的Jordan分解 MATLAB 求解语句,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.33,试得出下面矩阵的Jordan标准型和变换矩阵,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,MATLAB求解语句,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,得出实矩阵 直接进行相似变换,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.3.4 矩阵的奇异值分解,数学描述 理论上 奇异值定义 其中， 是非负特征值,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.34,

30、给定 计算它的秩，其中 计算 MATLAB直接求解,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,奇异值分解(SVD)的数学描述 其中， 是一个 矩阵， 和 为正交矩阵 是对角矩阵 对角元素满足,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,函数调用格式 只计算矩阵的奇异值 矩阵奇异值与变换矩阵,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,矩阵的条件数 其中， 和 是最大的奇异值， 和 是最大的奇异值 函数调用格式,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.35,对下列矩阵进行奇异值分解 MA

31、TLAB求解语句： 条件数,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.36,对下面的矩阵进行奇异值分解，并验证结果 MATLAB求解语句,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.4 矩阵方程的计算机求解,线性方程组的计算机求解 Lyapunov方程的计算机求解 Sylvester方程的计算机求解 Riccati方程的计算机求解,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.4.1 线性方程组的计算机求解,数学描述 其中， 和 为给定矩阵,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30

32、,存在定理： 当 并且 ，则唯一解存在 函数调用格式 注意：推荐使用符号运算方法,唯一解,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.37,求解线性代数方程,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,MATLAB求解语句：,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,解的判定矩阵 当 , 则方程组有无穷多个解,方程组有无穷多解,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,通解 其中， 是任意常数 函数调用格式 求解 矩阵的化零矩阵 求解 矩阵的化零矩阵的规范形式,9/15/2020星期六,

33、 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.38,求下列方程组的解 MATLAB求解语句 判定矩阵方程的可解性,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,通解 采用基本行变换方法：,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.39,试求解线性代数方程组,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,MATLAB求解语句：,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,如果 ，则只能利用Moore-Penrose广义逆求解出方程的最小二乘解 它使误差的范数测度取最小值.,方程组无解,9/1

34、5/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.40,试求方程组 MATLAB求解语句 最小二乘解,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,如果线性方程组为 对上式两端进行转置处理 式中， 再套用上述的几种情况，则可以求解原始线性方程组,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.4.2 Lyapunov方程的计算机求解,连续Lyapunov方程 Lyapunov方程的解析解 Stein方程的求解 离散Lyapunov方程,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.4.2.1 连续Lya

35、punov方程,书序描述 这里，假定 为对称正定的 矩阵 函数调用格式（该函数为控制系统工具箱中的函数）,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.41,给定 求解相应的Lyapunov方程，并验证精度 MATLAB求解语句,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.4.2.2 Lyapunov方程的解析解,数学描述 将Lyapunov方程的各个矩阵参数表示为,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,接前页 可以将Lyapunov方程改写成:,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08

36、:30,表示矩阵 和 的Kronecker乘积 函数调用格式,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.42,给定 试求解得到Lyapunov方程的解析解 MATLAB求解语句：,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.43,假定 其中， 不为实对称正定矩阵 考察，由它们构成的Lyapunov方程是否有解,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,MATLAB求解语句 结论：不考虑Lyapunov方程稳定性的物理意义和函数的能量意义，矩阵C可以是任一个,9/15/2020星期六, 2008-9- 6

37、, 13:08:30,4.4.2.3 Stein方程的求解,数学描述 所有矩阵都为 方阵 令 为 矩阵的向量展开， 为 矩阵的向量展开，Stein方程可以由下面的线性方程直接解出,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.44,试求解Stein方程 MATLAB求解语句,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.4.2.4 离散Lyapunov方程,数学描述 函数调用格式,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.45,求解离散Lyapunov方程 MATLAB求解语句,9/15/2020星期六,

38、 2008-9- 6, 13:08:30,4.4.3 Sylvester方程的计算机求解,广义Lyapunov方程的数学描述 函数调用格式 使用Kronecker乘积得到解析解,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,构造MATLAB函数,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,函数调用格式 连续Lyapunov方程 离散Lyapunov方程，重新写成 Sylvester方程,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.46,求解下面的Sylvester方程,9/15/2020星期六, 2008-9- 6,

39、 13:08:30,数值解 解析解,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.47,是得到如下方程的解析解 MATLAB求解语句,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.48,求解下面的Sylvester方程 MATLAB求解语句,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.4.4 Riccati方程的计算机求解,Riccati方程的数学描述 函数调用格式 注意：函数are( )是基于数值运算的方法，ARE表示 “algebraic Riccati equation.”,9/15/2020星期六,

40、 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.49,解由如下矩阵构成的Riccati方程,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,MATLAB求解语句 结果 遗留问题：对于二次方程，只能得到一个解，见第六章,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.5 非线性运算与矩阵函数求值,面向矩阵元素的非线性运算 矩阵函数求值,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.5.1 面向矩阵元素的非线性运算,常用的面向矩阵元素的非线性运算函数,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,接上页

41、函数调用格式,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.50,给定 对该矩阵进行面向矩阵元素的指数和正弦运算 MATLAB求解语句,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.5.2 矩阵函数求值,矩阵指数的运算 矩阵的三角函数运算 矩阵三角函数的解析求解 一般矩阵函数的运算,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.5.2.1 矩阵指数的运算,共有19种不同的数值算法可以求解出矩阵指数 MATLAB的内置函数的调用格式 也可以同样用于符号运算,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:0

42、8:30,例 4.51,给定 求出 ， 和解析解 数值求解法,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,函数expm()也可用于符号矩阵的求解 结果,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.52,给定矩阵 试求出 MATLAB求解语句,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,使用基于Jordan矩阵变换的矩阵处理方法： 那么，原矩阵的指数函数为,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,4.5.2.2 矩阵的三角函数运算,MATLAB下没有对矩阵进行三角函数运算的现成函数 求解任意非线性矩阵函数的函数调用格式,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.53,给定 求出 MATLAB求解语句,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,正弦函数的Taylor级数展开 构造一个MATLAB函数，实现正弦函数幂级数的展开,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,例 4.54,给定 试求出 MATLAB求解语句,9/15/2020星期六, 2008-9- 6, 13:08:30,根据著名的Euler公式 推导出 此公式可以直接用于矩阵的形式,4.5.2.3 矩阵三角函数的解析求解,9/1