7.3 偏导数与全微分.ppt

1、四、小结 思考题,一、偏导数,三、高阶偏导数,6.4 偏导数与全微分,二、全微分,一、偏导数,1.【偏导数的定义】,(1)【二元函数在一点处的偏导数】,(2)【二元函数在区域内的偏导数】,注意求偏导的方法！,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如u = f (x , y , z) 在(x , y , z) 处,(3)【多元函数的偏导数】,例1 . 求,解法1,解法2,在点(1 , 2) 处的偏导数.,先求后代,先代后求再代,【解】,不存在,例7.9 例7.10 例7.11,2.【有关偏导数的几点说明】,(1),(2),求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,解,例如,一元函数中在某点可导 连

2、续，,多元函数中在某点偏导数存在 连续，,(3). 【偏导数存在与连续的关系】,？,【解】,【例7.12】,按定义可知：,但函数在原点处并不连续(令y=kx,知极限不存在,故不连续).,偏导数存在,【思考题】连续 偏导数存在.,？,【结论】,连续.,(4). 【偏导数的几何意义】,如图,(复习:反函数求导法则的几何意义),【几何意义】,复习,一元函数,在,可微,微分,即,二、全微分,由一元函数微分学中增量与微分的关系得,2. 【全增量的概念】,1. 【偏增量与偏微分】,二元函数 对x和对y的偏增量,二元函数 对x和对y的偏微分,3.【全微分定义】,即,【定义】,函数可微的充分条件与必要条件,1

3、. 【可微的必要条件】,事实上,可微,连续,【定理7.2】,即：,可导与可微的关系: 一元函数：在某点的导数存在 微分存在,多元函数：各偏导数存在 全微分存在,？,【结论】多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在。故偏导数存在是可微分的必要条件而不是充分条件。,即 可微 可偏导,【警惕】若偏导数存在，虽能从形式上写出,但它不一定是函数的全微分.,但如果再假定多元函数的各个偏导数连续，则可以证明函数是可微分的。即有下面的定理。,(1)习惯上，记全微分为,(3)全微分的定义（或叠加原理）可推广到三元及三元以上函数,(2)全微分符合叠加原理即：全微分=各偏微分之和,【注】,2.【可微的充分条件】,

4、3. 【充要条件】,（即是定义）,【注意】用全微分定义验证一个可导函数的可微性只需,?,验证,例7.14 偏微分在近似计算中的应用。 例7.15,多元函数的极限存在、连续、可偏导、可微、偏导数连续之间的关系,三、高阶偏导数,设 z = f (x , y)在域 D 内存在偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z = f ( x , y ),的二阶偏导数 .,按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导,数:,【定义式】,其余类推,(2) 同样可得：三阶、四阶、以及n 阶偏导数。,(3) 定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。,【解】,例7.17,说明:,函数在其定义区域内是连续的 ,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,而初等,证明,具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？,(2)【问题】,即混合偏导数与求导次序无关.,即：二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的先后顺序无关。,例7.18,偏导数的定义：,偏导数的计算,高阶偏导数,（偏增量比的极限）,纯偏导,混合偏导,（相等的条件）,四、小结,可偏导与连续的关系：,可偏导,连续,多元函数全微分的概念；,多元函数全微分的求法；,多元