2013届人教优化设计第一轮数学理复习课件3.4.ppt

1、3.4微积分基本定理,知识梳理,1.定积分的定义和相关概念,(1)如果函数f(x)在区间a,b上连续,用分点a=x0x1xi-1xixn=b将区间a,b等分成n个小区间,在每个小区间xi-1,xi上任取一点i(i=1,2,n),作和式,当n时,上述和式无限接近,这个叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分,记作,即f(x)dx=.,(2)在f(x)dx中,分别叫做积分下限与积分上限,区间叫 做积分区间,叫做被积函数,叫做积分变量,叫做被积式.,(1)f(i)x=f(i)某个常数常数f(x)dxf(i),(2)a与ba,b函数f(x)xf(x)dx,答案：,(1)当函数f(x)在区间a,b上恒为正

2、时,定积分f(x)dx的几何意义是由 直线x=a,x=b(ab),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(甲图中阴影部分).,2.定积分的几何意义,(2)一般情况下,定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及 直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积的代数和(乙图中阴影所示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.,(1)kf(x)dx=(k为常数);,(2)f(x)g(x)dx=;,(3)f(x)dx=(其中acb).,3.定积分的性质,答案：(1)kf(x)dx(2)f(x)dx,g(x)dx(3)f(x)dx+f(x)dx

3、,4.微积分基本定理,一般地,如果f(x)是在区间a,b上的连续函数,且F(x)=f(x).那么f(x)dx =.,这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿莱布尼茨公式.,其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.,为了方便,我们常把F(b)-F(a)记作,即f(x)dx=F(x)=F(b)-F(a).,答案：F(b)-F(a)F(x),基础自测,1.dx=().,A.-2ln 2B.2ln 2C.-ln 2D.ln 2,答案：D,2.下列值等于1的积分是().,A.xdxB.(x+1)dx,C.1dxD.dx,答案：C,3.函数F(x)=t(t-4)dt在-1,5上().,A.有最大值0,无最小值

4、,B.有最大值0,最小值-,C.有最小值-,无最大值,D.既无最大值也无最小值,答案：B,4.如图,函数y=-x2+2x+1与y=1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分),则该闭合图形的面积是().,A.1B.C.D.2,答案：B,5.根据定积分的几何意义计算定积分:|x-2|dx=.,6.用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm,此时用的力是200 N,变力F做的功W为J.,答案：1,答案：10,思维拓展,1.若积分变量为t,则f(x)dx与f(t)dt是否相等?,提示:相等.,2.一个函数的导数是唯一的,反过来导函数的原函数唯一吗?,提示:一个函数的导数是唯一的,而导函数的原函数则有无穷多个,这

5、些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于计算.,3.定积分f(x)-g(x)dx(f(x)g(x)的几何意义是什么?,提示:由直线x=a,x=b和曲线y=f(x),y=g(x)所围成的曲边梯形的面积.,一、利用微积分基本定理计算定积分,【例1】 计算下列定积分:,(1)(3x2-2x+1)dx;,(2)dx.,解:(1)(3x2-2x+1)dx=(x3-x2+x)=24.,(2)dx=xdx+dx+dx=x2+ln x-,=(e2-1)+(ln e-ln 1)-,=e2-+.,方法提炼计算一些简单的定

6、积分,解题的步骤是:,(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差;,(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分;,(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数;,(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值;,(5)计算原始定积分的值.,请做针对训练2,二、定积分在物理中的应用,【例2】 列车以72 km/h的速度行驶,当制动时列车获得加速度a=-0.4 m/s2,问列车应在进站前多长时间,以及离车站多远处开始制动?,解:因列车停在车站时,速度为0,故应先求出速度的表达式,之后 令v=0,求出t,再根据v和t应用定积分求出路程.,已知列车速度v0=72 km/

7、h=20 m/s,列车制动时获得的加速度为a=-0.4 m/s2,设列车开始制动到经过t秒后的速度为v,则v=v0+adt=20-0.4dt=20-0.4t,令v=0,得t=50(s).,设该列车由开始制动到停止时所走的路程是s,则s=vdt=(20-0.4t)dt=500(m),所以列车应在进站前50 s,以及离车站500 m处开始制动.,方法提炼1.作变速运动的物体在一段时间间隔内所经 过的路程,可以利用该物体运动的速度关于时间的函数在该时间段上的积分来求解.因此要求一个物体在一段时间内的位移,只要求出其运动的速度函数,再利用微积分基本定理求出该时间段上的定积分即可,即物体作变速直线运动的

8、路程s,等于其速度函数v=v(t)(v(t)0)在时间区间a,b上的定积分v(t)dt.另外物体作变速直线运动的速 度v,等于加速度函数a=a(t)在时间区间a,b上的定积分a(t)dt.,2.如果力F(x)使得物体沿力的方向由x=a运动到x=b(ab),则力F(x)对物体所做的功W=F(x)dx.,请做针对训练3,(1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S与t的函数关系式S=f(t);,(2)求函数S=f(t)在区间(0,1上的最大值.,三、定积分的综合应用,【例3-1】 如图所示,已知曲线C1:y=x2与曲线C2:y=-x2+2ax(a1)交于点O,A,直线x=t(0t1)与曲线C1

9、,C2分别相交于点D,B,连接OD,DA,AB.,解:(1)由,解得或,O(0,0),A(a,a2).,又由已知得B(t,-t2+2at),D(t,t2),S=(-x2+2ax)dx-tt2+(-t2+2at-t2)(a-t),S=f(t)=t3-at2+a2t(0t1).,(2)f(t)=t2-2at+a2,令f(t)=0,即t2-2at+a2=0.,解得t=(2-)a或t=(2+)a.,=-t3+(-t2+at)(a-t),=-t3+at2-t3+t3-2at2+a2t,=t3-at2+a2t.,01,t=(2+)a应舍去.,当(2-)a1,即a=时,0t1,f(t)0.,f(t)在区间(

10、0,1上单调递增,S的最大值是f(1)=a2-a+.,若(2-)a1,即1a时,当00.,当(2-)at1时,f(t)0.,f(t)在区间(0,(2-)a上单调递增,在区间(2-)a,1上单调递减.,f(t)的最大值是f(2-)a),=(2-)a3-a(2-)a2+a2(2-)a=a3.,综上所述f(t)max=,【例3-2】 如图所示,抛物线y=4-x2与直线y=3x的两交点为A,B,点P在抛物线上从A向B运动.,(1)求使PAB的面积最大时P点的坐标(a,b);,(2)在(1)的条件下,证明由抛物线与线段AB围成的图形,被直线x=a分,为面积相等的两部分.,解:(1)解方程组得x1=1,x2=-4.,抛物线y=4-x2与直线y=3x的交点为A(1,3),B(-4,-12),P点的横坐标a(-4,1),点P(a,b)到直线y=3x的距离为d=,P点在抛物线上,b=4-a2,d=(4-3a-a2),令da=(4-3a-a2),=(-2a-3)=0,a=-,即当a=-时,d最大,这时b=4-=,P点的坐标为时,PAB的面积最大.,(2)设上述抛物线与直线所围成的面积为S,位于x=-的右侧的面积为 S1.,S=(4-x2-3x)dx=,S1=(4-x2-3x)dx=,S=2S1,即直线x=-平分S.,方法提炼1.由