四川大学理论力学第十三章

1、第13章 虚位移原理,虚位移原理是以分析的方法研究非自由质点系的平衡问题，该原理不但能简捷地处理非自由质点系的静力学问题，而且结合达朗贝原理还能建立普遍形式的动力学微分方程。,13.1 约束及其分类,对质点系运动的限制条件称为约束(constraint),约束条件的数学表达式称为约束方程或约束不等式。,球面摆, 单面约束与双面约束,在约束方程中用严格的等号表示的约束称为双面约束(bilateral constraint),含有不等号表示的约束称为单面约束(ulilateral constraint) 。例如在球面上运动的质点,如果规定质点不能离开球面,则约束是双面的;否则,约束就是单面的。,柔

2、绳连接的单摆,单面约束, 定常约束与非定常约束,约束方程不显含时间t的约束称为定常约束或稳定约束(scleronomic constraint); 反之, 如果约束方程显含时间t, 则称为非定常约束或不稳定约束(rheonomic constraint) 。,摆长可变的单摆,非定常约束的例子, 完整约束与非完整约束,只限制系统中各质点的位置的约束称为几何约束(geometrical constraint),其约束方程是坐标和时间的有限方程。,曲柄连杆机构,xA2 + yA2 = r2,xB = 0,xA2 +(yByA)2 = l2,约束方程:,xA2 + yA2 = l12,(xBxA )2

3、 +(yByA)2 = l22,双数学摆,与几何约束相对应的是运动约束(constraint of motion), 即限制质点运动速度的约束,其约束方程是含有坐标和时间以及坐标对时间的导数的微分方程。,沿水平直线纯滚的圆盘,上述约束为运动约束,但其约束方程可积分为有限形式,从而转化为几何约束。几何约束和可积分的运动约束称为完整约束(holonomic constraint)。这里可积分的意思是不依赖于运动方程而单独积分成有限形式。不可积分的运动约束称为非完整约束(nonholonomic constraint) 。,两质点用长为l的刚性轻杆连接,在水平面上运动,杆中点M的速度只能沿杆向。,故

4、非完整约束方程为,13.2 广义坐标及自由度,适当选取的唯一确定质点系位置的一组独立变量称为广义坐标(generalized coordinate)。对于完整系统(仅受完整约束的系统),其广义坐标数即为系统的自由度(degree of freedom)。,小球在三维空间的运动,自由度为3, 广义坐标可选直角坐标x,y,z。,当它被限制在平面z=b上运动时, 自由度为2, 广义坐标可选直角坐标x,y;或极坐标r,。,(x,y),xA2 + yA2 = r2,xB = 0,xA2 +(yByA)2 = l2,确定质点系位置所需的独立变量数为1, 即系统的自由度为1, 可在 xA、yA和 yB 中任

5、选一个作为广义坐标, 但是选取角有时会更方便。,曲柄连杆机构,xA2 + yA2 = l12,(xBxA )2 +(yByA)2 = l22,系统的自由度为2, 可在xA、yA 、xB 和 yB 中任选2个能唯一确定系统位形的变量作为广义坐标, 当然也可以选取1和2 。,广义坐标不一定是直角坐标,也可以是球坐标、柱坐标、角度、距离、面积等等,只要它是一组能唯一确定系统位形的独立变量就行。,双数学摆,13.3 虚位移, 可能位移(possible displacement) 是指约束所允许的系统的任何一组无限小位移。,本节将引入可能位移、实位移和虚位移的概念,研究它们之间的关系,以及它们要满足的

6、条件。, 实位移,在无限小时间间隔dt内,系统的真实运动所产生的位移称为实位移(actual displacement)。,所谓真实运动,是指既满足约束方程又满足运动微分方程和初始条件的系统运动。因此,在任意时刻,系统的实位移是唯一的,并且是可能位移之一。但反过来,任意一组可能位移则不一定是实位移。, 虚位移,在定常约束的情况下, 可能位移就是虚位移(virtual displacement)。在非定常约束的情况下,虚位移是约束被冻结后的可能位移。,定常约束,非定常约束,可能位移和虚位移是纯碎的几何概念,它们不涉及系统的实际运动,与运动方程和初始条件无关。实位移是系统真实运动产生的位移,是可能

7、位移中的一个。 一般说,系统的可能位移和虚位移都不是唯一的,在不破坏约束的前提下, 具有一定的任意性; 但实位移却是唯一的。 在定常约束的情况下,虚位移与可能位移相一致,实位移是虚位移中的一个。在非定常约束的情况下,虚位移是约束被凝固后的可能位移,实位移是可能位移中的一个,但不是虚位移中的一个。,注意:,13.4 虚位移原理,一、 虚位移的计算,本节讨论如何确定非自由质点系的虚位移之间的关系,仅研究定常的完整系统, 常用的方法有几何法和解析法。, 几何法,在定常约束的情况下,实位移是虚位移中的一个, 而质点的实位移是与其速度成正比的, 故可用求速度的几何法来分析各质点的虚位移之间的关系, 这就

8、是几何法的主要思路。, 解析法,解析法是将各质点的坐标表示为广义坐标的函数,然后再求变分,得到用广义坐标的独立变分表示的虚位移。,例1 图示曲柄连杆机构,已知和 ,OA=AD,试确定A、B和D的虚位移之间的关系。,解: 系统的自由度为1,独立的虚位移只有一个。A、B和D的虚位移如图示。根据相应的速度关系可得,例2 图示双数学摆,已知l1和l2, 试确定A 和B 的虚位移之间的关系。,解: 系统的自由度为2 , 取1和2为广义坐标,如图所示有,二、 虚位移原理,具有定常、理想约束的完整系统平衡的充分必要条件是 : 作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上的元功总和为零。,上述结论称为虚位移原理(p

9、rinciple of virtual displacement),其表达式为,虚位移原理是分析静力学的基本原理,因为力在虚位移上的功称为虚功,故虚位移原理也称为虚功原理(principle of virtual work)。, 虚位移原理,关于虚功原理与刚体静力学平衡条件的两点说明: 虚功原理常常被认为是更普遍的原理; 虚功原理的基本思想是一种变分原理的思想。, 理想约束,如果质点系所受的约束力在任意虚位移上的元功总和为零,则该约束称为理想约束(ideal constraint)。,这是理想约束的一般定义,显然,在定常约束的情况下,它与原有的定义没有区别。但在非定常约束的情况下,它们是不同的

10、。,理论力学,虚位移原理(二),三、 虚位移原理的应用,虚位移原理特别适合于解以下几类静力学问题:在机构的平衡问题中求主动力之间的关系; 求系统的平衡位置; 求系统平衡时的个别约束力。,求平衡系统的约束力时,首先要解除与之对应的约束, 代之以约束力, 并将该约束力当作主动力看待。此外, 非理想约束的约束力(例如摩擦力)必须全部视为主动力, 并计入其虚功。,例1 图示曲柄连杆机构, 已知F1 、 F2 、和 , OA=AD=R, 试求平衡力矩M。,解: A、B和D的虚位移如图示。由虚功原理可得,F1 rD sin + F2 rB M = 0,因为,rD = 2rA,rB = rA sin( +

11、)/ cos, = rA /R,例2 小球D和E重F1和F2 ,可分别沿固定的光滑金属丝AC和BC滑动, 二球用一根不可伸长的绳连接,如图所示,试求平衡时的 角。,提示: 此题是应用虚功原理求系统的平衡位置,考虑如何将二主动力的虚功表示为某个独立变分(例如 )的函数。,解: 取y轴铅直向上,由虚功原理有, F1yD F2yE = 0,因为,yD = AD sin 30,而,AD = AC l cos ,yD = (AC l cos )/2,同理可得, F1 yD F2 yE = 0,解: D、E的虚位移如图示。由虚功原理可得,因,所以,点评: (1) 对于理想约束系统,在机构的平衡问题中求主动

12、力之间的关系及求系统的平衡位置时, 应用虚功原理, 由于仅涉及主动力, 因而计算比较简洁。 (2)应用虚功原理的关键是将虚功方程左边表示成独立虚位移上的虚功总和,为此必须首先确定各个虚位移之间的关系, 常用的方法有几何法和解析法。,例3 图示桁架,已知:F,CD=3m , AD=BD=6m。试求:(1)支座B 的约束反力;(2)DB 杆的内力。,提示: 求平衡系统的约束力时,首先要解除与之对应的约束,代之以约束力,并将该约束力当作主动力看待。,解: (1) 铰B解除约束,代之以约束反力FB, B和D的虚位移如图示。由虚功原理可得,F rD FB rB = 0,而 rB=2rD,(F 2FB )

13、rD = 0,FB = F/2,(2) 解除杆DB, 代之以内力FDB及FDB如图示, 并画出相关的虚位移, 由虚功原理可得,F rD FDB rB = 0,又,rD,F rD FDB rB = 0,FDB = F,rB = rD,点评: 求平衡系统的某个约束力时, 只需要解除与之对应的约束, 代之以相应的约束力,并给予虚位移, 但必须保证不破坏结构和其它约束条件。,例4 图示均质杆AB重G ,长2l,两端均为光滑接触。如要AB杆在任何位置均能保持平衡,试求曲线OD的形状。,提示: OD曲线的形状应使其上A点的坐标在任意位置都满足虚功方程。,解: 引入坐标系如图示,由虚功原理有,G yC = 0,yC = 0,yC = (yA + yB)/2,yA + yB = 0,积分上式得,yA + yB = C1,yA + yB = 2l,再由几何关系,yA + yB = C1,当yA=0时, yB =2l, 故C1=2l, 因此,例5 图示机构,已知FP及, 滑块E处的静摩擦系数为f, AK=EK=a, CD=DK=KB=BC=b。试求机构平衡时的力FQ的取值范围。,解: 用虚功原理求解时, 摩擦力应作为