2017_18学年高中数学第一章1.2应用举例课件.pptx

1、1.2应用举例,一,二,三,一、实际应用问题中的有关术语 【问题思考】 1.填空: (1)仰角和俯角:指在同一铅直平面内,目标视线与水平视线的夹角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,视线在水平线下方的角叫做俯角.如图所示. (2)方位角:以指北方向线作为0,顺时针转到目标方向线的水平角叫做方位角.如图所示.,一,二,三,(3)方向角:相对于某一正方向的水平角,如北偏东60. (4)坡角与坡度:坡面与水平面的夹角叫做坡角,坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度(或坡比). 设坡角为,坡度为i,则i= =tan ,如图所示.,一,二,三,2.仰角、俯角、方位角有什么区别? 提示:三者的参照不同,仰

2、角与俯角是相对于水平线而言的,而方位角是相对于正北方向而言的. 3.做一做:从A处望B处的仰角为,从B处望A处的俯角为,则,的关系是() A.B.= C.+=90D.+=180 解析:要正确理解仰角、俯角的含义,准确地找出仰角、俯角的确切位置,如图,从A处望B处的仰角与从B处望A处的俯角是内错角(根据水平线平行),即=. 答案:B,一,二,三,二、三角形中的有关公式和结论 【问题思考】 1.填空: (1)在直角三角形中各元素间的关系. 在ABC中,若C=90,AB=c,AC=b,BC=a,则有, 锐角之间的关系:A+B=90. 三边之间的关系:a2+b2=c2 . 边角之间的关系:(锐角三角函

3、数的定义),一,二,三,(2)斜三角形中各元素间的关系. 在ABC中,若角A,B,C为其内角,a,b,c分别表示角A,B,C的对边,则有, 角与角之间的关系:A+B+C=;sin Acos B,sin Bcos C,sin Ccos A. 边与边之间的关系:a+bc,b+ca,c+ab,a-bc,b-ca,c-ab. 边角之间的关系. 正弦定理:_ (R为ABC外接圆的半径). 余弦定理:c2=a2+b2-2abcos C,b2=a2+c2-2accos B,a2=b2+c2-2bccos A.,一,二,三,(3)三角形中的角的变换及面积公式. 角的变换. 因为在ABC中,A+B+C=, 所以

4、sin(A+B)=sin C ;cos(A+B)=-cos C ;tan(A+B)=-tan C .,一,二,三,一,二,三,答案:B,一,二,三,三、解应用题的一般思路 【问题思考】 1.填空: (1)读懂题意,理解问题的实际背景,明确已知和所求,理清量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图,把已知和要求的量尽量集中到有关三角形中,将实际问题抽象成解三角形模型. (3)选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形的解还原为实际问题的解,注意实际问题中单位、近似计算的要求.这一思路描述如下:,一,二,三,一,二,三,2.做一做:如图,某炮兵阵地位于点A,两观察所分别位于C,D两点.已知AC

5、D为正三角形,且DC= km,当目标出现在点B时,测得CDB=45,BCD=75,则炮兵阵地与目标的距离为. (精确到0.01 km),一,二,三,解析:在BCD中,CDB=45,BCD=75, CBD=180-BCD-CDB=60.,答案:2.91 km,一,二,三,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”. (1)方向角可以是钝角. () (2)方位角可以是钝角. () (3)已知三角形的两边及其夹角可以用余弦定理解三角形. () (4)已知在ABC中,a,b,c满足c2-a2-b2+ ab=0,则该三角形为锐角三角形. () 答案:(1)(2)(3)(4)

6、,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,测量距离问题 【例1】 如图,隔河看两目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距 km的C,D两点,并测得ACB=75,BCD=45,ADC=30, ADB=45(A,B,C,D在同一平面内),求两目标A,B之间的距离. 思路分析:要求出A,B之间的距离,可在ABC(或ADB)中找关系,但不管在哪个三角形中,AC,BC这些量都是未知的,需要先在三角形中找出合适的关系式,求出它们的值,再解斜三角形即可.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,解:在ACD中,ADC=30,ACD=75+45=120,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,反思感悟测量

7、两点间距离的三种情况,求解思路如下: (1)当A,B两点之间既不可到达也不可视时,测出两边及其夹角,运用余弦定理求解. (2)当A,B两点之间可视但有一点不可到达时,测出两角及其夹边,先用内角和定理求第三角再运用正弦定理求解. (3)当A,B两点都不可到达时,先在ADC和BDC中分别求出AD,AC和BD,BC,再在ABC或ABD中运用余弦定理求解.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,对于例1,你还有其他解法吗? 解:在BCD中,因为DCB=45,BDC=75, 所以CBD=60.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,测量高度问题 【例2】 某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进4

8、0 m以后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔的最大仰角为30,求塔高. 思路分析:设塔顶为A,塔底为B,该人从点C前进40 m后到达点D,设在CD上点E处望塔顶的仰角最大,此时应有AECD,则AEB=30.为求AB,先求BE,在BCD中,BECD,结合条件解三角形可求出BE.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,解:依题意画图,某人在C处,AB为塔高,他沿CD前进,CD=40 m, 此时DBF=45,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,反思感悟求AB的高度分为以下三类,求解思路如下: (1)当BC底部可到达时,利用直角三角形的边角关系求解,则AB=atan C. (2)当BD不可到达

9、时,利用RtABD和RtABD的边角关系,表达出边a,AB与ACB,ADB之间的关系. (3)当BC,BD均不可到达时,则利用BCD和ABC及正弦定理求解.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,变式训练1如图,在测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,现测得BCD=,BDC=,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为,求塔高AB.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,测量角度问题 【例3】 如图,在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇在A处发现在北偏东45方向,相距12海里的B处水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10海里的速度沿南偏东75方向前进,若红方侦

10、察艇以每小时14海里的速度,沿北偏东45+方向拦截蓝方的小艇,若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值.,思路分析:假设经过x小时后在C处追上蓝方的小艇,作出示意图,把实际数据转化到三角形中,利用正、余弦定理求解.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,解:如图,设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇, 则AC=14x海里,BC=10 x海里,ABC=120.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,反思感悟解决追及问题的步骤: (1)把实际问题转化为数学问题; (2)画出表示实际问题的图形,并在图中标出有关的角和距离,这样借助于正弦定理或余弦定理,就容易解决问

11、题了; (3)把数学问题还原到实际问题中去.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,面积问题 【例4】 在半径为R的扇形OAB中,圆心角AOB=60,在扇形内有一个内接矩形,求内接矩形的最大面积. 思路分析:扇形的内接矩形有且仅有两种类型:一种是矩形的一边与扇形的一条半径重合;另一种是以扇形的对称轴为对称轴的矩形.我们分别求出这两种类型的矩形的最大面积,再取两者中较大的,就是符合条件的最大面积.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,解:如图所示,设PQ=x,MP=y,则矩形的面积S=xy. 连接ON,

12、令AON=,则y=Rsin . 在OMN中,利用正弦定理,得,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,反思感悟关于求面积最值问题,关键是将面积函数表达出来,先根据已知条件利用正弦定理将与矩形面积有关的量求出,再转化为求三角函数最值问题,这是这一类问题常用的解题思路.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,变式训练3如图,公园内有一块边长为2a的等边三角形ABC形状的土地,现修成草坪,图中DE把草坪分成面积相等的两部分,点D在AB上,点E在AC上. (1)设AD=x(xa),DE=y,求用x表示y的函数关系式; (2)如果DE是灌溉水管,为节约成本希望它最短,那么DE的位置应该在哪里?如果

13、DE是参观线路,那么希望它最长,DE的位置又应该在哪里?,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,解:(1)在ABC中,点D在AB上, ax2a.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,a2t10,t1-t20,f(t1)f(t2). f(t)在区间a2,2a2)内是减函数, 同理f(t)在区间2a2,4a2上是增函数. 又f(a2)=3a2,f(2a2)=2a2,f(4a2)=3a2.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,1.如图,在河岸AC测量河的宽度BC,测量下列四组数据,较适宜的是() A.a和cB.c和b C.c和D.b和 解析:在河的一岸测量河的宽度,