第三章变额年金(2).ppt

1、1,3.4、每年支付m次的递增年金,假设支付n年，每年支付m次，那么总的付款次数为 m n。 如果每年支付m次，付款又是递增的，那么将会出现下述两种情况： 同一年的每次付款相同 同一年的每次付款也是递增的,2,每年支付 m 次的递增年金：同一年的每次付款相同,现值：,注：见下页说明,3,第一年内所有付款的现值为 第二年内所有付款的现值为 第n年内所有付款的现值为 因此该项年金的现值为：,4,现值：,3.5、每年支付m次，每年递增m次的年金,5,令 在式两边同时乘以 ，则有,6,上式两边同时乘以m，则有 所以,7,比较：,(每年的付款是常数),(每年的付款递增),请大家写出累积值的公式。,8,变

2、额年金公式小结,9,10,3.7、连续支付连续递增年金,含义：连续支付，连续递增。 假设在时刻t的付款比率为t，常数利息力为d，则连续递增年金的现值为： 注意，此年金是连续递增并且连续支付的，因此上式中字母 I 和 a 上都有横线。,11,上式右边可用分部积分法展开：,12,连续递增年金的终值为,13,例：一项10年期的连续递增年金，在时刻 t 的付款比率为9t+6，利息力为9，计算此项年金在时刻零的现值。 解：可以将此项年金的现金流分解成两部分： 连续递增年金 连续等额年金 因此其现值为： 其中：,14,例：一项年金的付款期是从第2年末至第7年末，并且在时刻t的付款比率为3t-4，假设固定利

3、息力为6，试求此项年金在第7年末的终值。 解： 假设此年金的付款期是从时刻0到第7年末，则其终值可表示为： 从时刻0到第2年末的付款累积到第7年末的价值为： 因此，本例年金的终值为：,15,通过计算可得： 故本例年金的终值为：,16,连续递增的永续年金：在连续递增年金的现值公式中，令n 趋于无穷大，则可以得到连续递增永续年金的现值公式：,17,例：一项连续支付的永续年金在时刻 t 的付款比率为 3t，付款从 0 时刻起并一直延续下去，年实际利率为5，则其现值为：,18,3.8、连续支付连续递减年金,连续支付，连续递减。假设某项年金的支付期为 n 年，在时刻 t 的付款比率为 n- t，固定利息

4、力为d，则称此年金为一项连续递减年金，其现值用符号 表示。 连续递减年金的现值公式：,19,例：一份10年期的年金，在时刻 t 的付款比率为 10-t，假设利息力为5，试计算此项年金在时刻零的现值和在第10年末的终值。 解：,现值：,终值（累积值）：,20,年金公式比较,21,22,23,3.9、一般连续变额现金流,一般连续变额现金流的现值：假设付款时间是从时刻 a 到时刻 b，在时刻 t 的付款比率为rt，利息力为 dt。时刻 t支付的1在时刻 a的现值为 从时刻 a 到时刻 b 内，所有付款在时刻a的现值是将所有付款的现值加总，在连续情况下就是对它们进行积分：,24,例：一个连续支付的现金

5、流 支付期从时刻0开始到时刻0.5结束 在时刻 t 的支付率为 利息力为 试计算此现金流在时刻零的现值。 解： 现值表达式为：,25,令 则其现值为：,26,非立即支付现金流的现值：一个现金流的起始时刻为a 0，结束时刻为b，计算在0点的现值： 方法一：计算此现金流在时刻 a 的现值，再将此现值从时刻a贴现到时刻零。 方法二：改变前式对利息力积分的下积分限来得到在时刻零的现值：,27,例：一个连续支付现金流的支付率为 rt = 3 元，支付期限从时刻2到时刻6，并且具有固定的利息力dt = 0.05，试计算此现金流在时刻零的现值。 解： 改变对利息力积分的积分限，有：,28,另一种方法：先计算现金流在时刻2的现值： 从时刻2到时刻零的贴现因子为： 因此上述现金流在时刻零的现值为：,29,一般连续变额现金流的终值：在时刻t支付1元，将其累积到时刻b的终值为 为了计算从时刻a到时刻b内所有付款的终值，需要将该期间内所有付款的终值加总，在连续情况下就是对它们进行积分：,30,为了将一个连续支付的现金流累积到支