信号采样及零阶保持器

1、.82信号的采样和复现的数学描述一、 采样过程所谓理想采样，就是把一个连续信号e(t ) ，按一定的时间间隔逐点地取其瞬时值，从而得到一串脉冲序列信号e (t ) 。可见在采样瞬时，e (t ) 的脉冲强度等于相应瞬时e(t) 的幅值，即e(0t ) , e(1t ) , e( 2t) , e(nt ) ，如图 88 所示。因此，理想采样过程可以看成是一个幅值调制过程，如图 89 所示。采样器好比是一个幅值调制器， 理想脉冲序列t (t ) 作为幅值调制器的载波信号，t (t)的数学表达式为t (t )(t - nt)(81)n -其中 n 0,1,2,e(t ) 调幅后得到的信号，即采样信号

2、e (t ) 为e (t) e(t )t (t )e(t )(tnt )(82)n通常在控制系统中，假设当 t0 时，信号 e(t )0 ，因此e (t)e( 0)(t ) e(t )(t t)e(2t )(t2t )e(nt ) (tnt )(83)或e (t )e(nt )(tnt )(84)n 0式 (84)为一无穷项和式，每一项中的 (t nt ) 表示脉冲出现的时刻；而 e(nt ) 代表这一时刻的脉冲强度。式 (82)或 (84)表示了采样前的连续信号与采样后的离散信号之间的关系。 然而，一个值得提出的问题是：采样后的断续信号能否全面而真实地代表原来的连续信号呢?或者说它是否包含了

3、原连续信号的全.部信息呢 ?因为从采样 (离散化 )过程来看，“采样”是有可能会损失信息的。下面我们将从频率域着手研究这个问题。二、 采样信号的频谱假设连续信号 e(t ) 的富氏变换式为 e( j) ，采样后信号 e* (t ) 的富氏变换式用 e* ( j) 表示，下面我们来看 e ( j) 的具体表达式。由于理想脉冲序列t (t) 是一个周期函数，其周期为 t，因此它可以展开成指数形式的富氏级数，即t (t)1e jn st（85）t n其中s2t 为采样角频率。将式 (85)的结果代入 (82)式得e (t ) e(t)t (t )1e(t)ejnst（86）t n根据复位移定理；若

4、f e(t)e( j) ，则f e(t )e at e( jma)因此，式 (86)的富氏变换式为f e (t )e ( j )1(87)e( jjn s )t n假定连续信号 e(t ) 的频谱如图 810(a)所示，则根据式 (87)可得采样 (离散 )信号 e (t ) 的频谱如图 810(b)所示。由图 810，可得到如下结论：1(1) n0 的项为e( j) ，通常称为基本频谱。它正比于原连续信号e(t ) 的频谱。t.(2) 同时派生出以1jn s ) ，其中 n 1，s 为周期的，无限多个高频频谱分量e( jt 2,。 h以上表明了连续信号与它所对应的离散信号在频谱上的差别。从富

5、氏变换及其反变换的有关定理可知，在一定条件下，原函数e(t ) 与其富氏变换式 e( j) 是一一对应的，亦即由富氏变换式e( j) 可以唯一地还原成原函数 e(t) 。可以设想，如果让采样信号通过一个图811 所示的理想滤波器，将所有派生出来的高频分量全部滤掉，而同时保留其基本频谱信号。那么经过这样处理后的信号，只要将其幅值放大倍，就能完全重现原信号。t由图 810 不难看出，要想完全滤掉高频分量，筛选出基本频谱，从而根据采样信号e (t ) 来复现采样前的连续信号 e(t ) ，采样频率s 必须大于或等于连续信号e(t) 频谱中最高频率max 的两倍，即s2 max(88)这就是有名的香农

6、 (shannon)采样定理。这一定理告诉我们，只要采样频率足够高， 我们完全不必担心采样过程会损失任何信息。由图 810 也可看出，若采样频率不够高，即s2max 时，则将会出现如图 812 所示的频谱重叠现象。很明显，这时，我们就无法再把基本频谱和派生高频频谱分开；从而，也就无法重现原信号，或者说，采样过程将损失信息。另外，需要指出的是，如图811 所示的理想滤波器，实际上是不存在的。因此在工程上，通常采用性能与理想滤波器相近似的低通滤波器，其中最常用的低通滤波器就是零阶保持器。三、 零阶保持器的数学模型零阶保持器的输入、输出关系如图8 13 所示。因此，零阶保持器的作用是在信号传递过程中

7、，把第nt 时刻的采样信号值一直保持到第( n1)t 时刻的前一瞬时，把第( n1)t 时刻的采样值一直保持到(n2)t 时刻，依次类推，从而把一个脉冲序列e (t) 变成一个连续的阶梯信号eh (t) 。因为在每一个采样区间内 eh (t) 的值均为常值，亦即其一阶导数为零，故称为零阶保持器，可用“zoh”来表示。如果把阶梯信号 eh (t ) 的中点连起来，则可以得到与 e(t) 形状一致而时间上迟后半个采样周期 (t 2) 的响应曲线 e(t t ) ，如图 813 中的虚线所示。 由此也可初步估计到零阶保持器对于系统动态性能的影2响。.为了求取零阶保持器 (zoh) 的数字模型，可以从

8、图8 13 中任取一个采样周期来进行分析。零阶保持器的输入是脉冲函数，为了叙述方便，假设脉冲强度为1，即为单位脉冲函数，于是零阶保持器的输出就是单位脉冲过渡函数，该单位脉冲过渡函数的拉氏变换式，即为零阶保持器的传递函数。零阶保持器的单位脉冲过渡函数的图形是高度为1，宽度为 t 的矩形波，如图814(a)所示。为了求其拉氏变换式，可以把它分解成两个阶跃函数之和，如图814(b)所示。于是，脉冲过渡函数可表示为y(t)1(t)1(tt )相应的拉氏变换式为11ets 1 e tsy(s)sss这就是零阶保持器的传递函数，即1e tsg h (s)(89)s而零阶保持器的频率特性为1 e j tt sin(t 2)gh ( j )tt 2j2其频率特性曲线如图815 所示。与理想滤波器图8 11 相比较，可见，两者都能起低通滤波作用。不过.零阶保持器的频率特性不很理想。信号经过零阶保持器以后， 其高频分量不能完全滤掉。此外，零阶保持器具有t 2 的相角迟后。因此，零阶保持器的引入