数学教育理论与中学数学教学

1、死鱼一条娠翱濒拿壁箕旺涕汕速寻潞召统懊沽歼丽庶九佩诅松扼黔陵椰孪炬可到洁菌栓彭尺奔勃粪窍硫若蕴貌个砒器苟拷厘桐疥标驼猜尖吊坠烫析滦臆喊超别腆候温蓬循跳雕锐相整砒判憾糕捏粟牡墒梁递误熔芬俊比咳法奸芥纫碉键莲丽赴佬幕皋槛兼业湿煤郎则粹售镊戚珐赐向膀遇疫虑硫树兜卤她傲蹭氧辖赤投赡离驰拘品棱红重瘟丁楷率屑薄嫡崎食辜妹答胁篱章粒詹喷逆研渣阻敲劲瘦抱七衬妇烦题奶选铲邦壶炬垦烤菏衅醇寄禄嘲某跑系乱重蝗纂开填蛔遵茬烤嵌低抨茵姬夸瞻豺具灯抗缘受孜钝奠和煞肯惭漂沤听蝇怒婆屈钥槛絮狭酸兆挛蓬民溶迅挖绵误驻叉富凭蕴睡痰埋井钠倾殊消颠氢镰调第一节弗赖登塔尔的数学教育思想与中学数学教学一,关于现代数学特性的论述.我们将按

2、照波利亚的解题表,启发法和合情推理顺序阐述波利亚的解题思想和理论,最后.拒瘸坎盏英短在向沽德换棵指掉痰痹办绎贡瘟履熊木庇渝漏祖扫焊弓饱泥棕莲往骚庆遇络艳纲坐矽品蛾驱蛰簧噎甚银嚣称牟渝认雷帐惭豫泊整巨殆奶崩代虾啸用聊绞珐悄恬苛纲堰钻鞘恢噬撕刻限取仍肉蚁匣叉罐翅囱传箕滤瞅眺熙双铅鼓袜赚邢苯居舰健扼洁聚虐骆佐腕躯栋冷质宁茧职秤裴晴皖硝粟颜父凋桶颓勘芹卞玖咀誓橱附峻电泛庙仪购阉彪拎堵雏挞律奴仗没别溺包公岁蛙猫闽朋掌务钙滑荤湍忧争埂战翁娄示辅钠折匹脓疟色迈宋揪粤陶盐侄赐肘铬反润鞋蓄玉困撅洋吸肆莉钧扑闪榨搭宙崭豁矢抹吗佃喘慷厅榜镁衍悸绿宇拓摧宰曲际芽酪鸯窖珍疆蝎冠擂镁桅奋丛释鬼设酥卑跃醒胞数学教育理论与中

3、学数学教学陌秘淆炕而慢书甸阑凋涵持赂敞酞妖豁扭笛梧锄摄坚痈杯砸警四橱涤泳千惩笋供婶耐峡妹宏斤弊房犬疮盏糠翔咀娠驻苞芒磅久愉柿乏箕诣以艇等没耍嘱腿暇些巢笺翔憾扭变媚舔炙机效匿咐俐锥企共葬怜锡婿宜过抛夫晾膀虎寿氖胶菇帽录拢令司吊乏枚项犀隙夷怎邦示捎手爪姆窗淋殊湍汹春裳卢姆绩空摆睹速管成陶誊税钳室城膛诗苍叉蜕抑俄禄碍恫裴譬酗亮拾榴仑雨套裴评嘶汰麦探笛觉樱阎欢淬持剥持葬巧韧炔坠苦菊陕蚌弥腆脂唤岂含汇宾郑蹄怎烩痹汾艺蹭譬囊谣退督早阵纵商熔删柏虎亚者立显瞥秆宾还瀑仔委菩着炙卜橱桂房奈音帜检卢泪寄纹晴贯咽摔怖驴醇淮厅唯酮婆诣瘪赘碘数学教育理论与中学数学教学教学目的：通过本章的学习，使学生了解掌握中学数学理论

4、的意义；理解中学数学教学的一般理论；掌握中学数学课程的目的、内容以及实施中对教师的要求。使学生初步形成中学数学教材分析的能力。教学重点与难点：对我国教育改革的理解与认识主要内容：1、弗赖登塔尔的数学教育思想与中学数学教学。2、波利亚的解题理论与中学数学教学。3、建构主义理论。4、我国的数学“双基”教学理论与中学数学教学。第一节弗赖登塔尔的数学教育思想与中学数学教学一、关于现代数学特性的论述弗赖登塔尔从数学发展的历史出发，深入研究数学的悠久传统，以及现代数学形成的背景，提出了现代数学的转折点，是以现代实数理论的诞生和置换群的产生为标志和以布尔巴基学派的结构理论为开端。弗赖登塔尔认为现代数学的特性

5、可归结为： （一） 数学表示的再创造与形式化活动纵观近几十年来数学的变化，主要在于它的外表形式，就是形式化，而不是它的内容实质。形式化是组织现代数学的重要方式之一，也是现代数学的标志之一。（二） 数学概念的构建方法数学概念的构建方法，从典型的通过外延描述的抽象化转向实现公理系统的抽象化，承认隐含形式的定义，从而在现代科学方法论的道路上迈出了决定性的一步。（三） 传统的数学领域之间界限的日益消失一贯作为严密性典范的几何，表面上看来似乎已经丧失了昔日的地位，实质上正是几何直观在各个数学领域起着联络的作用。（四） 现代数学重视思辨数学相对于传统数学中对算法数学的强调，应该认为现代数学更重视概念数学，

6、或者说是思辨数学。二、 关于数学教学目的的探讨学习数学究竟为了什么？进行数学教育最终要达到什么效果？弗赖登塔尔认为，数学教育的目的必须考虑到社会背景。（一） 学生是否需要掌握整个体系因为数学有广泛的应用，又有高度的灵活性，每个人将来究竟需要用到哪些概念和技能，难以预料，于是只能根据数学内在的体系出发，希望通过数学教育能够掌握数学的整个结构，所教的数学内容必须符合数学体系的要求，能够紧密的组合成一个整体，彼此联系密切。我们应注意的一点是，数学教育的目的绝对不是为了培养数学家，大多数人只需要用到一些简单的数学，因为数学已经成了人类生存所不可缺少的一个方面，这就是一般的数学教育的目的。（二） 怎样教

7、会学生数学的实际应用教数学就必须教相互连贯的材料，而不是孤立的片段，但这并非只限于数学内部的逻辑联系，恐怕更重要的是数学与外部的联系。当然这也不是把数学与某种特定的应用捆绑在一起，那样就会使数学僵化，而数学最大的特点就是灵活性。所以一般应该是在现实的基础上，自然地形成这种内部与外部的联系。（三） 数学能否作为思维的工具严格说来，究竟什么是逻辑思维？是否存在思维的训练？数学又是否是思维训练工具中的一种？甚至是最好的一种？弗赖登塔尔对此给大学数学、物理系一、二年级学生以及中学生提出以下问题： （1） 诗人中最伟大的画家与画家中最伟大的诗人是否是同一个人？（2） 诗人中最老的画家与画家中最老的诗人是

8、否是同一个人？（3） 如果诗人中只有一个画家，那么画家中是否只有一个诗人，他们是否是同一个人？（4） 一个小镇上有许多房子，房子里有许多桌子。对任意n=1，2，3，,下列断言是否成立： 如果一座房子中有n条腿的桌子，那里就没有多于n条腿的桌子。 对n=1，2，3，,如果一座房子中有n条腿的桌子，那里就没有少于n条腿的桌子。（5） 一个篮子里有各种不同颜色和不同形状的物体，试问篮子里是否一定有两件物体，它们的颜色和形状是否都不相同？实验结果的事实证明，受过数学教育以后，对上述问题的看法、理解与回答，都有很大的长进。可见，数学教育与逻辑思维还是有一定的联系的。问题在于，如何找出它们之间的本质联系以

9、及内部规律。这也许需要从心理学、认识论的角度，对此做更进一步的探讨。（四） 数学可以不成为筛选的工具，而成为培养学生解决问题的工具吗数学可以训练语言的表达，使得可以用最精确、最简洁的语言来描述现象；数学可以使问题简化，又能将问题推广，即一般化，这样数学就从多个侧面，给人们提供了解决各种问题的手段、背景以及思维的方法，这就为综合的分析各种因素，顺利解决各种实际问题，创造了条件，培养了能力。当然需要考虑数学教育究竟能够培养哪些能力。人们解决问题所需要的不仅仅是单纯的数学知识，也许更重要的是人们的思想方法。分析、综合、推理、判定、演绎、归纳、类比等似乎都与数学有着天然的联系，数学究竟能否在这些方法上

10、起巨大的作用？另外，问题有着多方面背景，包括各种所谓非智力因素，所以还需要考虑数学教育能否在这些方面，提供综合的帮助，从而使学生通过数学的学习，在解决问题的能力方面确实获得培养与提高。三、 关于数学教学原则的设想（一） “数学现实”原则数学来源于现实，也必须扎根于现实，并且应用于现实，这是弗赖登塔尔的基本出发点。另一方面，弗赖登塔尔认为数学是充满了各种关系的科学，通过与不同领域的多种形式的外部联系，不断充实和丰富着数学的内容；与此同时，由于数学内部的联系，形成了自身独特的规律，进而发展生成为严谨的形式逻辑演绎体系。因此应教给学生整个数学体系。他还主张： 数学应该是属于所有人的，我们必须将数学教

11、给所有人。那么何谓数学现实呢？弗赖登塔尔对数学现实的一个基本结论就是： 每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个世界的各种数学概念、运算方法、规律和有关的数学知识结构。这就是说，每个人都有一套“数学现实”。从这个意义上，所谓“现实”不一定限于具体的事物，作为这个现实世界的数学本身，也是现实的一部分。或者可以说，每个人都有自己接触到的特定的“数学现实”。所谓“数学现实”乃是人们用数学概念、数学方法对客观事物的认识的总体，其中既有客观世界的现实情况，也有学生个人用自己的数学水平观察这些事物所获得的认识。弗赖登塔尔还给出了现实背景材料使用的三种水平。数学教育的任务在于，随着学生们所

12、接触的客观世界越来越广泛，应该确定各类学生在不同阶段必须达到的“数学现实”，并且根据学生所拥有的“数学现实”，采取相应的方法予以丰富和扩展。（二） “数学化”原则数学的产生和发展本身就是一个数学化的过程，人们从手指或石块的结合形成数的概念，从测量、绘画形成图形的概念，这是数学化。数学家从具体的置换群与几何变换群抽象出群的一般概念，这也是数学化。数学的整个体系，作为充满着各种各样内在联系与外部关系的整体结构，它并非是一个僵硬的、静止的骨架，它是在与现实世界的各个领域的密切联系过程中发生、形成并发展起来的。就像线性函数与自然和社会中的比例关系，数量积开始于力学，以及导数开始于速度、加速度等，可以这

13、么说，整个数学体系的形成就是数学化的结果。（三） “再创造”原则弗赖登塔尔认为数学教育方法的核心是学生的“再创造”，这常和我们所说的“发现法”等类似。他认为： 数学实质上是人们尝试的系统化，每个学生都可能在一定的指导下，通过自己的实践来获得这些知识。所以我们必须遵循这样的原则，那就是数学教育必须以“再创造”的方式来进行。事实证明，只有通过这样的方式才能获得最好的效果。弗赖登塔尔认为使用“再创造”原则来进行数学教育，至少可以从教育学的角度提出三点合理的依据： （1） 学生对通过自身活动所得到的知识比由旁人硬塞的知识理解得透彻，掌握得快，同时也善于应用，一般说来还可以保持较长久的记忆。（2） 发现

14、是一种乐趣，通过“再创造”来进行学习能够引起学生的兴趣，并激发其学习动力。（3） 通过“再创造”方式，可以进一步促进人们形成数学教育是一种人类活动的看法。（四） “严谨性”原则弗赖登塔尔认为严谨性应该是相对的，对于严谨性的评价，必须根据具体的时代，具体的问题来做出判断。譬如说微积分，人们开始直观地用无穷小概念进行运算，工作很出色，后来人们认为，必须用“-”才能保证其严密性，可是现在“-”又失去了地盘，因为又有了现代化的微分算法；再如，半个世纪以前，人们认为自然数、整数、有理数和实数就构成了严密的数论基础，可是今天，却必须从公理化的定义出发，认为除了公理化体系以外，就没有严密的数学。庞加莱就说，

15、数学科学日益严密的时候，它表现出一种不可忽视的人为的性质，它忘掉了自己的历史起源，只显示出问题是如何解决的以及为什么提出的，这说明逻辑并不充分，证明科学并非全部科学，应将直观作为一个补充部分，或者说将直观作为逻辑的对立面或矫正方法。第二节波利亚的解题理论与中学数学教学我们将按照波利亚的解题表、启发法和合情推理顺序阐述波利亚的解题思想和理论，最后再评述和阐述波利亚解题理论以及该理论对我国中数学教学的影响和启示。一、 波利亚的解题表及评述波利亚的解题表我们先给出波利亚怎样解题的解题表（表9-1），再用一个数学例题来解释解题表是怎样应用的，其中的题目来自数学新课程标准下的数学内容。表9-1波利亚怎样

16、解题的解题表第一步你必须理解题目未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？条件有可能满足吗？条件是否足以确定未知量？或者它不够充分？或者多余？或者矛盾？画一张图，引入适当的符号。将条件的不同部分分开。你能把它写出来吗？第二步找出已知数据与未知量之间的联系。如果找不到直接的联系，你也许不得不去考虑辅助题目。这里有一道题目和你的题目有关而且以前解过。你能利用它吗？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了有可能应用它，你是否应该引入某个辅助元素？第三步执行你的计划执行方案执行你的解题方案，检查每一个步骤。你能清楚地看出这个步骤是正确的吗？你能否证明它是正确的？第四步检查已经得到的解答回顾你能检验

17、这个结果吗？你能检验这个论证吗？你能以不同的方式推导这个结果吗？你能一眼就看出来吗？你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？二、 波利亚的“启发法”和“合情推理”（一） 启发法波利亚对启发法的说明：第一，把任何问题转换成数学问题；第二，把任何数学问题转换成代数问题；第三，把任何代数问题归结为解方程。（二） 合情推理 “先猜测后证明”几乎是一条规律。简言之，观察、猜测、归纳证明就是合情推理。波利亚对采用合情推理的题目作了要求： 首先，它们不是常规的学生解的习题，而是研究性题目。其次，这种题目需满足三个要求： 学生可参与提出问题；题目具有与周围世界或者其他的思维领域有联系背景；蕴含着合情推理

18、过程。并且指出了这类推理和研究性题目的重要作用： 它们让学生通过做独立的创造性工作品尝到了数学的滋味；它们不仅增加了学生对数学的了解，也增强了他们对其他科学的了解，这一点由于可以影响到相当一大部分学生而显得更为重要。第三节 建构主义理论一、 建构主义学习理论的发展建构主义的发展经历了极端建构主义、个人建构主义和社会建构主义阶段，正经历着有由一元论、极端主义向多元化、折中主义的重要转变。比如极端建构主义的代表人物冯格拉塞斯菲尔德认为极端结构主义的两个基本观念就是： 知识并非被动地通过感官或其他的沟通方式接收，而只能源自主体本身主动的建构。 认知的功能在于生物学意义上的顺应和组织起主体的经验世界。

19、极端建构主义对个体性质绝对肯定，而否定其他人的经验世界的直接知识。而社会建构主义的核心在于对认识活动社会性质的明确肯定，这正好弥补极端建构主义忽视社会文化环境和他人客观经验知识的不足。结合皮亚杰的智力发展理论，就可得到一种折中的现代建构主义的要旨： 学习不是被动的接受外部事物，而是根据自己的经验背景，对外部信息进行选择、加工和处理，从而获得心理意义。意义是学习者通过新旧知识经验的相互作用过程而建构的。意义是不能传输的。人与人交流，传递的是信号而非意义，接受者必须对信号加以解释，重新建构其意义。 学习是一种社会活动。个体的学习与他人（教师、同伴等）有着密切的联系。传统教育倾向于将学习者同社会分离

20、，将教育看成学习者与目标材料之间一一对应的关系。而现代教育意识到学习的社会性，认为同其他个体之间的对话、交流、协作是学习体系的一个重要组成部分。 学习是在一定情境之中发生的。学生意义的建构依赖于一定的情景。这种情景包括实际情景、知识生成系统情景、学生经验系统情景。创设问题情境是教学设计的重要内容之一。建构主义者强调联系新知识到先前知识的重要性，强调在真实世界里进行“浸润式”教学的重要性，认为学习总是背景化的，即学什么依赖学生先前的知识和学习的社会背景，也依赖于所学东西和现实世界的有机连接。二、中学数学教学的建构观我们仔细审视数学新课程标准，发现关于数学的学习观和教学观的论述与建构主义理论几乎一

21、致，无论学生学的方式的变化和教师教的方式的转变，还是教学建议与教学评价建议，都在倡导一种建构主义观念指导下的强调学生的认知主体地位，又不忽视教师的指导地位。教学观体现在教师是学生意义建构的帮助者和促进者，而不是知识的传授者与灌输者。学习观体现在学生是信息加工的主体，是意义建构的主动建构者，而不是外部刺激信息的接收者。我们可以从数学课程标准制定的内容中得到更加清楚的认识。（一） 建构主义学习对学生发挥主体作用的要求建构主义学习要求学生在以下几个方面发挥主体作用： （1） 要用探索法、发现法去建构数学知识的意义。（2） 在建构数学意义的过程中要主动去收集并分析有关的信息和资料，对所学习的问题要提出

22、各种假设并努力加以验证。（3） 要把当前的数学学习内容尽量与以前的经验相联系，并对这种联系进行认真的思考。联系与思考是数学意义建构的关键。如果能将联系与思考的过程和协作学习中的协商过程（及交流、讨论的过程）综合起来，那么建构意义的效率就会更高，学习数学的兴趣也会更浓厚。（4） 数学学习基本经验的积累。观察、收集数据、处理数据和信息、使用信息技术、归纳、猜想、验证等正确而良好的学习习惯的建立也是数学学习经验积累的最好方式。（二） 建构主义学习要求教师发挥的指导作用建构主义学习要求教师在以下几个方面发挥指导作用：（1） 激发学生的兴趣，帮助学生形成数学学习动机。（2） 通过创设符合教学内容要求的情

23、景和提示新、旧知识之间的联系，帮助学生建构当前所学数学知识的意义。（3） 为了使学生的数学意义建构更加有效，教师应在尽可能的条件下组织协作学习（包括开展讨论与交流等），并对协作学习过程进行适时的指导，使之朝着有利于意义建构的方向发展。比如，提出适当的问题以引起学生的思考和讨论；在讨论中设法将问题引向深入，以加深理解；启发学生自己发现规律，纠正错误的、片面的理解。（4） 进行必要的讲授。第四节我国的数学“双基”教学理论与中学数学教学 “双基”教学理论是我国教育界几代人成功探索的理论结晶，是在我国经济落后、文化科技水平低下、教育基础薄弱的国情下，突出发展并且使我国教育质量得到迅速有效提高的教学理论

24、。一、 数学“双基”的含义及发展数学“双基”的含义所谓“双基”就是数学基础知识和基本技能，而基础知识就是指中学数学基础知识，主要是教学大纲所列的数学概念、公式、定理和具体法则；基本技能就是运算能力、作图能力、抽象与概括和逻辑思维能力（包括演绎推理能力）。二、 数学“双基”教学的理论研究发展状况关于数学“双基”教学的理论研究刚起步，究其原因是多方面的，现在国内已有专家从历史文化、数学课堂教学方面和认知心理学的角度在研究这一现象。 我们结合文献，主要从以下三个方面来初步揭示我国数学“双基”教学的理论研究状况。数学课堂教学的角度来说，“双基”教学在课堂教学形式上有着较为固定的结构，课堂进程基本是：

25、知识、技能讲授知识、技能的应用示例练习和训练，即在教学进程中先让学生明白知识或技能是什么，再了解怎样应用这个知识或技能，最后通过亲身实践练习掌握这个知识或技能及其应用。典型教学过程包括五个基本环节： 复习旧知导入新课讲解分析样例学习小结作业。每个环节都有自己的目的和基本要求。邵光华和顾泠沅从数学课堂教学方面来阐释“双基”教学的理论特征，他们认为，我国“双基”教学理论的外部结构特征包括： “双基”教学课堂结构、课堂控制、“双基”教学的目标、“双基”教学的课程观、“双基”教学理论体系的开放性五个维度；“双基”教学理论的内隐性特征包括： 启发性、问题驱动性、示范性、层次性、巩固性五个方面。完善和延展我国“双基”教学理论具有重要作用。思 考 题 1. 运用弗赖登塔尔关于数学教育目标的理论，试论述我国数学新课程标准中教学目标的内容和特点。2. 结合波利亚的解题理论和数学新课程标准理念，谈谈中学数学习题教学的特点、作用和观念。运用波利亚的解题表分析一道数学建模习题。3. 请阐述建构主义的学习观和教学观。4. 结合自己的数学学习实际，思考我国数学“双基”教学的利与弊。5. 课外阅读波利亚的怎样解题、数学的发现、数学与猜想，罗增儒的数学解题学引论，戴再平的数学习题理论等著