稳定性与李雅普诺夫.ppt

1、第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,2020年9月10日,4.稳定性与李雅普诺夫方法,4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 4.2 李雅普诺夫第一法 4.3 李雅普诺夫第二法 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用,稳定性的几个问题,什么是系统的稳定性？ 为什么要研究稳定性？ 经典控制理论中稳定性的判别方法？ 对于状态空间表达式如何判断稳定性？,4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义,系统的平衡状态 所研究系统的齐次状态方程为 x为n维状态矢量；f为与x同维的矢量函数，并且是x与时间t的函数，一般为时变的非线性函数，如果不显函t，则为定常非线性系统。 若存在

2、状态矢量xe，对所有时间t都能使f (xe,t) 0 ，称xe为系统的平衡状态。 线性定常系统的平衡状态 平衡状态需要满足Axe 0 当A为非奇异矩阵时，系统存在唯一的平衡状态xe0； 当A为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。 非线性系统的平衡状态 可以有一个或者多个,平衡状态,稳定性的基本概念,稳定性是系统本身固有的，与输入无关。,稳定性的几个定义,李雅普诺夫意义下的稳定 渐进稳定 大范围渐进稳定 不稳定,李雅普诺夫意义下的稳定性,说明： S() -定义一个以平衡状态为中心半径为的邻域，系统的运动状态保持在该邻域内； S( ) -定义一个以平衡状态为中心半径为的邻域，为了满足系统的运动

3、状态保持在S() 内，系统的初始状态应该在S( ) 内。,渐进稳定,大范围渐进稳定,不稳定,稳定 渐进稳定 不稳定,分析下列系统的稳定性,表面有摩擦,李雅普诺夫稳定性判别方法,第一法（间接法）：先求解系统的微分方程，然后根据解的性质来判断系统的稳定性。 第二法（直接法）：构造李雅普诺夫函数，根据这个函数的性质判断系统的稳定性。适用与任何复杂系统,4.2 李雅普诺夫第一法（间接法）,线性定常系统,提问：有没有可能出现状态不稳定而输出稳定的情况？有没有可能出现输出不稳定而状态稳定的情况？,非线性系统,xe为平衡状态，f(x,t)为与x同维的矢量函数，且对x具有连续的偏导数。,将非线性矢量函数f(x

4、,t)在xe邻域内展开为泰勒级数,其中R(x)为级数展开式中的髙阶导数项。,若令 则可以得到系统的线性化方程,在线性近似的基础上，用线性系统稳定性的判别定理。,举例：用李雅普诺夫第一法判断下列系统的稳定性,第一步：令,求得系统的平衡状态,第二步：将系统在平衡状态x1e附近线性化,求近似线性系统的特征根：1，+1， 所以系统在平衡状态x1e不稳定,第三步：将系统在平衡状态x2e附近线性化,求近似线性系统的特征根：j，+j，实部为0；所以系统在平衡状态x2e的稳定性用线性化方程无法判断。,课堂练习：用李雅普诺夫第一法判断下列系统的稳定性,第一步：令,求得系统唯一的平衡状态,第二步：将系统在平衡状态

5、附近线性化,第三步：求近似线性系统的特征根：1，2 所以系统在平衡点渐进稳定。,4.3 李雅普诺夫第二法（直接法）,基本思路： 一个系统被激励后，其储存的能量随着时间的推移逐渐衰减，当能量最小时，达到平衡状态，那么这个平衡状态是渐进稳定的。 反之，如果系统不断从外界吸收能量，存储能量的能量越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的。,李雅普诺夫函数： 一个正定的标量函数V(x) 虚拟的广义能量函数 根据dV(x)/dt的符号（能量的变换规律）判断系统的稳定性，,4.3.1预备知识1.标量函数的符号性质,设V(x)为n维矢量x所定义的标量函数， ，且在x=0处，恒有V(x)=0。对于所有在域 中的任

6、何非零矢量x，如果： 1）V(x) 0，则称V(x)为正定。例如V(x)=x12 +x22； 2）V(x) 0，则称V(x)为半正定（或非负定）。例如V(x)=(x1 +x2)2； 3）V(x) 0，则称V(x)为负定。例如V(x)=(x12 +2x22)； 4）V(x) 0，则称V(x)为半负定（或非正定）。例如 V(x)= -(x1 +x2)2； 5）V(x) 0或者V(x) 0，则称V(x)为不定的。例如V(x)=x1 +x2；,2二次型标量函数,设x1，x2， ，xn为n个变量，定义二次型标量函数为,如果pij=pji，则称P为实对称阵。,对于二次型函数， 若P为实对称阵，则必存在正交

7、矩阵T，通过变换,，使之化成,上式，为二次型函数的标准型。它只包含变量的平方项，其中为对称阵P的互异特征值，且均为实数。,二次型函数的标准型,二次型函数的标准形正定的充要条件式对称阵P的所有特征值,均大于零。,矩阵P的符号性质,设P为nn的实对称阵，V(x)=xTPx为由P所决定的二次型函数。 1）若V(x)正定，则P正定，记做P 0； 2）若V(x)负定，则P负定，记做P 0； 3）若V(x)半正定（非负定），则P半正定（非负定），记做P 0； 4）若V(x)半负定（非正定），则P半负定（非正定），记做P 0； 矩阵P的符号性质与它所定义的二次型函数V(x)的符号性质完全一致。因此判断V(x

8、)的符号只要判断P的符号即可（希尔维斯特判据，Sylvester）。,3希尔维斯特判据,4.3.2 稳定性判据,李雅普诺夫第二法根据 判断系统的稳定性,4.3.3 对李雅普诺夫函数的讨论,4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用,4.4.1 线性定常连续系统渐进稳定判据,证明,必要性证明,设对称矩阵 令 显然,李氏第一法,如何判断？,P.61 矩阵指数函数的性质五：微分,根据,，则,因此,充分性证明：,因为A的特征根有可能是复数，不妨在复数域上讨论，在Cn中定义新的内积,为A的对应,的特征向量，即,则,又存在,由于,，所以,即,。证毕。,线性定常连续系统稳定性判据,线性定常连续系统在平衡状态x

9、e = 0全局渐进稳定的充要条件：对于任意给定的正定实对称矩阵Q，若存在正定的实对称矩阵P，满足李雅普诺夫方程： 则可取为 ，为系统的李雅普诺夫函数。,欲使系统在原点渐进稳定，则要求 必须为负定,则，要求,为正定的。,判据应用注意事项,（1）判别过程,判据应用注意事项,（2）Q的选取：尽量简单，常取Q=I； （3）若 沿任一轨迹不恒等于零，那么Q可取半正定。 （4）上述判据所确定的条件与矩阵A的特征值具有负实部的条件等价，因而判据是 充要条件。,李雅普诺夫方法判别线性系统稳定性示例（1）,已知系统状态方程如下，试分析系统平衡点的稳定性。,解,设,，Q=I,带入李雅普诺夫方程,将上式展开，对应元

10、素相等，解得,根据希尔维斯特判据,P是正定的，因而系统的平衡点是大范围渐进稳定。,李雅普诺夫方法判别线性系统稳定性示例（2）,已知系统状态方程如下，试确定系统增益K的稳定范围。,解 因detA0，故原点是系统唯一的平衡状态。,为了说明Q选取的正确，需要证明 沿任意轨迹应不恒等于零。,显然 的条件是 ，此时 ， ，这表明只有在平衡状态 ，才能保证 ，而 沿任一轨线不会恒等于零。,取半正定的实对称矩阵Q为,求解李雅普诺夫方程,解得,为使P为正定矩阵的充要条件是： 12 2K 0 和K 0 即0 K 6,综合上述，当0 K 6系统在平衡状态原点大范围渐进稳定。,4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的

11、应用,4.5.1 雅可比（Jacobian）矩阵法克拉索夫斯基（Krasovski）法,设非线性系统的状态方程为 式中，x为n维状态矢量；f为与x同维的非线性矢量函数。 假设原点xe=0是平衡状态，f(x)对 可微，系统的雅可比矩阵为：,第一法如何判断非线性系统的稳定性？,则系统在原点渐进稳定的充要条件是：对于任意正定实对称阵P，使下列矩阵,为正定的；并且,是系统的一个李雅普诺夫函数。,如果当 时，还有 ，则系统在xe=0是大范围渐进稳定。,证明：选取二次型函数,为李雅普诺夫函数，其中P为对称正定矩阵，因而 正定。,考虑到 是x的显函数，不是时间t的显函数，因而有下列关系,将 沿状态轨迹对t求

12、全导，可得,上式表明，要使系统渐进稳定， 必须是负定的，因此 必须是正定的。,若 时， ，则系统在原点是大范围渐进稳定的。,推论 对于线性定常系统 ，若矩阵A非奇异，且矩阵（ATA）为负定，则系统的平衡状态xe=0是大范围渐进稳定的。,李雅普诺夫方法判别非线性系统稳定性示例,设系统的状态方程如下，用克拉索夫斯基法分析xe=0出的稳定性。,解：计算雅可比矩阵,取P = I，得 根据希尔维斯特判据，有 表明对于x 0，Q(x)是正定的。平衡状态是稳定的 。,此外，当 时， 因此，系统的平衡状态xe=0为大范围渐进稳定。,1) 取 Q = I,2) 令对称矩阵,3)将Q、P带入李雅普诺夫方程,4) 解得,P的特征值为1.12, 10.55, 75.33 P正定,课堂练习：第二法判断线性系统的稳定性（1）,1) 取Q=I,2) 令对称矩阵,3)将Q、P带入李雅普诺夫方程,4) 解得 a=1.5 b=1 c=0.5,5）判断P是否正定？,课堂练习：第二法判断线性系统的稳定性（2）,a）特征值 b）各阶顺序主子式,特征方程？,1) 取Q=I,2) 令对称矩阵,3)将Q、P带入李雅普诺夫方程,4) 解