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文档简介

1、第一讲：函数零点、方程根问题,1关于方程 f (x) = 0 根的存在性 , 唯一性证明,(1) 证明方法,(2) 典型问题,解,设 F(x) = f (x) + x , 则 F(x) 在(-, )上连续,因为, 存在 M1 0 , 使 F(M1) 0,又因, 存在 M2 0 , 使 F(M2) 0,在 M1,M2 上对F(x) 利用零值定理，存在 (M1,M2 ),使得,即,解,将 f (x) 在 x = 1 处泰勒展开得,当 时, f(x0) 0 ,又, f (x) = 0 仅有一个实根,解,反证法,设存在 x1, x2(a,b) 使 f (x1) = f(x2) = 0,据罗尔定理，存在

2、 (a , b) 使,又,矛盾,解,由条件,取 x1 G,又由,存在 使 f (a) 0 , f (b) 0,在 上利用零值定理, f (x) 在 中分别至少有一零点, f (x) 至少有两个零点,反证法，假设 f (x) 有三个零点 c1 , c2 , c3 使,由罗尔定理， 至少有一零点 ,矛盾,2方程根的个数问题,(1) 证明方法,(2) 典型问题,例5 讨论方程 的根,解,原方程,设 ，则,(1) 若 b 0 , 则 ，, f (x) 在 R 上单调增,又,(2) 若 b 0 , 则 f (x) 有驻点,由于, x0 使极小值点,最小值,当 f (x0) elna 时,由于, 方程在(

3、- , +) 内有且仅有两个实根,当 f (x0) 0 ,即 0 b elna 时, 方程无实根,当 f (x0) = 0 ,即 b = elna 时, 方程有唯一实根,(3) 若 b = 0 , 原方程为 ，无实根,3导函数的零点问题,(1) 证明方法,3) 用泰勒公式或多次利用罗尔定理,解,不妨设 ，则,由极限的局部保号性，,存在 1 0 , 2 0 , 使,取 ，则,根据零值定理，存在 c(x1,x2) 使 f (c) = 0,从而有 f (a) = f (c) = f (b) ,解,由于F(x)在1,2上连续, 1,2内可导 , 且F(1) =F(2) = 0,再利用罗尔定理，存在 (1, ) (1,2)使,在1, 上， 连续,可导，且,据罗尔定理，存在（1，2）使 F ()=0,解,因为 ,由于,同号，这里 k = 0,1, , 2n,根据零值定理存在,反复利用罗尔定理, 至少有 n个零点,解,不妨设 ，,则由,存在 1 0 , 2 0 使, 连续函数 f (x)在a , b上的最小值在(a , b) 中取得,即存在 (a

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