第二章——电子学与机械学基本概念

1、第二章 电学与机械学基本概念,半导体的电导率 晶面和晶向 应力和应变 简单负载条件下挠性梁的弯曲 扭转变形 本征应力 谐振频率和品质因数 弹簧弹性常数和谐振频率的有源调节,MEMS的特点是涉及多个能域的信号转换及处理。这其中，对电能域和机械能域的处理和计算最基本的知识。 电能域中，除了通常的电路知识以外，由于MEMS中使用的核心材料往往是半导体及其相关结构，因而需要掌握半导体的电特性知识。 机械能域中，则要掌握基本的材料力学概念和最常用的梁、桥、膜等机械结构的特性。 本章内容正是从电、机械两个能域的基本知识展开的。,半导体定义及特性 导电性介于金属与绝缘体之间 核外价键饱和，可形成电子与空穴导

2、电两种导电机制 通常禁带宽度（带隙）在0.43eV之间。 MEMS领域中，最常用到的半导体材料是硅，其他的还有锗、多晶锗、锗硅、砷化镓（GaAs）、氮化镓（GaN）和碳化硅（SiC）等。,半导体的电导率半导体材料,从第一章中我们了解了MEMS和IC的亲缘关系，因而出于历史、技术、产业等各方面的原因，半导体硅材料都是MEMS领域中最常用的材料。,半导体的电导率-载流子浓度的计算,半导体中有两种自由载流子：电子和空穴。逃离电子留下的键空位称之为空穴。对于某一给定的材料，电子和空穴传导电流的能力是不同的，但是他们通常具有相同的数量级（未掺杂的）。 半导体中的电子浓度用n（单位是电子/cm3或cm-3

3、）表示，而空穴的浓度用p（cm-3）表示。在稳态、热平衡条件下（例如没有外加电流也没有光照），电子和空穴的浓度通常分别为n0和p0表示，下标0表示热平衡。,电子和空穴的浓度在热平衡条件下遵循下面的关系式： 对于施主杂质浓度为 和受主杂质浓度为 的非本征半导体，电子和空穴的浓度可以由下面步骤求出。因为掺杂的过程是将中性原子注入到中性体中，所以体材料总是呈电中性。体内负电荷的浓度由电子和电离受主原子（ ）两部分组成。体内正电荷的浓度由空穴和电离施主原子（ ）两部分组成。电中性条件为： 为计算电子浓度，我们将 用 代替并重新整理上式得到：,或者： 而用 表示则为： 在半导体正常工作温度下，假定受主和

4、施主都完全电离，即 和 。 一旦杂质的浓度已知， 和 就可以通过求解这些二次式得到。将会得到两个解，保留有物理意义的解。 注意：电子浓度大大超过超过空穴浓度时，为N型半导体材料，反之为P型。 例1：通常掺杂半导体的多数载流子浓度（常温下）在10141018之间。注意杂质浓度比晶格原子的密度小的多。（体原子密度51022）,以1016掺杂浓度为例，其杂质含量只相当于不到0.000001。因而称之为杂质一点不为过分。但其含量的多寡对半导体导电性的影响则是和巨大的。,半导体的电导率-电导率和电阻率,半导体的电导率可以通过几种方法来控制，例如人为的掺杂、外加电场、电荷注入、环境光照、或者温度的变化。这

5、些控制因素使得半导体材料有很多应用，包括场效应晶体管、温度传感器、力传感器以及化学传感器。而MEMS领域中最基本的一项任务就是求出半导体硅片电导率与掺杂浓度之间的关系。,半导体材料中的自由载流子在电场作用下产生移动的方式称为漂移。载流子在给定电场下漂移的灵活性会影响半导体材料的电导率。 因此电导率 定义为: 其中J为电流密度,E为外加电场。,电子的电导率为： 空穴的电导率为： 总电导率等于电子和空穴的电导率之和，它可以表示为迁移率和载流子浓度的函数，电阻率如下： 对于半导体硅来说，其电阻率与材料及掺杂有关。,掺杂的基础知识-(1)导体、半导体和绝缘体,典型的导体,半导体的电导率-半导体掺杂,典

6、型的半导体与绝缘体,(2) 半导体掺杂,掺杂:在半导体材料中植入一定杂质的方法,将其变成电导体的工艺. 掺杂的应用: 在集成电路中制造的微晶体管和微电路; 在MEMS和微系统中的自停止； 掺杂是微电子中制作p-n结的基本工艺。,硼的外围轨道上有三个电子，当其被掺杂到硅中，硅材料产生一个电子空缺，形成一个电子“空穴”对。,P型参杂,三价硼为受主杂质,N型参杂,磷的外围轨道上有五个电子，当其被掺杂到硅中，硅材料产生一个空穴，得到一个电子空穴对。,五价磷为施主杂质,晶面和晶向,晶体中的硅原子在晶格中规则排列。材料的特性（例如杨氏模量、迁移率和压阻系数）以及体硅的化学刻蚀速率通常都表现出对方向的依赖性

7、。下图是几个不同方向硅晶格的横截面图。,表 晶面、晶向以及同族的名称总结,最常用到的牛顿定律推论是：任何静止的物体，其自身以及任何部分所受的力和力矩（扭矩）的矢量和为0。,应力和应变内力分析：牛顿运动定律,静力平衡与静力矩平衡,F,F,F,F,机械应力分为两种正应力和剪应力。 应力：在构件内部存在联系的内力分布，这个力的密度称之为应力。如果应力以垂直于横剖面的方向作用，就称作正应力。其定义为作用力与给定面积的比值： 正应力可以是张应力也可以是压应力,应力和应变应力应变的定义,在应力作用下，支杆的伸长量表示应变。如果应变的方向垂直于梁的横截面，则这种应变就称为正应变： 正应力可以是张应力也可以是

8、压应力,应力和应变应力应变的定义,横向变形与泊松比,F,F,初始形状,受力后形状,材料必须努力保证原子间距和体积不变。y和z方向上尺寸的相对变化可以表示成sx和sy。材料的这种变化可以用泊松比来表示。顾名思义，泊松比定义为横向和纵向的伸长量之比,横截面,根据胡克定律，在小变形情况下，应力和应变互成比例：,应力应变的比值为弹性模量：,剪应力可以在不同的作用力-负载条件下产生，剪应力在x、y和z方向上没有拉长或缩短单元的趋势。相反，剪应力会使单元的形状产生变形。剪应力定义为转动位移的大小。 剪应变是没有单位的，实际上，它表示为弧度的角位移。剪应力和剪应变也通过一个比例系数相互关联，称作弹性剪切模量

9、,对于给定的材料，弹性剪切模量G、弹性模量E和泊松比通过下式联系起来,张应力和张应变之间的一般标量关系,屈服应力,比例极限,弹性区,塑性区,屈服点,应变硬化,缩颈,应力,应变,常用一些定型术语来描述材料：坚硬、延展性、弹性、韧性。把这些术语和应力-应变曲线联系起来就很好解释了。 坚硬材料高的屈服强度或极限强度 延展性塑性变形能力 韧性直到断裂前应力-应变曲线下的面积,即使材料所受的载荷低于屈服强度，也有可能失效。长时间周期性加载会在载荷远低于屈服强度的情况下引起疲劳破坏。,当材料疲劳时，在局部应力的作用下会出现细小的裂纹，并且裂纹在载荷的周期作用下，不断扩展直到破坏。,应力水平对疲劳寿命的影响

10、同宏观理论的推理相一致。,胡克定律,实验证明： 当正应力小于某一极限值时，正应力与正应变存在线性关系，即 = 称为胡克定律，E为弹性模量，常用单位：GPa（吉帕） 同理，切应变小于某一极限值时，切应力与切应变也存在线性关系 即：=G 此为剪切胡克定律，G为切变模量，常用单位：GPa,钢与合金钢E=200-220GPaG=75-80GPa 铝与合金铝E=70-80GPaG=26-30GPa 木材E=0.5-1GPa橡胶E=0.008GPa,实际上，应力和应变都是张量。他们之间的关系也可以很方便的用矩阵的形式表示，在矩阵中应力和应变都是矢量。 对于材料中一个微体积单元，所有的应力分量如图所示：,假

11、设微体积单元是静力平衡（没有静作用力或扭矩） 零静作用力 *不能存在静体作用力，如重力。如果存在，它将被体积单元对面表面的正应力所平衡。 *上图所示的微体积单元中不可见的三个表面中，也必定存在着应力，方向与可见表面的应力相反。 零静扭矩 *作用在相邻表面的切应力存在着某种关系，令 应力的单位：帕斯卡（Pa）,应变,应变：固体受力作用时产生的形变。（用单位长度上的长度改变量来表示） 如图为小面积元被位移和扭曲形变的情形： 净运动的三个部分：原物体的刚性位移、刚体绕质心的旋转、以物体位移和旋转之后的形状为参考形状的形变,图示为应变的两种基本方式， 图a发生了单轴向形变，x点的轴向应变等于：,说明：

12、应变是长度该变量对长度的比值，无量纲 注意：应力和应变都是强度量，更本质的反应了材料的自身性质,应力和应变是微分量，是更本质的参数,各向同性材料的弹性常数,*各向同性材料：材料内部没有这样的结构会使应力-应变响应随方向不同而改变的一类材料。 *这类材料，轴向的应力与轴向应变的关系满足： 其中，比例系数E叫做杨氏模量，单位为Pa. *当一个自由物体受到法向应力时，引起一个轴向的应变，同时会在相应的横向引起压缩，如图：,通过分析，结合应变的定义，可以得到横向压缩产生的负的应变。对线性的各向同性弹性材料，有： （ 是泊松比，没有量纲） 泊松比的物理意义可以通过考查三维微体积单元在x方向轴向应力 作用

13、下体积的改变量来深入理解，故形变后的微体积单元三维方向上的长度变化为：,引起了体积净改变量V由下式给出： 小应变情况下，简化为： （说明：大多数材料泊松比小于0.5，轴向应力总会引起体积增大，对于泊松比达到0.5的材料，轴向应力引起的体积改变量为0）,*切应力和其引起的切应变之间也存在线性关系，比例系数称为剪切模量，记做 。 以切应力 引起了切应变 为例，可表示为： *剪切模量和杨氏模量、泊松比之间存在着如下关系： 根据上式，知道其中的两个量，就可以得到第三个量。,F,F,初始形状,受力后形状,三维各向同性弹性,各向同性弹性固体在三维方向上完整的应力-应变关系式，即广义的胡克定律：,简单负载条

14、件下挠性梁的弯曲,梁的种类 载荷分类 挠度和应力 平板结构的静态受力分析,梁的种类,载荷的分类,均匀分布载荷,线性（非均匀）分布载荷,集中力偶 T,载荷集度 q(N/m),梁结构的静态受力分析,梁的应力分析,由图可知，在 附近,有,x方向的延伸量,应变量,由应变和应力之间的关系得到应力,曲线 满足,同时,梁的变形分析,对于横截面宽度为b，高度为h 的梁，其惯性矩为,总结,已知几何形状、材料参数、外加作用力和约束条件的情况下，通过,计算梁的位移量。当已知 时，通过,计算应力。,例2.1 悬臂梁受集中载荷作用的力学参数计算,相对于固定端，作用力 产生的力矩为,为了平衡 ，在固定端必然存在,顺时针,

15、逆时针,以点x为例，其左端的弯矩为 ，,所以，,边界约束条件为,由此解得,自由端的最大位移为,梁上表面的应力为,在x=0处的最大应力为,例2.2 悬臂梁在重力作用下的力学参数计算,以点x为例，其左端的弯矩为,边界约束条件为,因此得到,其中，,因此得到,又，,自由端的最大位移为,或,应力,在x=0处的最大应力为,梁的长度比梁的宽度和高度达一个数量级，弯曲量相对于长度来讲足够小。,挠度和应力,(xL/2),其中，方形截面梁惯性矩为,结论： 对于线性材料小挠度条件，无论边界条件或载荷怎么样，弯曲与载荷成正比。,平板结构的静态受力分析,薄板弯曲问题 周边固支圆板的弯曲 四边固支的矩形板的弯曲 四边固支

16、的正方形板的弯曲,（1）薄板弯曲问题,矩形平板承受横向弯曲挠度的控制微分方程可表示为,是平板受均布外界压力p作用产生的横向挠度,矩形平板的弯曲,平板的弯曲刚度D 为,E平板材料的杨氏模量 平板材料的泊松比 h平板厚度,在x-y平面上定义这个平板，如图所示。,弯矩关于x轴和y轴的分量以及弯曲应力为,弯矩,弯曲应力,当控制微分方程有适当的边界条件时，可以求得挠度，于 是可得到弯矩和弯曲应力。,(2) 周边固支圆板的弯曲,模型：一个半径为a 、厚度为h的圆板，受到均布压力载荷P,最大径向应力位于圆板边缘,最大周向切应力位于圆板边缘,圆板中心处的应力,最大挠度在圆板中心,其中，,例2.3,求如图所示的

17、硅微压力传感器圆形振动膜的最小厚度。振动膜直径为600m，边缘刚性固定到硅芯片上。振动膜设计能承受20Mpa的压力，不超过7000MPa的塑性屈服强度。硅振动膜的杨氏模量是E =190Mpa，泊松比v=0.25。,压力传感器的圆形振动膜,解:,MPa并且,振动膜的最大应力需要保持在材料的塑性屈服强度以下，即,因此，由最大径向应力计算公式得到,MPa,又,其中，等价载荷为,所以,即，最小振动膜厚度为13.887um。,同时可以求出振动膜的最大挠度，由 ，得到,(3) 四边固支矩形板的弯曲,模型：一个长为a，宽为b, 厚度为h的矩形板，均布压力载荷为p,矩形平板的弯曲,平板的最大挠度发生于质心,最

18、大应力位于长边的中心,矩形平板最大应力和挠度的系数,例题2.4,如图所示，一矩形振动膜的尺寸是a=752um和b=376um。这些边长尺寸使得该矩形膜和例题4.1的圆形振动膜具有相同的面积。矩形振动膜的厚度、施加的压力和材料属性与例题4-1相同。求振动膜的最大应力和挠度,矩形平板的弯曲,边长比a/b=2.0，由表4.1得，0.0277，0.4974，又已知 振动膜厚度 h=13.887m 外加压力 P=20MPa,解:,于是得到最大应力,振动膜的最大挠度,(4) 四边固支正方形板的弯曲,模型：边长为a和厚度为h的正方形，均布压力载荷为P,正方形平板的弯曲,平板的最大应力发生在各边中心,平板的最

19、大挠度发生在平板中心,平板中心应力,平板中心应变,例题2.5,一正方形硅振动膜边长为532m，受到与例题4.1和4.2中相同的压力载荷p20MPa,具有相同的厚度，13.887m。所有的材料属性与例题4.1中的相同。求在该压力作用下振动膜中的最大应力和挠度。,正方形平板的弯曲,已知: a532um h13.887um P20MPa,解:,由最大应力计算公式，得,很明显,于是，计算得到振动膜的最大挠度,例题2.6 纵向应力和应变,柱状硅棒两端各受10mN的拉力，该棒长为1mm,直径为100um。试推导棒的纵向应力和应变。 解：用力除以横截面面积可以得到应力： 应变等于应力除以弹性模量:,总结,基

20、于相同的振动膜面积、厚度和施加压力，对例题4.1到4.3的结果进行总结,圆形振动膜的情况最好 从应力和挠度两个方面来看，正方形振动膜是最不好的几何形状,基本变形之三扭转,扭水龙头 用钥匙扭转开门 酒瓶软木塞的开瓶器 小轿车的方向盘工作 自行车的脚蹬工作 机器轴的转动 改锥上螺丝钉,常见的扭转现象,扭转的例子,电机传递扭矩，转动机器,改锥上螺丝钉,载荷特点：受绕轴线方向力偶作用（力偶作用面平行于横截面）,变形特点：横截面绕轴线转动,内力：作用面与横截面重合的一个力偶，称为扭矩T,正扭矩的规定：其转向与截面外法向构成右手系,T=M,本征应力,即使在室温和零外加负载的情况下，很多薄膜都存在内部应力的

21、作用。这一现象称之为本征应力。本征应力对MEMS器件很重要，因为它可能引起形变很多情况下这种损害会影响表面平整性或者改变力学单元的刚度。例如，在微光学应用中，要求很平的镜面以达到要求的光学性能。本征应力可能会扭曲光学镜面并改变光学特性。,本征应力也会影响薄膜的力学性能。对于下图所示的薄膜，当薄膜材料受到张应力的时候其平整性就能保证。边界夹紧的薄膜上如果存在过大的张应力可能会导致破裂。另一方面，压应力会使膜发生翘曲。,本征应力也可能产生于沉积薄膜的微结构。例如，在热氧化工艺中氧原子结合到硅晶格中会在氧化膜中产生本征应力。材料的相变和杂质原子的引入也可能产生本征应力。,减小本征弯曲的方法： 1）使

22、用本身没有本征应力或本征应力很小的材料； 2）对于本征应力与材料工艺参数有关，通过校准和控制沉积条件可很好的调节应力； 3）使用多层结构以补偿应力引起的弯曲。,谐振频率和品质因数,周期负载条件下机械结构位移的典型频谱如下图所示。低频时位移保持常数。在谐振频率点（fr)及其附近，机械振动幅度急剧增加。谐振峰的尖锐程度用品质因子（Q)表征。谐振峰端越尖锐，品质因数就越高。,机械谐振系统最简单的情况是质量块m连到力常数为k的弹簧上，这种系统的谐振频率为： 品质因数与最大值一半处的宽度（FWHM)有关，即半功率点（77%幅度处）两频率之间的距离。谐振频率和FWHM之间的比值给出了品质因数：,弹簧弹性常

23、数和谐振频率的有源调节,梁和薄膜的机械特性，如弹簧弹性常数和谐振频率，可以通过引入应变而改变。对于悬臂梁，纵向应变可以通过轴向或横向负载力引入。 轴向应力可以改变弹簧弹性常数和谐振频率，这就跟小提琴师通过调整张力来调节音色相似。纵向调节力可以改变横向静电力。在纵向应变 作用下悬臂梁的谐振频率为： 这里 分别表示初始谐振频率、厚度和长度。,二阶动态系统,二阶系统所能描述的系统 不带阻尼项的二阶系统方程的解 共振现象 阻尼的定义和意义 带阻尼项的二阶系统方程的解及其意义,微系统设计中的工程力学-二阶系统的动力学分析,二阶系统的动力学分析-二阶系统,凡是输入与输出信号之间的关系用下列二阶常系数的常微

24、分方程描述的传感器称为二阶系统(或环节)。,相当多的传感器，如测压,测力和加速度传感器等都可以近似地看成是二阶系统。,最简单的机械振动系统是如图所示的质量块弹簧系统,质量块弹簧系统,由牛顿第二定律得出的运动方程,求解上式可得到位移X(t),C1和C2由初始条件决定的任意常数 振动质量块圆频率,质量块的振动频率为,圆频率经常被认为是系统的自然频率,例2.8,一质量块弹簧系统，质量块质量为10mg，弹簧弹性系数为k6105 N/m 。求质量块振动的幅值和频率。质量块的振动是在一大小为 m的向下拖拉的作用下启动的。,质量块弹簧系统,解: 已知初始位移为,初始速度为,由方程,则任意时刻质量块的振动幅值

25、为,可得,圆频率为,相应地，频率为,系统的自然频率与圆频率相同,共振,简单质量块弹簧系统受到一个谐振频率为 的载荷，如图所示,频率 在受迫振动中常被称为激励力 的频率,质量块的瞬态位置X(t)的运动方程可表 示为,求解方程，得,当 时，根据洛比达准则得,当 时，在很短时间内 ，这个现象被称为 质量块弹簧系统的共振。,共振情况下振幅的迅速增加,产生共振的条件:只要载荷的频率 等于结构的固有频率 复杂几何形状的结构系统本身具有无穷多个固有频率n,n结构在第n阶模态下的固有频率 其中n是模态数，n=1,2,3 K刚度常数 M质量块的质量,阻尼,阻尼的基本知识,定义:阻尼是一种阻力形式，它由振动质量表面和周围流体（气体或者液体）的摩擦引起。 微加速度计的设计中，阻尼的产生方式 压膜阻尼 剪切阻力 计算阻尼系数 的关系式,FD对运动质量的阻力 阻尼系数 v(t)运动质量的速度,压膜阻尼的计算,平板间的空