华中科技大学工程数学复习-2016.ppt

1、矩阵论复习,一、线性空间（子空间）的基与维数的求法、直和的概念,二、两个基之间过渡矩阵的求法,线性变换的特征值、特征向量的计算,四、特征多项式与最小多项式、Cayley-Hamilton定理,六、向量与矩阵的范数、条件数的概念与计算,七、矩阵的三角分解,五、会求可逆矩阵将方阵化为Jordan标准型,三、线性变换的概念及其矩阵表示,的简单应用,数值分析复习,一 误差分析 1 舍入误差、截断误差、有效数字； 2 数值计算的一些原则； 如：P10-例1.3、例1.6。 3 数值计算的稳定性。,二.插值法 1.插值的概念： （1）问题的引出； （2）唯一性：待定系数法；反证法。 2.构造插值多项式的方

2、法： （1）待定系数法； （2）基函数法； （3）承袭性思想。,3 插值的分类： （1）不含导数插值条件（Lagrange型插值）； Lagrange插值公式、Newton插值公式。 （2）含导数插值条件（Hermite插值）； 构造法、带重节点的Newton插值法。 4 余项表达式、截断误差估计、总的误差界。 5 各阶差分、差商的定义、基本性质。 6 三次样条插值。,三、最小二乘曲线拟合问题： 1、给出数据能求出拟合曲线； 2、会解矛盾方程； 3、,教p72. 例3.6,教P69. 例3.4，3.5，3.7,正交多项式： 定义；性质；特点,四、数值积分1、基本概念：,(1) 代数精度； (2

3、)插值型求积公式； (3)复化求积公式； (4)Gauss型求积公式； (5)收敛阶(复化)； (6)计算的稳定性。,2、构造求积公式的方法：,(1)待定系数(利用代精)； (2)插值型求积公式； (3)Newton-Cotes公式； (节点等距)，几种低阶， 及余项。,教P91,例4.2,P101,例：P96例4.4,3、提高求积公式精度的方法：,(1)增加求积节点及采用Gauss型求积公式； (2)构造复化求积公式； 误差的 (3)线性外推公式、Romberg算法。,P92,93 例：P94.例4.5,P95,96,4、Gauss型求积公式：,(1)Gauss点的概念及其有关定理； (2)

4、利用正交多项式构造Gauss求积公式； (3)利用Gauss型求积公式构造奇异积分的数值方法。,例：P103 例4.11 例：P105例4.12,系数特点 稳定、收敛,例：P107 例4.14,五、常微分方程数值解,将方程离散化的三种方法。 掌握Euler法和改进的Euler法、隐式Euler法和梯形法的基本公式和构造。 领会R-K方法的基本思想，会进行二阶R-K方法的推导。 会求差分格式的局部截断误差及方法的阶。 能利用单步法收敛定理判断方法的收敛性。 能给出一般单步法的绝对稳定性区域（区间）。,p137,六 、线性代数方程组的解法,直接法、 方法： Gauss顺序消去法； 列主元Gauss

5、消去法； 直接三角分解法（不选主元）； 平方根法和改进的平方根法； 追赶法。, 以上各方法的算法步骤。 误差分析。 向量、矩阵的范数、条件数、谱半径。 矩阵的三角分解定理。 迭代法、 方法： Jacobi迭代法；, Gauss-Seidel迭代， 上述两种方法的算法步骤。 收敛性定理： 充要条件； 充分条件； 系数矩阵A严格对角占优，则Jacobi迭代、G-S迭代必收敛。,1 简单迭代法 ： （1）迭代函数 的构造和选择； （2）整体与局部收敛定理； （3）加速收敛的方法。 2 收敛阶的判断方法： （1）根据定义判断； （2）用的高阶导数判断（局部收敛）。 3 Newton迭代及其各种改进。,P215Th7.2,P218 Th7.4,P212 Th7.1,P215 定义7.2,P215 Th7.3,七、方程求根,15,数值分析HW: p.13-14 #5,#12 p.49 #2，#3，#4 p.50 #9,#11,#16 p.85,86 #7，#8， #15（1、2、3、） p.121 #1,#4,#5，#7 ,#8 , #9,#10, #11,#12,#13 p.152-153