万有引力与航天专题复习

1、.专题：万有引力与航天1内容： 2公式： f ，其中 g nm2 /kg2，叫引力常量3 适用条件：宇宙数值 (km/s)意义速度第一宇卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度（最大环绕速度）若 7.9 km/s7.9gmv11.2 km/s，物体绕运行 (环绕速度 )gr宙速度v1r第二宇物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度若11.2 km/s v16.7 km/s ，11.22gm宙速度物体绕运行 (脱离速度 ) v22v12 grr第三宇16.7物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度若v 16.7 km/s ，物体将脱离宙速度在宇宙空间运行 (逃逸速度 )1轨道平面一定：轨道平面与共面 2周期一定：

2、与3角速度一定：与的角速度相同4高度一定：由 g mm2 m4(r h) 2t2 (rh) 得同步卫星离地面的高度5速率一定： vgm6. 向心加速度大小一定 an vr h万有引力定律应用的基本方法：(1) 把天体的运动看成匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供“万能”连等式：mm man=mv22f)2rgr2m2r m(t)2r m(2r周期相同，即t 24 h.3gmt2h2 r. 3.56 107m422rht（ 2）不考虑中心天体的自转。黄金代换式： gmmmg （表面），gmmmg / （ h 高处）r 2rh 2考向一：天体的质量 m、密度的估算（ 1）测出卫星绕中心天体做匀速

3、圆周运动的半径r 和周期 t，由 gmm2 m(2t)2r ，可得23r4r天体质量为： m gt2 .3r3该中心天体密度为： m m（ r 为中心天体的半径） v 423gt r3r33当卫星沿中心天体表面运行时，r r，则 gt2.（ 2）利用天体表面的重力加速度g 和天体半径 r.由于 gmm2 mg，故天体质量 mgr2，rg.mm3g天体密度 v 44gr.r33【例 4】天文学家新发现了太阳系外的一颗行星这颗行星的体积是地球的4.7 倍，质量是地球的25 倍已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4 小时，引力常量g6.67 1011 nm2/kg 2，由此估算该行星的平均密度约

4、为（）a 1.8 103 kg/m3b 5.6 103 kg/m 3c1.1 104 kg/m3d 2.9 104 kg/m 3考向二：卫星的运行和变轨问题1人造卫星的动力学特征万有引力提供向心力即mmma mv2 mr2 m(2mag2rt)2r2人造卫星的运动学特征r（ 1）向心加速度 a ：由 gmmma 得 agmr2r2 ，随着轨道半径的增加，卫星的向心加速度减小。2（ 2）由线速度 v：由 gmm mvgm，随着轨道半径的增加，卫星的线速度减小。r2r得 vr（ 3）角速度 ：由 gmm2m 2r 得 gm3，随着轨道半径的增加，卫星的角速度减小。rr2r 34，随着轨道半径的增加

5、，卫星的周期增大。（ 4）周期 t：由 gmm2 mt2 r 得 t 2rgm【例 5】如图所示，、是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是r和 2(a br r为地球半径 ) 下列说法中正确的是（）a a、b 的线速度大小之比是2 1b 、的周期之比是 1 22a bc a、b 的角速度大小之比是36 4d a、b 的向心加速度大小之比是9 43卫星的环绕速度和发射速度不同高度处的人造地球卫星在圆轨道上运行速度gm，其大小随半径的增大而减vr小但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，因此将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，即 v

6、发射 v 环绕 ，所以近地人造地球卫星的速度是最大环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度4人造地球卫星的超重和失重(1) 人造地球卫星在发射升空时，有一段加速运动；在返回地面时，有一段减速运动这两个过程加速度方向均向上，因而都是超重状态(2) 人造地球卫星在沿圆轨道运行时，由于万有引力提供向心力，因此处于完全失重状态在这种情况下凡是与重力有关的力学现象都不会发生因此，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能使用同理，与重力有关的实验也将无法进行（如：天平、水银气压计等）5. 卫星的变轨2卫星做匀速圆周运动时满足：gmmr2 ma = mvr mr2mr(2t)2当卫星由于某种原因速度突然改

7、变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力就不再等于向心力，卫星将做变轨运行v 2(1) 当 v 增大时，所需向心力 m r 增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由vgm知其运行速度要减小，但重力势能、r机械能均增加.2(2) 当卫星的速度突然减小时，向心力mvr减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由vgm知运行速度将增大，但r重力势能、机械能均减少( 卫星的发射和回收就是利用了这一原理)【例 6】如图 4 42 所示， a、 b、 c

8、 是在地球大气层外圆形轨道上运行的3 颗人造卫星，下列说法正确的是 ()a b、 c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度b b、 c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度c c 加速可追上同一轨道上的b， b 减速可等到同一轨道上的 cd a 卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大【例 7】某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，某次测量卫星的轨道半径为 r1 ，后来变为r2( r2r 1)，用 ek1 、 ek2表示卫星在这两个轨道上的动能，t1 、 t2 表示卫星在这两个轨道上的运行周期，则()a ek2ek1， t2t 1b ek2t1

9、c ek2ek1， t2ek1， t2t1【例 8】人造卫星首次进入的是距地面高度近地点为200km，远地点为340km 的椭圆轨道，在飞行第五圈的时候，飞船从椭圆轨道运行到以远地点为半径的圆形轨道上，如图所示，试处理以下几个问题（地球半径 r=6370km， g=9.8m/s 2）（ 1）飞船在椭圆轨道1 上运行， q为近地点， p 为远地点，当飞船运动到p 点时点火，使飞船沿圆轨道2运行，以下说法正确的是（）a飞船在 q点的万有引力大于该点所需的向心力轨道b 飞船在 p 点的万有引力大于该点所需的向心力c 飞船在轨道上p 点的速度小于轨道上p 的速度q地球pd、飞船在轨道上p 点的加速度小

10、于轨道上p 的加速度（ 2）假设由于飞船的特殊需要， 中国的一艘原本在圆轨道运行的飞船前往与之对接，则飞船一定是（）a从较低轨道上加速b. 从较高轨道上加速轨道c. 从同一轨道上加速d.从任意轨道上加速考向三：“双星模型”问题在天体模型中， 将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕两球连线上某点做周期相同的匀速圆周运动如图（ 1）双星夹圆心，且始终在同一直线上，靠彼此间的万有引力提供向心力（ 2）具有相同的周期t 和角速度（ 3）轨道半径和质量成反比r1m2l , r2m1lm1r 1 or 2 m2m1m2m1m2（ 4）双星总质量4 2 l3（其中 l 为双星间

11、距， t 为周期）m 总gt 2【例 9】如图 4 4 6，质量分别为和的两个星球a和b在引力作用下都绕o点mm做匀速圆周运动，星球a 和 b 两者中心之间的距离为l. 已知 a、b 的中心和 o三点始终共线， a和 b分别在 o的两侧引力常量为 g.(1) 求两星球做圆周运动的周期；a 和 b，(2) 在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球月球绕其轨道中心运行的周期记为1. 但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心tt2. 已知地球和月球的质量分别为5.98 1024做圆周运动的， 这样算得的运行周期记为22kg.求 t2 与 t1 两者平方之比 ( 结果保留 3位

12、小数 )kg 和 7.35 10.考向四：环绕同一中心天体的星际相距最远和最近问题1、从相距最近（两星在中心天体的同侧且三星共线）到再次相距最近所需最短时间：据大 -小 t2 则 t2，大小而2t大t小t则 tt小t大2、从相距最近（两星在中心天体的同侧且三星共线）到相距最远（两星在中心天体的两侧且三星共线）所需最短时间：据大 -小 t则 t，大小而2t大t小则 t2 t大 t小t【例 10】两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为r，a 卫星离地面的高度等于r，b卫星离地面高度为3r，则：(1) a、 b 两卫星周期之比 t a t b 是多少？(2) 若某时刻两卫星正好通过地

13、面同一点的正上方，则a 至少经过多少个周期两卫星相距最远？考向五：天体的不瓦解问题在赤道处的物体最容易脱离天体: g mm fnm 自2 r （当 fn=0 将瓦解）m2r 23而, t自. 故不瓦解的条件是gt自4r3自23【例 10】中子星是恒星演化过程中的一种可能结果，它的密度很大现有一中子星，观测到它的自转周期1为 t 30 s问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解？(计算时星体可视为均匀球体，万有引力常量g 6.67 10 11m3 /kgs2)考向六：赤道上、近地卫星上、同步卫星上的同物比较角速度周期线速度向心加速度向心力赤道1自t1t自v11 ra12

14、rf1ma1上1近地gmt24 2 r3gmv宇1a2gmgf2ma2mg卫星2322rgmrr上3自t3t自v33 ( r h)a2 ( r h)f3ma3同步33gm42 (rh) 3gmgm卫星t3a33(rh)3gm3rh( rh)2上同物132t1t3t2v1v3v2v宇1 a1 a3 a2g f1f3f2mg比较【例 11】如图， 地球赤道上的山丘e，近地资源卫星 p 和同步通信卫星q 均在赤道平面上.绕地心做匀速圆周运动设e、 p、 q 的圆周运动速率分别为v1、 v2、v3，向心加速度分别为a1、 a2、a3，则()a v1v2v3b v1v2a2a3d a1a3a2考向七：万有引力与抛体运动的综合（万有引力与牛顿运动定律的综合）关键是：重力加速度g（1）