D23多元函数微分学(32p).ppt

1、高等数学考前辅导,中北三教授数学考研面授辅导班,住址：北苑小区38号楼7单元502室,报名咨询热线：1 3 5 1 3 5 1 5 2 9 3,主讲教师,柳 林,第九章,第九章,多元函数微分学 (31),一、知识点与考点精讲,二、典型例题分析与解答,一、知识点与考点精讲,1.多元函数的概念,不存在.,( 为空间区域).,则可断定,不相等,(D为平面区域),2.二元函数极限与连续性的概念,要求动点(x , y) 沿任何方向任何路径,趋于定点,时均有f (x , y ) a .,若沿两条不同路径,它表示一曲面,且在xoy坐标面的投影区域为D.,4.偏导数的概念与计算法,3.有界闭区域上二元连续函数

2、的性质,处连续.,最值定理、有界性定理、介值定理,或,则称 z = f (x ,y) 在点,其中,若,(1) 概念:,计算偏导函数,计算偏导函数,时把 y 当作常数,5.全微分,(1)二元函数z = f (x, y) 在点,在点,必要条件:,(2) 计算法:,存在;,时把 x 当作常数.,充分条件:,在点,连续.,处可微(全微分存在),处,处,(必要但不充分),(充分但不必要),(2)全微分形式的不变性:,设,自变量还是中间变量都有,(3)可导函数z = f (x ,y) 在点,只需验证:,若等于零,?,处的可微性的验证:,则z = f (x , y) 在点,处可微;,若不等于零,则z = f

3、 (x , y) 在点,处不可微.,6.二元函数连续、可导、可微之间的关系,函数连续,可导,可微,偏导连续,则不论u与v是,7.多元复合函数偏导数的求法(链导法):,设,均为可导函数,则复合函数,且其偏导数为:,8.隐函数存在定理及隐函数的偏导数,隐函数存在定理 1:,可导,设函数 F (x ,y )在点,域内具有连续的偏导数,且,则方程F (x ,y) = 0在点,的某邻域内,的某邻,个单值连续,它满足,且,唯一确定一,且具有连续导数的隐函数y = f (x),9. 空间曲线的切线方程与法平面方程,设空间曲线 的参数方程为:,则,处的,对应的曲线上的点,隐函数存在定理 2:,设函数 F (x

4、 ,y, z )在点,且,的某邻域内具有连续的偏导数,则方程F (x , y , z) = 0在点,的某邻域内,数的二元隐函数 z = f (x, y),它满足条件,且,唯一确定一个单值连续,切线方程为:,且具有连续偏导,法平面方程为:,此时曲线方程可视为,若空间曲线 的方程为,切线方程为:,法平面方程为:,则,处的,对应的曲线上的点,以x为参数的参数方程,曲面: F (x , y , z) = 0,上点,法线方程为:,处,切平面方程为:,10.曲面的切平面方程和法线方程,曲面: z = z (x , y),上点,处,切平面方程为:,法线方程为:,对于二元函数 z = f (x , y),11

5、. 二元函数z = f (x , y)极值的概念及求法,则称,若在,某邻域内一切异于,的点(x , y) 恒有,为 f (x , y) 在该邻域的一个极大(小)值.,函数的极大值与极小值通称函数的极值.,函数取得极值的点,称为函数的极值点.,(1) 二元函数取得极值的必要条件:,可导函数的极值点必为函数的驻点.,驻点即方程组,的实根.,但驻点未必是函数的极值点.,此外,不存在的点也可能成为函数的极值点.,(2) 二元函数取得极值的充分条件:,设函数 z = f (x , y)在点,的某邻域内有连续的,且,令,则当,时,是 f (x , y)的极值点.,二阶偏导数,且当A 0 时,是极小值.,当

6、A 0 时,是极大值.,当,时,不是极值点.,当,时,是否为极值点不能确定.,12.二元函数的最值及其求法,若二元函数 z = f (x , y) 在有界闭区域 D 上连续,最值的求法:,(1)求函数f (x , y)在D内极值点的可疑点的函数值;,则f (x , y) 在D上必取得其最大值与最小值.,(4)对于实际问题,若 f (x , y) 在D内只有一个驻点,(2)求出函数f (x , y)在D的边界上的最大值与最小值;,(3)将上述函数值进行比较,其中最大者即为函数在D,上的最大值,最小者即为函数在D上的最小值.,则函数在该点的函数值即为所求的最大(小)值.,(驻点及不可导点),13.

7、条件极值与拉格朗日乘数法,构造辅助函数,求解方程组,所求得的解,即为目标函数的极值点(或最值点).,目标函数z = f (x , y)在约束条件 (x , y) = 0 的限制下,的条件极值可用拉格朗日乘数法求得:,二、 典型例题分析与解答,例1.,处两个偏导数,存在是 f (x , y ) 在该点连续的( ) .,二元函数 f (x , y )在点,(A)充分条件而非必要条件;,解:,二元函数在一点处连续与偏导数存在之间没有直,接关系,(B)必要条件而非充分条件;,(C)充分必要条件;,(D)既非充分又非必要条件;,即“连续”未必“偏导数存在”,“偏导数存在”未必,“连续”.,所以应选(D)

8、.,D,注释:,本题考察队二元函数在一点处连续与偏导数,存在之间的关系.,题型(一)偏导数与全微分,在点(0,0)处 ( ) .,(A) 连续,偏导数存在;,(B) 连续,偏导数不存在;,(D) 不连续,偏导数不存在.,解:,例2.,二元函数,(C) 不连续,偏导数存在;,k 取不,的值不同,故极限,不存在,因而,f (x ,y ) 在(0,0) 处不连续.,但是,同理,故应选(C).,C,同值时,故选项(A)与(B)不正确.,例3.,所确定的函数,由方程,解:,将 x = 1 , y = 0 , z = 1 代入上式得:,z = z (x , y )在点 (1 , 0 , 1)处的全微分dz

9、 = _.,方程,两边微分得:,注释:,本题考查函数微分的计算.,例4.,设,其中 f 具有二阶连续偏导,数,求,解:,例5.,设,其中f 具有二阶连续偏导数,注释:,本题考查复合抽象函数的一、二阶偏导数.,g具有二阶连续导数,求,解:,解此类题目关键是搞清复合函数的函数关系.,题型(二) 曲面的切平面与法线,在点(1,2,0)处的切平面,方程为_.,令,解:,曲面,则,所给曲面在点(1,2,0)处的法向量为,注释:,本题考查曲面切平面的求法.,故所求切平面方程为:,即为:,例1.,例2.,曲面,与平面 2x + 4y z = 0 平行,的切平面方程是_.,解:,曲面,在点,处切平面的法向量为

10、,所给平面的法向量为,依题意有:,代入曲面方程得,从而有:,切点坐标为:,切平面法向量为:,故所求切平面为:,即为:,注释:,本题考查曲面的切平面的求法.,处,例3.,解:,_.,旋转曲面的方程为,注释:,本题考查旋转曲面方程的建立及曲面法向量的,绕y轴旋转一周得到的,由曲线,旋转面在点,令,则有,旋转曲面在点,处指向外侧的法向量,为,将其单位化,指向外侧的单位法向量为,求法.,例4.,则有:,曲面,在点(1,2,2) 处的法线,解:,令,注释:,本题考查曲面的法线方程.(注意把方程写正确!),方程为_.,曲面的法线方程为:,即为:,例5.,在曲线,与平面,的所有切线中,注释:,平行的切线(

11、).,解:,本题考查空间曲线的切线.,(A) 只有1条;,(B) 只有2条;,(C) 至少有3条;,(D) 不存在.,曲线的切向量为:,平面的法向量为:,依题意有,则有,此方程只有两个实根,所以所求切线只有两条.,故应选(B).,B,例1.,题型(三)二元函数的极值与最值,求二元函数,的极值.,解:,由,由于,又由于A 0 ,解得:,故所给二元函数有极小值,注释:,本题考查二元函数的无条件极值.,在区域,上的最大值和最小值.,求函数,先求 f (x , y)在D内的驻点.,由,驻点处的函数值为,解:,得 f (x , y) 在D内的驻点为,考察边界y = 0 (2 x 2) 上函数的最值.,此

12、时函数为:,例2.,最小值为 f (0 ,0) = 0.,最大值为 f (2 ,0) = 4,考查边界,上函数的最值.,由,知,则有,令,由,解得,经计算,比较知:,f (x ,y ) 在D上的最大值为,最小值为,注释:,本题考查二元函数的最值.,设 z = z (x , y ) 是由方程,确定的函数,求z = z (x , y ) 的极值点和极值.,解:,方程两边对x求导数得:,令,得,方程两边对y求导数得:,将x =3y , z = y代入原方程得:,或,从而,函数z = z (x , y)驻点为(9,3)及(9,3).,例3.,式两边对x求导数得:,由于,所以,从而点(9,3)是 z = z (x , y),式两边对y求导数得:,式两边对y求导数得:,极小值为z (9,3) = 3.,的极小值点,类似地:,由于,所以,注释:,本题考查方程决定的二元隐函数的极值点与,从而点(9,3)是 z = z (x , y)的极大值点,极大值为,z (9,3) = 3.,极值.,解题的关键是求方程确定的隐函数的一阶与二,阶偏导数.,例4.,已知曲线 C :,求 C 上距离xoy 面最远的点和最近的点.,分析:,点(x , y