2018版高考数学复习推理与证明算法复数13.2综合法分析法与反证法课件理北师大版.pptx

1、基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.综合法,知识梳理,(1)定义：从 出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过 ，一步一步地接近要证明的 ，直到完成命题的证明.我们把这样的思维方法称为 .,(2)框图表示： (其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论).,命题的条件,演绎推理,结论,综合法,2.分析法,(1)定义：从 出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的 ，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等.我们把这样的思维方法称为 .,求证的结论,充分条件,分析法,3.反证法,我们可以先假定命题结论的 ，在这个前提下

2、，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立.这种证明方法叫作反证法. 反证法的证题步骤是： (1)作出否定结论的假设； (2)进行推理，导出 ； (3)否定假设，肯定 .,反面成立,矛盾,结论,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明.() (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.() (3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”.() (4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.() (5)在解决问题时，常常用分析法

3、寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.(),考点自测,1.若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是,答案,解析,a2aba(ab)， a0，a2ab. 又abb2b(ab)0，abb2， 由得a2abb2.,2.(2016北京)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多,答案

4、,解析,取两个球往盒子中放有4种情况： 红红，则乙盒中红球数加1； 黑黑，则丙盒中黑球数加1； 红黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1； 黑红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1. 因为红球和黑球个数一样，所以和的情况一样多.和的情况完全随机，和对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响.和出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上选B.,a2b21a2b20(a21)(b21)0.,答案,解析,a0，b0且ab,答案,解析,答案,解析,f(x)sin x在区间(0，)上是凸函数，且A、B、C(0，).,题型分类深度剖析,题型一综合

5、法的应用,例1 (2016重庆模拟)设a，b，c均为正数，且abc1.证明：,证明,由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac， 得a2b2c2abbcca， 由题设得(abc)21， 即a2b2c22ab2bc2ca1. 所以3(abbcca)1，即abbcca .,证明,(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性.(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.,思维升华,跟踪训练1对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足： 对任意的x0

6、,1，总有f(x)0； f(1)1； 若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数. (1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)0；,证明,取x1x20，则x1x201， f(00)f(0)f(0)，f(0)0. 又对任意的x0,1，总有f(x)0， f(0)0.于是f(0)0.,解答,对于f(x)2x，x0,1， f(1)2不满足新定义中的条件， f(x)2x(x0,1)不是理想函数. 对于f(x)x2，x0,1，显然f(x)0，且f(1)1. 对任意的x1，x20,1，x1x21， f(x1x2)f(x1)f(x2),即f(x1x

7、2)f(x1)f(x2). f(x)x2(x0,1)是理想函数.,综上，f(x)x2(x0,1)是理想函数，,即f2(x1x2)f(x1)f(x2)2.,f(x1x2)f(x1)f(x2)，不满足条件.,题型二分析法的应用,证明,所以cos x1cos x20，sin(x1x2)0,1cos(x1x2)0，,故只需证明1cos(x1x2)2cos x1cos x2，,即证1cos x1cos x2sin x1sin x22cos x1cos x2，,即证cos(x1x2)1.,引申探究,证明,由于x1，x2R时， 0, 0，,(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立

8、的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键. (2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.,思维升华,跟踪训练2(2016重庆月考)设a0，b0,2cab，求证： (1)c2ab；,证明,证明,(ac)2c2aba(ab2c)0成立，,原不等式成立.,题型三反证法的应用,命题点1证明否定性命题 例3等差数列an的前n项和为Sn，a11 ，S393 .,(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；,解答,(2)设bn (nN)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.,证明

9、,pr，与pr矛盾. 假设不成立，即数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.,命题点2证明存在性问题 例4(2016济南模拟)若f(x)的定义域为a，b，值域为a，b(ab)，则称函数f(x)是a，b上的“四维光军”函数.,解答,由题设得g(x) (x1)21，其图像的对称轴为x1，区间1，b在对称轴的右边，所以函数在区间1，b上单调递增.由“四维光军”函数的定义可知，,因为b1，所以b3.,g(1)1，g(b)b，,(2)是否存在常数a，b(a2)，使函数h(x) 是区间a，b上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.,解答,解得ab，这与已知矛盾.故不存在.

10、,命题点3证明唯一性命题 例5已知M是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意f(x)M，方程f(x)x0有实数根； 函数f(x)的导数f(x)满足0f(x)1.,解答,当x0时，f(0)0，所以方程f(x)x0有实数根0；,(2)集合M中的元素f(x)具有下面的性质：若f(x)的定义域为D，则对于任意m，nD，都存在x0(m，n)，使得等式f(n)f(m)(nm)f(x0)成立.试用这一性质证明：方程f(x)x0有且只有一个实数根.,证明,假设方程f(x)x0存在两个实数根， ()，则f()0， f()0. 不妨设，根据题意存在c(，)， 满足f()f()()f(c). 因为f()，f()，且

11、，所以f(c)1. 与已知0f(x)1矛盾. 又f(x)x0有实数根， 所以方程f(x)x0有且只有一个实数根.,应用反证法证明数学命题，一般有以下几个步骤： 第一步：分清命题“pq”的条件和结论； 第二步：作出与命题结论q相反的假设綈q； 第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题pq为真. 所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知事实矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果.,思维升华,证明,f(x)的图像与x轴有两个不同的交点，,f(x)0

12、有两个不等实根x1，x2，,f(c)0，x1c是f(x)0的根，,证明,典例(12分)直线ykxm(m0)与椭圆W：y21相交于A、C两点，O是坐标原点. (1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长； (2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形.,反证法在证明题中的应用,思想与方法系列26,思想方法指导,规范解答,在证明否定性问题，存在性问题，唯一性问题时常考虑用反证法证明，应用反证法需注意： (1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，正确作出假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的. (2)当证明的结论和条件联系不

13、明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法. (3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去.,返回,(1)解因为四边形OABC为菱形，,则AC与OB相互垂直平分.,由于O(0,0)，B(0,1)，,(2)证明假设四边形OABC为菱形，,因为点B不是W的顶点，且ACOB，所以k0.,设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则,因为M为AC和OB的交点，且m0，k0，,所以OABC不是菱形，与假设矛盾. 所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形.12分,返回,课时作业,1.(2017泰安质检)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2axb0至少有一

14、个实根”时，要做的假设是 A.方程x2axb0没有实根 B.方程x2axb0至多有一个实根 C.方程x2axb0至多有两个实根 D.方程x2axb0恰好有两个实根,答案,解析,因为“方程x2axb0至少有一个实根”等价于“方程x2axb0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x2axb0没有实根”.故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,当且仅当xyz时等号成立.,A.都大于2 B.至少有一个大于2 C.至少有一个不小于2

15、D.至少有一个不大于2,所以三个数中至少有一个不小于2，故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,4.已知p3q32，证明：pq2.用反证法证明时，可假设pq2； 若a，bR，|a|b|1，求证：方程x2axb0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|1.以下结论正确的是 A.与的假设都错误B.的假设正确；的假设错误 C.与的假设都正确D.的假设错误；的假设正确,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,对于，结论的否定是pq2，故中的假设错误； 对于，其假设正确，故选D

16、.,5.设a，b是两个实数，给出下列条件： ab1；ab2；ab2；a2b22； ab1. 其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是 A. B. C. D.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,但a2，故推不出； 若a2，b3，则ab1，故推不出； 对于，即ab2， 则a，b中至少有一个大于1， 反证法：假设a1且b1， 则ab2与ab2矛盾， 因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,7.(2016全国甲卷)有三张卡

17、片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_.,答案,解析,1和3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知， 丙为“1和2”或“1和3”， 又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”， 所以乙只可能为“2和3”， 又甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”， 所以甲只能为“1和3”.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,

18、若二次函数f(x)0在区间1,1内恒成立，,8.若二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1，在区间1,1内至少存在一点c，使f(c)0，则实数p的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,所以要证的不等式成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由函数f(x1)与f(x)的图像关于y轴对称，可知f(x1)f(x).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,证明,(1)证明：函

19、数f(x)在(1，)上为增函数；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,证明,任取x1，x2(1，)， 不妨设x10. a1， 1且ax10， 0. 又x110，x210，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,故函数f(x)在(1，)上为增函数.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)用反证法证明方程f(x)0没有负数根.,证明,假设存在x00(x01)满足f(x0)0，,a1，0ax01，,故方程f(x)0没有负数根.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.(2015陕西)设fn(x)是等比

20、数列1，x，x2，xn的各项和，其中x0，nN，n2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,证明,Fn(x)fn(x)21xx2xn2， 则Fn(1)n10，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,又Fn(x)12xnxn10(x0)，,因为xn是Fn(x)的零点，所以Fn(xn)0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比较fn(x)与gn(x)的大小，并加以证明.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,设h

21、(x)fn(x)gn(x),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,当x1时，fn(x)gn(x)；,所以h(x)在(0,1)上递增，在(1，)上递减， 所以h(x)h(1)0，即fn(x)gn(x)， 综上所述，当x1时，fn(x)gn(x)； 当x1时，fn(x)gn(x).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,方法二由题设，fn(x)1xx2xn，,当x1时，fn(x)gn(x)， 当x1时，用数学归纳法可以证明fn(x)gn(x)，,所以f2(x)g2(x)成立，,假设nk(k2)时，不等式成立，即fk(x)gk(x)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,那么，当nk1时，,fk1(x)fk(x)xk1gk(x)xk1,令hk(x)kxk1(k1)xk1(x0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,则hk(x)k(k1)xkk(k1)xk1 k(k1)xk1(x1)， 所以当0 x1时，hk(x)0，hk(x)在(0,1)上递减； 当x1时，hk(x)0，hk(x)在(1，)上递增， 所以hk(x)hk(1)0，,故fk1(x)