第四讲整数的拆分

1、.第四讲整数的拆分笔记总结整数的拆分：把自然数分成 若干个自然数之和，每一种表示方法就是一种拆分。【要求】1.拆成的数的和必 等于 个数n。2.不允 重复（排列 序不一 的重复也不可以）：例如： 3=2+1.3=1+2 只能算一种拆分。【要点 】 1.被拆的数2.拆成多少个数3.特殊要求一、 整数分拆中的 数 （几种、多少个 的 称 数 ）例 1 有多少种方法可以把 6 表示 若干个自然数之和？ （不加限制条件的分拆，称 无限制分拆）分 (枚 )法：只能拆成 2 个至 6 个数的和。2个数： 6=5+1=4+2=3+33 个数： 6=4+1+1=3+2+1=2+2+24个数：6 3 1 1 1

2、=2+2+1+1 ；5 个数： 6=2+1+1 1 16 个数： 61+1+1+1+1+1因此，把6 分拆成若干个自然数之和共有1+3+3 2+1+1=11 种不同的方法。例 2 有多少种方法可以把 1994 表示 两个自然数之和？解法：采用枚 法并考 到加法交 律：1994=1993+1=1992+2= =998 996=997+997因此，一共有 997 种方法可以把 1994 写成两个自然数之和 .【拆成2 个数 律】： n 是双数，有 n 2 种拆分； n 是 数，有（ n-1 ） 2 种拆分 .二、 整数分拆中的最 （最大和最小的两种极端情况，称 最 ）例 350 最多能拆成多少个不

3、同的正整数之和？拆“ 50” 没有个数限制，但要求拆成的数个数最多- 也就是尽量拆的最小50=1+2+3+4+5+6+7+8+9+5最多拆成 9 个。例 4 把 14 分拆 两个自然数之和，使它 的乘 最大14=113， 1 13 13；14=2+12 ， 2 12=24；14=3 11，3 11=33；14=410， 4 10=40；14=59， 5 9=45；14=6+8 ， 6 8=48；14=7+7 ， 77=49. 结论 拆成两个数，差越小 ，乘 越大；差越大 ，乘 越大。拆成三个数，差越小 ，乘 越大；差越大 ，乘 越大。【 度 】 定一个自然数n，把它拆成若干个自然数的和，使它

4、的 最大.注意，分拆数中有 4 时，总可把 4 再分拆成 2 与 2 之和而不改变分拆的乘积 .实验结果4： 8拆分成 2 3+3 时，其积最大 .实验结果5： 9拆分成 3+3+3 时，其积最大 .实验结果6： 10 拆分成 3+3+2 2 时，其积最大 .观察分析实验结果，要使拆分数的乘积最大，拆分数都由2 与 3 组成，其形式有三种：自然数 =（若干个 3的和）；自然数 =（若干个 3的和） +2；自然数 =（若干个 3的和） +2 2.因此，我们得到结论：把一个自然数n 拆分成若干个自然数的和，只有当这些分拆数由2 或 3 组成，其中2 最多为 2 个时，这些分拆数的乘积最大 .（因为 2+2+2=3+3 ， 2 22 3 3，所以分拆数中 2 的个数不能多于 2 个 .）例 分别拆分 1993、 1994、 2001 三个数，使分拆后的积最大解： 1993=664 3 1. 1994=664 32 1994 分拆成（ 664 个 3 的和） 2 时，其积最大. 2001=667 32001 分拆成（ 667 个 3 的和）时，其积最大 总结 拆成若干个数，使得乘积最大.