小学奥数--排列组合教案

1、最新 料推荐 小学奥数 -排列组合教案加法原理和乘法原理排列与 合 :熟悉排列与 合 。 运用加法原理和乘法原理解决 。在日常生活中我 常会遇到像下面 的两 : 一：从 a 地到 b地，可以乘火 ，也可以乘汽 或乘 船。一天中，火 有4 班，汽 有 3班， 船有 2 班。那么从 a 地到 b 地共有多少种不同的走法？ 二：从甲村到乙村有两条道路，从乙村去丙村有 3 条道路（如下 ） 。从甲村 乙村去丙村，共有多少种不同的走法？解决上述两 就是运用加法原理和乘法原理。加法原理 ：完成一件工作共有 n 方法。在第一 方法中有 m1 种不同的方法，在第二 方法中有 m2 种不同的方法，在第 n 方法

2、中有 mn 种不同的方法，那么完成 件工作共有 n m1m2m3 mn 种不同方法。运用加法原理 数， 关 在于合理 分 ，不重不漏。要求每一 中的每一种方法都可以独立地完成此任 ； 两 不同 法中的具体方法， 互不相同 ( 即分 不重 ) ；完成此任 的任何一种方法， 都属于某一 ( 即分 不漏 ) 。合理分 也是运用加法原理解决 的 点， 不同的 ， 分 的 准往往不同， 需要 累一定的解 。乘法原理 ：完成一件工作共需 n 个步 ：完成第一个步 有 m1 种方法，完成第二个步 有 m2 种方法，完成第 n 个步 有 mn 种方法，那么，完成 件工作共有 m1 m2 mn 种方法。运用乘法

3、原理 数， 关 在于合理 分步 。完成 件工作的n个步 ，各个步 之 是相互 系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必 完成 n 步才能完成此工作； 各步 数相互独立； 只要有一步中所采取的方法不同， 则对 的完成此工作的方法也不同。 两个基本原理是排列和 合的基 ， 与教材 系 密（如四下搭配的 律），教学 要先通 生活中浅 的 例，如 物 、行程 、搭配 等，帮助孩子理解两个原理，再 孩子学 运用原理解决 。运用两个原理解决的都是比 复 的 数 ， 在解 要 心、 耐心、有条理地分析 。 数 要注意区分是分 是分步 ，正确运用两个原理。灵活机 地分 重复使用或 合运用两个原理， 可以巧

4、妙解决很多复 的 数 。小学 段只学 两个原理的 用。【例 一】每天从武 到北京去，有4 班火 ， 2 班 机， 1 班汽 。 ：每天从武 到北京去，乘坐 些交通工具共有多少种不同的走法？1最新 料推荐 【解析】 运用加法原理，把 成方法分成三 ：一 乘坐火 ,二 乘坐 机 ,三 乘坐洗 .解 :4+2+1=7( 种 )【例 二】 用 1 角、 2 角和 5 角的三种人民 （每种的 数没有限制） 成1 元 ，有多少种方法？【解析】 运用加法原理，把 成方法分成三大 ：只取一种人民 成1 元，有 3 种方法： 10 张 1 角； 5 张 2 角； 2 张 5 角。取两种人民 成 1 元，有 5

5、种方法： 1 张 5 角和 5 张 1 角；一 2 角和 8 张 1 角； 2 张 2 角和 6 张 1 角； 3 张 2 角和 4 张 1 角； 4 张 2 角和 2 张 1 角。取三种人民 成 1 元，有 2 种方法： 1 张 5 角、 1 张 2 角和 3 张 1 角的； 1 张 5 角、 2 张 2 角和 1 张 1 角的。解 : 所以共有 成方法： 3+5+2=10（种）。【例 三】 在所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数共有多少个？【解析】运用加法原理，把 成的三位数分 九 ：十位是 9 的有 9 个，十位是 8 的有 8 个，十位是 1 的有 1 个.解 : 共有： 1+

6、2+3+ +9=45(个)【例 四】 各数位的数字之和是24 的三位数共有多少个？【解析】 一个数各个数位上的数字，最大只能是 9，24 可分拆 ： 24=9+9+6；24=9+8+7；24=8+8+8。运用加法原理，把 成的三位数分 三大 ：由 9、9、8 三个数字可 成3 个三位数： 998、 989、 899；由 9、8、7 三个数字可 成6 个三位数： 987、 978、 897、879、798、 789；由 8、8、8 三个数字可 成1 个三位数： 888。解 : 所以 成三位数共有： 3+6+1=10（个）。【例 五】 有一批 度分 1，2，3，4，5，6，7 和 8 厘米的 木条

7、若干，从中 取适当的 3 根木条作 三条 可以 成多少个不同的三角形？【解析】 三角形的依据： 三根木条能 成三角形， 必 足任意两 之和大于第三 。要 足 个条件，需要且只需要两条 短 的和大于最 就可以了。 道 的 数比 复 ，需要分 重复运用加法原理。根据三角形三 度情况，我 先把 成的三角形分 两大 ：第一大 ： 成三角形的三根木条，至少有两根木条等 （包括三根等 的）。2最新 料推荐 由 目条件， 成的等腰三角形腰 可以 1、2、3、4、5、6、7、8 厘米，根据三角形腰 ，第一大 又可以分 8 小 ，三 依次是：腰 1 的三角形 1个： 1、1、1。腰 2的三角形 3个： 2、2、

8、1；2、2、2；2、2、 3。腰 3的三角形 5个： 3、3、1；3、3、2；3、3、 3； 3、 3、 4； 3、 3、 5。腰 4的三角形 7个： 4、4、1；4、4、2； 4、4、7。腰 5的三角形 8个： 5、5、1；5、5、2； 5、5、8。同理，腰 6、7、8厘米的三角形都是 8 个。第一大 可 成的不同的三角形：1+3+5+7+84=48（个）。第二大 ： 成三角形的三根木条，任意两根木条的 度都不同。根据最 的 度， 我 再把第二大 成的三角形分 五小 （最 不可能 是 3 厘米、 2 厘米、 1 厘米）：最 8 厘米的三角形有 9 个，三 分 ： 8、7、6；8、7、5；8、

9、7、4；8、7、3；8、7、2；8、6、5；8、6、4；8、6、3； 8、 5、 4。最 7 厘米的三角形有 6 个，三 分 ： 7、6、5；7、6、4；7、6、3；7、6、2；7、5、4；7、5、3。最 6 厘米的三角形有 4 个，三 分 ： 6、5、4；6、5、3；6、5、2；6、4、3。最 5 厘米的三角形有2 个，三 分 ： 5、4、3；5、4、2。最 4 厘米的三角形有1 个，三 ： 4、3、 2。第二大 可 成的不同的三角形：9+6+4+2+1=22（个）。所以， 一 共可以 成不同的三角形：48+22=70（个）。【例 六】 一把 匙只能开一把 ， 在有 10 把 匙和 10 把

10、 全部都搞乱了，最多要 多少次才能全部配好 和相 的 匙？【解析】要求“最多”多少次配好 和 匙，就要从最糟糕的情况开始考 ：第 1 把 匙要配到 ，最多要 9 次（如果 9 次配 失 ，第 10 把 就一定是 把 匙，不用再 ）；同理，第 2 把 匙最多要 8 次；第 9 把 最多 1 次，最好一把 不用 。解 :最多 次数 ： 9+8+7 +2+1=45（次）。【例 七】 如 , 从甲地到乙地有三条路 , 从乙地到丙地有三条路 , 从丙地到丁地有四条路 , 从甲地到丙地有二条路。 ：甲地到丁地共有多少种走法？3最新 料推荐 甲乙丁丙【解析】从甲地到乙地的走法分两大类： 一大类从甲地直接到达

11、乙地， 二大类是经过乙地和丙地到达丁地， 用加法原理。第二大类中，从甲地到丁地走法分三步，第一步，从甲地到乙地，第二步，从乙地到丙地，第三步，从丙地到丁地，用乘法原理。、第一大类从甲地到丁地有 2 条路，用加法原理有 2 种走法。、第二大类从甲地到丁地分三步完成，用乘法原理。第一步，从甲地到乙地，有 3 条路，用加法原理有 3 种走法。第二步，从乙地到丙地，有 3 条路，用加法原理有 3 种走法。第三步，从丙地到丁地，有 4 条路，用加法原理有 4 种走法。根据乘法原理，第二大类共有 33436 种走法。、用加法原理，从甲地到乙地共有236 38 种走法。解： 2+33438（种）【例题七 】

12、 某人到食堂去买饭菜，食堂里有 4 种荤菜， 3 种蔬菜， 2 种汤。他要各买一样，共有多少种不同的买法？【解析】 运用乘法原理，把买饭菜分为三步走：第一步：选汤有2 种方法。第二步：选荤菜有4 种方法。每种选汤方法对应的都有 4 种选荤菜的方法， 汤和荤菜共有 2 个 4 种，即 8 种不同的搭配方法。第三步：选蔬菜有3 种方法。荤菜和汤有 8 种不同的搭配方法， 每种搭配方法， 对应的都有 3 种选蔬菜的方法与其二次搭配，共有 8 个 3 种，即 24 种不同搭配方法。如下图所示4最新 料推荐 解： 共有不同的买法：243=24（种）。【 例题八 】 数学活动课上，张老师要求同学们用0、

13、1、 2 、3 这四个数字组成三位数，请问：（ 1）可以组成多少个没有重复数字的三位数？（ 2）可以组成多少个不相等的三位数？【解析】组成没有重复数字的三位数要求千位、十位、个位上的数字不同，数位之间是互相联系的，用乘法原理。完成没有重复数字的三位数的组成，分三步。第一步，看千位有多少种放法，0 不能放首位， 1、2、 3 任一个都可以放，有3种放法。第二步，看十位有多少种放法，四个数字千位放了一个，还剩三个，有3 种放法。第三步，看个位有多少种放法，四个数字千位、十位各放了一个，还剩二个，有 2 种放法。解： （） 332=18（个）不相等的三位数， 可以看出各数位上的数字是能重复的。要完成

14、数的组合应该分三步：第一步，看千位有多少种放法， 0 不能放首位， 1、2 、3 任一个都可以放，有 3 种放法。第二步，看十位有多少种放法，四个数字都可以放，有4 种放法。第三步，看个位有多少种放法，四个数字都可以放，有4 种放法，有 4 种放法。解：（ 2）344=48 （个）5最新 料推荐 【例题九】 小新、阿呆等七个同学照像， 分别求出在下列条件下有多少种站法？（ 1）七个人排成一排；（ 2）七个人排成一排，小新必须站在中间 .（ 3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间 .（ 4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边 .（ 5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上 .

15、（ 6）七个人站成两排，前排三人，后排四人 .（ 7）七个人站成两排，前排三人，后排四人 . 小新、阿呆不在同一排。【解析】（1）七个人排成一排要有序的分步进行，第一步，七个人每人都可以站第一位， 7 选 7 叫全选，有 7 种选法，也就是完成七个人排成一排的第一步。第二步，七人已选出一人站到第一位，还剩六人，有6 种选法。同理，第三步有5种选法。第四步有 4 种选法。第五步有 3 种选法。第六步有 2 种选法。第七步有1 种选法。解：根据乘法原理得： 76543215040（种）7注：用排列公式写作：p75040 （种）。（ 2）确定小新站中间，只要考虑六人站一排的排列问题。只需排其余6 个

16、人站剩下的 6 个位置。分六步，第一步 6 种选法、第二步 5 种选法、第三步 4 种选法、第四步 3 种选法、第五步 2 种选法、第六步 1 种选法。解：根据乘法原理得： 654321720（种）注：用排列公式写作：p66720 （种） .（ 3）先确定中间的位置站谁，有 2 种选法。再排剩下的 6 个位置。解：根据乘法原理得：（654321） 21440（种）注：用排列公式写作： 2 p66 =1440(种) （ 4）先排两边， 再排剩下的 5 个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置如图可知，小新和阿呆站两边位置是 2 选 2，有 2 1 2 种选法。其余五个位置站法：第一位 5 种选

17、法、第二位 4 种选法、第三位 3 种选法、第四位 2 种选法、第五位 1 种选法。其余 5 人所站位置2543211小新和阿呆所站位置解：根据乘法原理得：（54321）（ 2 1） 240（种）注：用排列公式写作： 2 p55240 ( 种) （ 5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5 个人中选 2 人，也就是边上的两个位6最新 料推荐 置 5 人去站，第一个位置有 5 种选法，第二个位置有 4 种选法，根据乘法原理得：5420（种）。再排剩下的 5 个人，有 5 4321120（种）。解：根据乘法原理得： 201202400（种）注：用排列公式写作：p52p552400 （种） .（ 6）七

18、个人排成一排时， 7 个位置就是各不相同的现在排成两排，不管前后排各有几个人， 7 个位置还是各不相同的， 所以本题实质就是 7 个元素的全排列解：根据乘法原理得： 76543215040（种）注：用排列公式写作：7（种） .p7 5040（ 7）可以分为两类情况： “小新在前，阿呆在后”和“小新在后，阿呆在前” ，两种情况是对等的， 所以只要求出其中一种的排法数， 再乘以 2 即可排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。解：根据乘法原理得： 43（ 5 4 3 2 1） 2 2880( 种)注：用排列公式写作： 43 p55 2=2880(种) 【例题十】 用 1、 2、3、4、5、6 可以

19、组成多少个没有重复数字的个位是5 的三位数？【解析】 个位数字已知，问题变成从5 个元素中取 2 个元素的排列问题，三位数的个位已确定为 5，那么， 1、 2、 3、 4、 6 可以任意选择十位或百位，百位有 5 种选法，十位有 4 种选法。如图：5种选法4种选法1种选法5千位百位个位解：根据乘法原理得： 5420（种）注：用排列公式解题：已知 n 5 ， m 2 ，根据排列数公式，一共可以组成 p52 5 4 20 ( 个 ) 符合题意的三位数。【例题十一】 用 1、 2 、 3、 4 、 5 这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个 3 的倍数？【解析】 按位数来分类考虑：首先要知道3

20、 的倍数的数的各位数值之和的规律:各位数值之和为3 的倍数 , 则这个数是 3 的倍数 . 一位数只有 1个 3 ； 两位数：由 1 与 2 ， 1 与 5 ， 2 与 4 ， 4 与 5 四组数字组成，每一组可以组成2p2212 ( 个 ) 不同的两位数，共可组成248 ( 个) 不同的两位数； 三位数：由 1 ， 2 与 3 ；1 ， 3与 5 ； 2 ， 3 与 4 ； 3， 4 与 5 四组数字组成，每一组可以组成 p33 3 2 1 6 ( 个 ) 不同的三位数，共可组成 6 4 24 ( 个) 不同的三位数； 四位数：可由 1 ， 2 ， 4 ， 5 这四个数字组成，有 p44 4

21、 3 2 1 24 ( 个) 不同的四位数；7最新 料推荐 五位数：可由 1 ， 2 ， 3， 4 ， 5 组成，共有 p5554321120 ( 个 ) 不同的五位数解：根据加法原理得：一共有182424120177 ( 个 ) 能被 3 整除的数，即 3的倍数【例题十二】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0 数码组成，且四个数码之和是 9 ，那么确保打开保险柜最多要试几次？【解析】 用排除法分析：四个非 0 数码之和等于9 的组合数位上不能有9、8、7数字，否则，其和大于 9。首先，从合题意的大数6 寻找有 1， 1， 1， 6 一种组合；从 5 寻找有 1， 1，

22、2， 5 一各组合；从 4 寻找有 1，1，3，4；1，2，2，4；二种组合；从 3 寻找有 1， 2，3，3；2，2，2，3 二种组合；从 1、2 分析其和小于 9；因此分析得共有六种。第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑 6 的位置就可以了， 6 可以任意选择 4 个位置中的一个， 其余位置放 1，共有 4 种选择；第二种中，先考虑放 2 ，有 4种选择，再考虑 5 的位置，可以有 3 种选择，剩下的位置放 1，共有 4 3 12( 种) ，选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12 种选择最后一种，与第一种的情形相似， 3的位置有 4 种选择，其余位置放 2 ，共有 4 种选择

23、解：根据加法原理得：一共可以组成 4 12 12 12 12 4 56 ( 个 ) 不同的四位数，即确保能打开保险柜最多要试 56次【例题十三】 两对三胞胎喜相逢， 他们围坐在桌子旁， 要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻， ( 同一位置上坐不同的人算不同的坐法 ) ，那么共有多少种不同的坐法？【解析】 第一个位置在 6 个人中任选一个，有 c616 ( 种 ) 选法，第二个位置在另一胞胎的 3人中任选一个，有 c313 ( 种) 选法同理，第 3， 4 ， 5 ， 6 个位置依次有 2，2，1，1 种选法如图：6 选 13选 32选 22选 21选 11选 1632211甲乙胞乙胞甲胞乙胞甲胞

24、乙胞解：根据乘法原理得： 63221172（种）注：用排列公式写作： p61p31p21p21p11p116 3 2 2 1 1 72 ( 种 ) 。【例题十四】 一种电子表在 6 时 24 分 30 秒时的显示为 6:24 ：30，那么从 8时到 9 时这段时间里，此表的5 个数字都不相同的时刻一共有多少个?【解析】 设a bc是满足题意的时刻，有a 为 ，b、d 应从 ， ， ， ，:de8012345 这 6 个数字中选择两个不同的数字，所以有6 5=30 种选法，而 c、 e 应从剩下的 7 个数字中选择两个不同的数字，所以有7 6=42 种选法 . 如图：7 选 2abcde1675

25、6确定为 86 选 2解：根据乘法原理得：所以共有p62 p72 =1260 种选法。从 8 时到 9 时这段时间里，此表的 5 个数字都不相同的时刻一共有1260 个。【例题十五】 一个六位数能被11 整除，它的各位数字非零且互不相同的将这个六位数的 6 个数字重新排列，最少还能排出多少个能被11 整除的六位数 ?8最新 料推荐 【解析】 设这个六位数为 abcdef ，则有 (ac e) 、 (b df ) 的差为 0 或 11 的倍数且a、b、c、d、e、f 均不为，任何一个数作为首位都是一个六位数。0先考虑 a、c、e 偶数位内， b、d、f 奇数位内的组内交换， 有 p33 p33

26、=36 种顺序；再考虑形如 badcfe 这种奇数位与偶数位的组间调换，也有 p33 p33 =36 种顺序。所以，用均不为 0 的 a、b、c、d、e、f 最少可排出 36+36=72 个能被 11 整除的数 ( 包含原来的 abcdef ) 。所以最少还能排出 72-1=71 个能被 11 整除的六位数。【例题十六】 已知在由甲、乙、丙、丁、戊共 5 名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次 甲、乙两名参赛者去询问成绩， 回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军 ”对乙说：“你当然不会是最差的 ”从这个回答分析， 5 人的名次排列共有多少种不同的情况？【解析】这道题乍一看不太

27、像是排列问题， 这就需要灵活地对问题进行转化 仔细审题，已知“甲和乙都未拿到冠军” ，而且“乙不是最差的” ，也就等价于 5 人排成一排，甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的排法数，因为乙的限制最多，所以先排乙，有3 种排法，再排甲，也有3 种排法，剩下的人随意排，有p333216 ( 种) 排法解：根据乘法原理得：一共有3 3 654 ( 种 ) 不同的排法。【例题十七】 4 名男生， 5 名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法： 甲不在中间也不在两端； 甲、乙两人必须排在两端； 男、女生分别排在一起； 男女相间【解析】 先排甲， 9 个位置除了中间和两端之外的 6 个位置都可以

28、，有 6 种选择，剩下的 8 个人随意排，也就是 8个元素全排列的问题，8有 p88 7 6 5 4 3 2 1 40320( 种) 选择解：根据乘法原理得：共有640320 241920( 种) 排法甲、乙先排，有 p222 12( 种) 排法；剩下的 7 个人随意排，有p777 6 5 4 3 2 1 5040( 种) 排法解：根据乘法原理得：共有25040 10080( 种) 排法分别把男生、 女生看成一个整体进行排列， 有 p222 1 2 ( 种 ) 不同排列方法，再分别对男生、女生内部进行排列，分别是4 个元素与 5 个元素的全排列问题，分别有 p444 3 2 1 24( 种)

29、和 p555 4 32 1 120( 种) 排法解：根据乘法原理得：共有224 120 5760( 种) 排法先排 4 名男生，有 p44432 124 ( 种) 排法，再把 5 名女生排到 5 个空档中，有 p55 5 4 3 2 1 120 ( 种) 排法解：根据乘法原理得：一共有241202880( 种) 排法。【例题十八】 一台晚会上有 6 个演唱节目和 4 个舞蹈节目求： 当 4 个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？ 当要求每 2 个舞蹈节目之间至少安排 1 个演唱节目时， 一共有多少不同的安排节目的顺序？9最新 料推荐 【解析】 先将 4 个舞蹈 目看成 1 个 目

30、，与 6 个演唱 目一起排， 是7 个元素全排列的 ， 有 p777!76543215040 ( 种 ) 方法第二步再排 4 个舞蹈 目，也就是 4 个舞蹈 目全排列的 ， 有 p444!432124 ( 种 ) 方法解：根据乘法原理得：一共有504024120960( 种 ) 方法 首先将 6 个演唱 目排成一列 ( 如下 中的“”) ，是 6 个元素全排列的 ，一共有 p666!654321720 ( 种 ) 方法第二步，再将 4 个舞蹈 目排在一 一尾或2 个演唱 目之 ( 即上 中“”的位置 ) ，解：根据乘法原理得：一共有720 840604800( 种 ) 方法。【例 十九】 从

31、1，2，8 中任取 3 个数 成无重复数字的三位数，共有多少个？（只要求列式）从 8 位候 人中任 三位分 任 支 ， 委 ，宣 委 ， 共有多少种不同的 法？ 3 位同学坐 8 个座位，每个座位坐 1 人，共有几种坐法？ 8 个人坐 3 个座位，每个座位坐 1 人，共有多少种坐法？一火 站有 8 股 道，停放 3 列火 ，有多少种不同的停放方法？ 8 种不同的菜籽，任 3 种种在不同土 的三 土地上， 有多少种不同的种法？【解析】 按 序，有百位、十位、个位三个位置， 8 个数字（ 8 个元素）取出 3 个往上排，有 p83 种 3 种 3 个位置，从 8 位候 人（ 8 个元素）任取 3

32、位往上排，有 p83 种 3 位同学看成是三个位置，任取 8 个座位号（ 8 个元素）中的 3 个往上排（座号找人），每确定一种号 即 一种坐法，有 p83 种 3 个坐位排号 1，2，3 三个位置，从 8 人中任取 3 个往上排（人找座位），有 p83种 3 列火 1，2，3 号，从 8 股 道中任取 3 股往上排，共有 p83 种土地 1，2， 3 号，从 8 种菜籽中任 3 种往上排，有 p83 种。【例 二十】 某校 行男生 球比 ，比 分成 3 个 段 行，第一 段：将参加比 的 48 名 手分成 8 个小 ，每 6 人，分 行 循 ； 第二 段：将 8 个小 生的前 2 名共 16

33、 人再分成 4 个小 ，每 4 人，分 行 循 ；第三 段：由 4 个小 生的 4 个第 1名 行 2 半决 和 2 决 ，确定 1至 4 名的名次 ：整个 程一共需要 行多少 比 ？【解析】第一 段中，每个小 内部的2656 个人每 2 人要 一 ， 内 c62151 ，共 8 个小 ，有 158 120 ；第二 段中，每个小 内部 4 人中每 2人 一243 ，共 4 个小 ，有 6 424 ；第三 段 224 ， 内 c4261解：根据乘法原理得：整个 程一共有120 244 148 比 。【例 二十一】 由数字 1，2，3 成五位数，要求 五位数中 1，2，3 至少各出 一次，那么 的

34、五位数共有 _个。(2007 年“迎春杯” 高年 决 )10最新 料推荐 【解析】 是一道 合 数 由于 目中 要求1， 2 ， 3 至少各出 一次，没有确定 1， 2 ， 3 出 的具体次数，所以可以采取分 枚 的方法 行 ，也可以从反面想，从由1,2,3 成的五位数中，去掉 有1个或 2 个数字 成的五位数即可( 法 1) 分两 ： 1，2 ，3 中恰有一个数字出 3次， 的数有 c135460 ( 个) ； 1， 2 ， 3 中有两个数字各出 2 次， 的数有 c325c4290 ( 个) 符合 意的五位数共有 6090150 ( 个 ) ( 法 2) 从反面想，由 1 ， 2 ， 3

35、成的五位数共有 35 个，由 1 ， 2 ， 3中的某 2 个数字 成的五位数共有 3 (2 5 2) 个，由 1， 2， 3 中的某 1个数字 成的五位数共有3 个，所以符合 意的五位数共有55( 个) 。3 3 (22) 3 150【例 二十二】 10 个人 成一圈，从中 出两个不相 的人，共有多少种不同 法？【解析】 ( 法 1) 乘法原理按 意，分 站在每个人的立 上，当自己被 中后，另一个被 中的， 可以是除了自己和左右相 的两人之外的所有人， 每个人都有 7 种 ， 共就有 7 10 70 种 ，但是需要注意的是， 的 程中，会出 “ 了甲、乙， 了乙、甲” 的情况本来是同一种 ，

36、而却算作了两种，所以最后的 果 是 ( 10 1 1 1 ) 10 235( 种) c102 ，( 法 2) 排除法可以从所有的两人 合中排除掉相 的情况， 的 合数 而被 的两个人相 的情况有 10 种，所以共有 c1021045 10 35 ( 种 ) 。【例 二十三】 8 个人站 ，冬冬必 站在小悦和阿奇的中 （不一定相 ） ，小慧和大智不能相 ，小光和大亮必 相 ， 足要求的站法一共有多少种？【解析】冬冬要站在小悦和阿奇的中 ， 就意味着只要 三个人 定了三个位置，中 的位置就一定要留 冬冬， 而两 的位置可以任意地分配 小悦和阿奇小慧和大智不能相 的互 事件是小慧和大智必 相 小光和

37、大亮必 相 ， 可以将两人捆 考 只 足第一、三个条件的站法 数 ：c73p22c41p22p333360 （种）同 足第一、三个条件， 足小慧和大智必 相 的站法 数 ：c63p22p32p22p22960 （种）因此同 足三个条件的站法 数 ：33609602400（种）。【例 二十四】小明有 10 大白兔奶糖 , 从今天起 , 每天至少吃一 . 那么他一共有多少种不同的吃法 ?【解析】我 将 10 大白兔奶糖从左至右排成一列 , 如果在其中 9 个 隙中的某个位置插入“木棍” , 将 lo 糖分成了两部分。我 从左至右 , 第 1 部分是第 1 天吃的 , 第 2 部分是第 2 天吃的

38、, ，如 : | 表示第一天吃了 3 粒 , 第二天吃了剩下的 7 粒： | | 表示第一天吃了 4 粒, 第二天吃了 3 粒, 第三天吃了剩下的 3 粒不 知 , 每一种插入方法 一种吃法 , 而 9 个 隙 , 每个 隙可以插人也可以不插入, 且相互独立，故共有92 =512 种不同的插入方法 , 即 512 种不同的吃法。【例 二十五】某池塘中有 a、b、c 三只游船， a 船可乘坐 3 人，b 船可乘坐 2 人，c 船可乘坐 1 人，今有 3 个成人和 2 个儿童要分乘 些游船， 安全起 ，有儿童乘坐的游船上必 至少有个成人陪同， 那么他 5 人乘坐 三支游船的所有安全乘船方法共有多少

39、种？11最新 料推荐 【解析】由于有儿童乘坐的游船上必须至少有 1个成人陪同，所以儿童不能乘坐 c 船若这 5 人都不乘坐 c 船，则恰好坐满a、b 两船，若两个儿童在同一条船上，只能在 a 船上，此时 a 船上还必须有 1个成人，有 c13 种方法；若两个儿童不3有 c212种选择， 1 个成人有 c313 种选择，所以有 2 36 种方法故 5 人都不乘坐 c 船有 3 6 9 种安全方法；若这 5人中有 1人乘坐 c 船，这个人必定是个成人， 有 c313 种选择其余的 2 个成人与 2个儿童，若两个儿童在同一条船上，只能在a 船上，此时 a 船上还必须有 1 个成人，有 c212 种方

40、法，所以此时有 3 2 6 种方法；若两个儿童不在同一条船上，那么 b 船上有 1个儿童和 1 个成人，此时1 个儿童和 1 个成人均有c212种选择，所以此种情况下有3 2 2 12 种方法；故 5 人中有 1 人乘坐 c 船有6 12 18 种安全方法所以，共有 9 18 27 种安全乘法【例题二十六】 从 10名男生， 8 名女生中选出 8 人参加游泳比赛在下列条件下，分别有多少种选法？恰有 3 名女生入选；至少有两名女生入选；某两名女生，某两名男生必须入选；某两名女生， 某两名男生不能同时入选； 某两名女生， 某两名男生最多入选两人。【解析】 恰有 3名女生入选，说明男生有 5 人入选

41、，应为 c83 c105 14112 种；要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求运用包含与排除的方法， 从所有可能的选法中减去不符合要求的情况：c188c108c107c8143758 ； 4 人必须入选，则从剩下的 14 人中再选出另外 4 人，有 c144 1001 种；从所有的选法 c188 种中减去这 4 个人同时入选的 c144 种：c188c14443758100142757 分三类情况：4 人无人入选；4 人仅有 1 人入选； 4 人中有 2 人入选，共：c148c14c147c42c14634749 。【例题二十七】 在 10 名学生中，有 5 人会装电脑，有3 人会安装音响设备，其余 2 人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由 6 人组成的安装小组，组内安装电脑要 3 人，安装音响设备要 3人，共有多少种不同的选人方案？【解析】 按具有双项技术的学生分类： 两人都不选派，有c5354310 ( 种) 选派方法；3 2 1 两人中选派 1人，有 2 种选法而针对此人的任务又分两类：若此人要安装电脑，则还需 2 人安装电脑，有25410( 种 )