条件概率—概率论与数理统计(李长青).ppt

1、第四节 条件概率,1、条件概率的定义,例1 抛掷一枚均匀的硬币三次, 以 B 表示事件“第,一次抛掷出现正面”, A 表示事件“正面出现的次数多于,反面出现的次数”, 求条件概率,解,以 H 表示掷出正面, T 表示掷出反面, 则试验的,样本空间为,而事件,由于事件 B 已经发生, 所以此时仅有4种结果, 而 A,显然,这是因为已知事件 B 已经发生, 样本空间已由原来,的缩减为,所包含的样本点中有3个同时也属于 B, 所以有,另外,所以有,因此有,容易验证对一般的古典概型, 只要,上述等式,总是成立的.,在几何概率的情形(以二维平面区域为例), 上式依然,成立. 如果向一个矩形内随机地,这时

2、 A 发生的概率为,投点(如下图)若已知 B 已发生,定义 设 A, B 是同一随机试验的两个事件, 且,称,为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.,P(A|B) 符合概率定义的三条公理，即,（1）非负性：,（2）规范性：,（3）可加性：,注意：条件概率满足概率的一切性质,例2 设某地区历史上从某次特大洪水发生以后在30,年内发生特大洪水的概率为80%, 在40年内发生特大洪,水的概率为85%, 问现已无特大洪水过去了30年的该地,区, 在未来10年内将发生特大洪水的概率是多少？,解,设,B = “该地区从某次特大洪水发生后30年内无特大洪水”,A = “该地区从某次特大洪水发生后

3、40年内无特大洪水”,则所求概率为,由于,算公式, 有,由条件概率的计,再由条件概率的性质, 可得,例3 设 M 件产品中有 m 件为正品, Mm 件为次品,从中任取两件:,(1) 在所取产品中有一件为次品的条件下, 求另一件,也是次品的概率;,(2) 在所取产品中有一件为正品的条件下, 求另一件,是次品的概率.,解,(1) 设,B = “所取的两件产品中至少有一件为次品”,A = “所取的两件均为次品”,则所求的概率为,显然,所以有,(2) 设,C = “所取的两件产品中至少有一件是正品”,D = “所取的两件产品中一件为正品, 一件为次品”,则所求概率为,因为,所以有,二、乘法公式,设P(

4、A)0,则有,乘法定理可推广至任意有限个事件的情形:,同样,当P(B)0时,有：,例4 10个人依次抓阄, 10张阄中只有一张写有“奖品,A”, 求它被第 k 个人抓到的概率 (k = 1, 2, , 10).,解,设,Ak = “第 k 个人抓到了写有“奖品A”的阄”,k = 1, 2, , 10,“奖品A”被第一个人抓到的概率为,因为只有一个阄写有“奖品A”, 所以,从而,于是,同理, 因为,所以, “奖品A”被第三个人抓,到的概率为,如此继续下去, 依次可得,最后, 注意到,及,“奖品A”被第10个人抓到的概率为,最后, 注意到,及,“奖品A”被第10个人抓到的概率为,三、全概率公式,定

5、理1.2 设,是样本空间的一个完备,事件组, 且,则对于任意事件 B, 有,注 全概率公式中完备事件组所包含的事件可以是,无限多个, 若,是一两两互不相容的事件,序列, 且,及,则对于任意事件B,有,例5 设甲箱内有5个正品, 3个次品, 乙箱内有4个正,品, 3个次品. 从甲箱内任取3个产品放入乙箱, 然后从乙,箱中任取一个产品, 求这个产品是正品的概率.,解,设,B = “从乙箱中取得的是正品”,Ai = “从甲箱取的3个产品中有 i 个是正品”,(i = 0, 1, 2, 3),(i = 0, 1, 2, 3) 构成完备事件组, 根据古典概型的概,率计算公式有,由全概率公式可得,例6 播

6、种用的一等种子中混合2%的二等种子, 1.5%,的三等种子, 1%的四等种子. 用一等、二等、三等、四,等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别是0.5, 0.15,0.1, 0.05, 求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率.,解,设从这批种子中任选一颗, 记,Ai = “任选的一颗种子是 i 等种子”,(i = 1, 2, 3 , 4 ),B 表示事件 “在这批种子中任选一颗, 且这颗种子所,结的麦穗含有50颗以上麦粒”,Ai (i = 1, 2, 3 , 4 ) 构成完备事件组.,Ai = “任选的一颗种子是 i 等种子”,(i = 1, 2, 3 , 4 ),B 表示事件 “在这批

7、种子中任选一颗, 且这颗种子所,结的麦穗含有50颗以上麦粒”,Ai (i = 1, 2, 3 , 4 ) 构成完备事件组.,又由题意知,由全概率公式得,四、贝叶斯公式,则对于任,的一个完备事件组, 且,意事件 B, 若,则有,例7 设在8支枪中有3支未经过试射校正, 5支已经,率为0.8, 而用未经过校正的枪射击时, 击中目标的概率,试射校正. 一射手用校正过的枪射击时, 击中目标的概,为0.3. 现该射手从8支枪中任取一支进行射击, 结果击,中目标, 求所用这支枪是已经校正过的概率.,解,设 A 表示事件 “所取的枪是校正过的”,表示事件 “所取的枪是未校正过的”,B 表示事件 “射击击中目标”,由题意知,由题意知,由贝叶斯公式得所求的概率为,例8 1950年某地区曾对5060岁的男性公民进行,调查, 肺癌病人中吸烟的比例是99.7%, 无肺癌人中吸,烟的比例是95.8%. 如果整个人群的发病率是0