第二章第一节单因素方差分析.ppt

1、第二章 试验设计与方差分析 在科学试验中我们常常要研究参加试验的各种条件的改变对试验结果的影响，从中选出最好的试验组合，以达到最佳试验结果。 指标：试验结果称为试验指标； 因素：试验中变化的条件称为因素( facter ) ； 水平： 因素在试验中所取的每一个状态称为因素的一个水平（level ）。,“方差分析”是研究各个因素各个水平对试验结果影响大小的一种常用方法。,一 单因素试验设计与方差分析,1.单因素试验模型：只考察一个因素对试验指标的影响。取该因素的若干个水平进行试验。,【例1】 进行某化学合成反应时，为了解催化剂对收率是否有影响，分别用5种不同的催化剂独立地在相同条件下进行试验，每

2、种催化剂试验4次，得收率如表所示，为判断催化剂对收率是否有影响，试建立其检验模型。,5种催化剂的收率,在同一种催化剂下所得收率可视为一个随机变量，5种不同的催化剂对应于5个随机变量，记为,。,假设 间相互独立，且有相等的方差。,现从每个总体 中抽取4个样本记为,若肯定 ，催化剂对收率无影响。 若否定 ，催化剂对收率有显著影响。,因素A有r个水平 设 对应的结果为总体,，其样本为,试验结果如书中表：即为单因素方差分析问题。,建立以下模型：,其中,和,均为常数，且,相互独立。,检验假设为：,其等价模型为：,其中： 称为因素的效应。,称为总平均值。,检验假设为：,方差分析原理 平方和分解式：分析造成

3、 不同的原因。令,表示第 i 组的组内平均值。,总平均值,称为总的离差平方和，它反映了全部数据波动大小。,称为组内离差平方和，它反映了由于随机因素引起的波动的大小。,称为组间离差平方和， 它反映了由不同水平和随机因素共同引起的波动大小。,在单因素方差分析模型中，有如下等式成立。,称为总离差平方和的分解公式。,得,在 成立的条件下,设,分别称为组间均方和组内均方。 F值越大，A的影响越显著。当给定检验水平 时， 对 进行检验。并列出方差分析表。,组 间,r-1,组 内,N-r,方差分析表,3. 单因素方差分析的计算步骤 （1）建立模型，提出假设。 （2）计算 利用简化公式 （3）假设检验，确定假

4、设是否成立。将结果列于表中。,其中,两两间多重比较的检验方法 通过方差分析，若拒绝 ，即各总体均数不全等，那么，哪些水平间有显著性差异呢？需要对多个总体均数作两两间多重比较。 1 . T方法： 原理：设独立随机变量 服从标准正态分布N(0,1)。记它们的极差为：,设随机变量,分布。则：,称为t化极差。,t化极差是随机变量，当给定检验水平 时，可根据 r和 Z 的自由度 df 查表，得临界值,，使得：,因素A有r个水平 设 对应的结果为总体,从每个总体中独立地随机地抽取容量均为n的样本，总数N = nr ，,若,成立。则有：,又：,，所以：,为t化极差。,又：,，所以：,为t化极差。,对给定的检验水平 ，有,因为，对任意的 k , l 恒有：,所以，有事件,故只要,即可拒绝,即为 。,两两多重比较计算步骤如下： 计算各总体样本均数,2. 对给定的检验水平 及 r 和 df =