数学物理定解问题3.ppt

1、2020/9/14,第三章 数学物理定解问题3,1,第三章 数学物理定解问题,3.1 数学物理方程的导出 3.2 定解条件 3.3 数学物理方程的分类 3.4 行波法 达朗贝尔公式,2020/9/14,第三章 数学物理定解问题3,2,3.4 行波法 达朗贝尔公式,1、达朗贝尔公式 (DAlembert),研究无限长均匀弦的横振动问题(即，柯西问题)，泛定方程和初始条件为,(1),特征方程为(dx/dt)2-a2=0，通解x+at=C1，x-at=C2. 取x=x+at, h=x-at，得到方程(1)的标准形式,(2),2020/9/14,第三章 数学物理定解问题3,3,先对h积分，得,其中f(

2、x)是任意与h无关的函数；再对x积分，得,这是式(2)的通解，也是泛定方程(1)的通解. f1和f2由初始条件确定：,(3),对第二式积分，得,(4),2020/9/14,第三章 数学物理定解问题3,4,联立方程，得,最后得到满足初始条件的特解 (即，达朗贝尔公式),其中j(x)是弦的横向初始位移，第二项中y(x)是初始速度。,(5),2020/9/14,第三章 数学物理定解问题3,5,2、j(xat)的含义,波形在演化过程中未变，只是以速度a向左、右两个方向移动，因此称j(xat)为行波。,设弦上各点初始速度y(x)=0，初始位移为j(x)=e-x2/5，该高斯波形的演化j(xat)如图所示

3、(取a=2)：,右传播波: j(x-at),左传播波: j(x+at),2020/9/14,第三章 数学物理定解问题3,6,进一步研究 的演化，仍取高斯波形j(x)=e-x2/5作为初始位移，则u(x,t)的演化如图所示：,左、右两支行波的波峰为初始时刻波峰的一半。,2020/9/14,第三章 数学物理定解问题3,7,例1. 设无限长均匀弦的初始速度y(x)=0，初始位移为,由达朗贝尔公式得,3、举例,2020/9/14,第三章 数学物理定解问题3,8,不失一般性，取参数x1=-1, x2=1, u0=1, a=1.,(i) t1/2时，即at1/2，u的峰值大于j的峰值； (ii) 1/2t

4、1时，即1/2at1，左、右行波始终粘在一起； (iii) t1，即at 1，两个行波开始分开.,如图，粗线表示u(x,t)的时空演化；红、兰细线分别表示j(x+at)/2和j(x-at)/2，以速度a向左、右移动.,取a=1, 意指时间单位为1/a.,2020/9/14,第三章 数学物理定解问题3,9,u(x,t)的三维图：,2020/9/14,第三章 数学物理定解问题3,10,对于半无界弦，其中一个端点的影响不可忽略.,1）第一类边界条件情况,(6a),(6b),(6c),对于半无界弦，u(x)在x0情况无意义，所以不能直接应用达朗贝尔公式求解. 可作延拓，将半无界弦视为无限长弦的x0部分

5、. 下面仿照之前的推导.,4、半无界弦问题,2020/9/14,第七章 数学物理定解问题 习题课,11,首先令通解为,(7),由初始条件得,(8b),对Eq.(8b) 积分，得,(8a),其中积分常数C=f1(0)-f2(0). 联立Eqs. (8a)和(8c)，得到,(9a),(9b),(8c),当x-at0时，u=f1(x+at)+f2 (x-at), 与达朗贝尔公式无异！,2020/9/14,第七章 数学物理定解问题 习题课,12,若x-at0, 端点的影响体现, Eq. (9b)不可用. 由边界条件可得,令y=at，上式得,(10),所以当x-at0时，得,(12),(11),Eq.

6、(9a),当x-at0时，u=f1(x+at)+g(t-x/a)-f1 (at-x).,2020/9/14,第七章 数学物理定解问题 习题课,13,将Eqs. (9a), (9b), 和(12)代入通解中，得,特例1: 教材中P179. (习题8) , 因为初始位移和速度都为零，所以当tx/a时，根据Eq.(13)得,(13),2020/9/14,第三章 数学物理定解问题3,14,特例2: 如果在x=0处端点固定，即g(t)=0, 由Eq. (13)可得,(14),左行波,例如半无限长弦固定端点 ，假定没有初始速度,2020/9/14,第三章 数学物理定解问题3,15,反射波有半波损失，发生在

7、at=1时刻附近，at1时，弦振动沿负方向(向下). 兰线为左行波，红线是它的奇延拓波，右边细黑线表示右行波.,2020/9/14,第三章 数学物理定解问题3,16,2）第二类边界条件情况,(15),(16),(17a),考虑半无限长杆的纵振动问题，定解问题为,令通解为,由初始条件得 (重复Eq.(8a)Eq.(9b), 此处省略，v),(17b),其中C=f1(0)-f2(0) 为积分常数.,2020/9/14,第七章 数学物理定解问题 习题课,17,(18),(19a),(19b),当x-at0时，Eq.(17b)不可用. 借助边界条件和通解，得,令y=at，上式化为f1(y)+f2(-y

8、)=g(y/a)，两边对y积分得,即,C=f1(0)-f2(0).,2020/9/14,第七章 数学物理定解问题 习题课,18,将Eqs. (17a), (17b), (20)代入通解，得,(21a),与半无界固定端不同，式(21b)中两个积分无法合写在一起.,(21b),2020/9/14,第三章 数学物理定解问题3,19,对于半无界弦自由端情况，g(t)=0, 因此得,(22a),(22b),无法合写在一起！,2020/9/14,第三章 数学物理定解问题3,20,可见半无界弦自由端情况，端点处也有反射波，但无半波损失.,仍假定没有初始速度、且初始位移：,2020/9/14,第三章 数学物理

9、定解问题3,21,1) 唯一性,由叠加原理v=u1-u2也应是上述定解问题的解，则有vtt-a2vxx=0，v|t=0=(u1-u2)|t=0=j-j=0，vt|t=0=(u1/ t- u2/t)|t=0=y-y=0，利用达朗贝尔公式可证v=0，即u1=u2，可见达朗贝尔解是唯一的。,5、行波解的唯一性及稳定性,假定u1和u2都满足柯西问题：,2020/9/14,第三章 数学物理定解问题3,22,2) 稳定性,将初始条件作微小扰动：对于任意0，存在d，当|j1-j2|d, 且|y1-y2|d 时，若有|u1-u2|，则特解u稳定。,当定解问题满足：(1) 有解；(2) 解唯一；(3) 解稳定，

10、则称定解问题为适定的。无限长弦的振动问题的达朗贝尔解显然是适定的。,3) 整体性,2020/9/14,第三章 数学物理定解问题3,23,除了达朗贝尔公式之外，注意绝大多数偏微分方程很难求通解(unfortunately, Regrettably, )，即便求出通解，用定解条件确定特解往往更困难。因此在求解过程中必须同时考虑泛定方程和定解条件定解问题是一个整体。,2020/9/14,第七章 数学物理定解问题 习题课,24,1) 数学物理方程、定解条件、泛定方程、定解问题的定义； 2) 弦的微小振动的含义；Hook定律中应力的表达式；扩散流强度q、扩散源强度F的定义；热流强度q的定义及热源强度F的

11、定义。 3) 振动问题和输运问题的初始条件。 4) 三类常见边界条件的表达式。熟悉固定端、自由端，吸热端和自由冷却端(牛顿冷却定律)边界条件。 5) 了解衔接条件引入的原因，及表达式。 6) 区别线性、非线性方程的定义，齐次、非齐次方程的定义。 7) 叠加原理的表述。,附录1：全章内容提要,2020/9/14,第七章 数学物理定解问题 习题课,25,8) 什么是二阶线性偏微分方程的特征方程。 9) 求特征方程的通解，将原方程化为标准形式。 10) 待定系数法求解常系数偏微分方程的标准形式。 11) 用特征方程的办法，导出无限长弦振动的问题的导出达朗贝尔公式（这也是特征方程的应用之一）；了解行波

12、的概念。,附录2：无初始位移问题,2020/9/14,第三章 数学物理定解问题3,26,由达朗贝尔公式得,其中Y为,考虑初始位移j(x)=0，而初始速度为,2020/9/14,第三章 数学物理定解问题3,27,(a) Y(x) 、(b) u(x,t)的三维图、(c) u(x,t)的二维截面图。,(b),a=x1=1, x2=y0=2.,2020/9/14,第七章 数学物理定解问题 习题课,28,习题9. 求解无限长弦的自由振动问题，设初始位移为j(x)，初始速度为-aj (x).,解：根据达朗贝尔公式,该无限长弦上只有右行波j(xat).,2020/9/14,第七章 数学物理定解问题 习题课,

13、29,习题10 求无限长理想传输线上传输方程，设初始电压v(x,0)=Acos(kx)，初始电流为j(x, 0)=(C/L)1/2Acos(kx).,解：由电报方程(P140, 7.1.10),(A1),其中j和v分别为传输线上电流和电压， R, G, C和L分别是单位传输线的电阻，线间电漏，电容和电感。,对于理想传输线，可认为R和G很小，即R0, G0。于是,(A2),2020/9/14,第七章 数学物理定解问题 习题课,30,由Eq. (A2)得到vtt=-(1/C)jxt，jtx=-(1/L)vxx，于是得vtt=a2vxx. 同理得到jtt=a2jxx，其中a2=1/(LC). 另外,

14、 初始“速度”为: jt|t=0=-(1/L)vx|t=0，vt|t=0= -(1/C)jx|t=0，于是,这就是无限长理想传输线上的泛定方程和初始条件。它的求解直接用达朗贝尔公式,(A3),2020/9/14,第七章 数学物理定解问题 习题课,31,(A4),(A5),2020/9/14,第七章 数学物理定解问题 习题课,32,习题11 在G/C=R/L的条件下求解无限长传输线上电报方程的通解.,解：由电报方程,(B1),其中R, G, C和L分别是单位传输线的电阻，线间电漏，电容和电感。作函数变换,得到,(B2),(B3),2020/9/14,第七章 数学物理定解问题 习题课,33,代入(B1)式，得,选取 相当于变换,又因为条件G/C=R/L，上式进一步简化为,因此方程简化为,2020/9/14,第七章 数学物理定解问题 习题课,34,即,其中a2=1/(LC)